2022年高中数学椭圆的经典知识总结 2.pdf

高中数学椭圆的经典知识总结3 一、选择题1(09 浙江 )已知椭圆x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点 B 在椭圆上，且BFx 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P，若 AP2PB，则椭圆的离心率是() A.32B.22C.13D.12答案 D 解析 由题意知： F(c,0)， A(a,0)BFx 轴， APPBac.又AP2PB，ac2，eca12.故选 D. 2 已知 P 是以 F1、 F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，若PF1 PF20， tanPF1F212，则椭圆的离心率为() A.12B.23C.13D.53答案 D 解析 由PF1 PF20 知F1PF2为直角，设|PF1|x，由 tanPF1F212知， |PF2|2x，a32x，由|PF1|2 |PF2|2|F1F2|2得 c52x，eca53. 3(文)(北京西城区 )已知圆 (x2)2y236 的圆心为M，设 A 为圆上任一点，N(2,0) ，线段 AN 的垂直平分线交MA 于点 P，则动点P 的轨迹是() A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案 B 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，故|PA| |PN|，又 AM 是圆的半径，|PM|PN|PM|P A|AM|6|MN|，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆(理)(浙江台州 )已知点M(3， 0)，椭圆x24y21 与直线y k(x3)交于点A、B，则ABM 的周长为() A4 B8 C 12 D16 答案 B 解析 直线 yk(x3)过定点 N(3，0)，而 M、N 恰为椭圆x24y21 的两个焦点，由椭圆定义知 ABM 的周长为4a42 8. 4已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与双曲线x2m2y2n21(m0，n0)有相同的焦点(c， 0)和(c,0)(c0)若 c 是 a、m 的等比中项， n2是 2m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率是() A.33B.22C.14D.12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页答案 D 解析 由题意得c2am(1)2n22m2c2(2)c2m2n2(3)，由(2)(3) 可得 mc2，代入 (1)得椭圆的离心率 eca12.故选 D. 5(文)椭圆x2100y2641 的焦点为F1、F2，椭圆上的点P 满足 F1PF260 ，则F1PF2的面积是() A.6433B.9133C.1633D.643答案 A 解析 由余弦定理：|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos60 |F1F2|2. 又|PF1|PF2| 20，代入化简得 |PF1| |PF2|2563，SF1PF212|PF1| |PF2| sin60 6433. (理)已知 F 是椭圆x225y291 的一个焦点， AB 为过其中心的一条弦，则 ABF 的面积最大值为() A6 B15 C20 D12 答案 D 解析 S12|OF | |y1y2|12|OF| 2b12. 6(2010 山东济南 )设 F1、F2分别为椭圆x2a2y2b21 的左、右焦点，ca2b2，若直线 xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是() A. 0，22B.33，1C.22，1D.0，33答案 B 解析 直线 xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过F2，|F1F2|PF2|，设直线xa2c与 x 轴交于 Q 点，则易知 |PF2|QF2|，即 |F1F2| |QF2|，2ca2c c，ca2b20，3c2a2，即 e213，e33，33eb0)的两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心， 以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页A.32B.12C.22D.31 答案 D 解析 连结 AF1，由圆的性质知， F1AF2 90 ，又 F2AB 是等边三角形， AF2F1 30 ， AF1c， AF23c， eca2c2a2cc3c31.故选 D. 8(文)(辽宁沈阳 )过椭圆 C：x2a2y2b2 1(ab0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是() A.14，49B.23，1C.12，23D. 0，12答案 C 解析 点 B 的横坐标是c，故 B 的坐标c，b2a，已知 k13，12，B c，b2a. 斜率 kb2acab2aca2a2c2aca21e2e1. 由13k12，解得12ec0)静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是() A2(ac) B2(ac) C4aD以上答案均有可能答案 D 解析 如图所示，本题应分三种情况讨论：当光线沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 2(ac)；当光线沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(ac )；在其它情况下，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是4a.故选 D. 9(杭州五校 )椭圆 x2my21 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为() A.14B.12C 2 D4 答案 A 解析 由题意y21mx21，且1m2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页m14.故选 A. 10(宁波余姚 )如果 AB 是椭圆x2a2y2b21 的任意一条与x 轴不垂直的弦， O 为椭圆的中心， e为椭圆的离心率，M 为 AB 的中点，则kAB kOM的值为() Ae1 B1 eCe21 D1 e2答案 C 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 M(x0，y0)，由点差法，x21a2y21b2 1，x22a2y22b21，作差得(x1x2)(x1x2)a2(y2y1)(y2 y1)b2，kAB kOMy2y1x2 x1y1y2x1x2b2a2c2a2a2e21.故选 C. 二、填空题11(文)已知 F1、F2为椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点， M 为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且 F1MF260 ，则椭圆的离心率为_答案 33解析 令 x c，c2a2y2b21. yb2a.|F1M|b2a. F1MF260 ，|MF2|2|MF1|2b2a. 又|MF1|MF2|2a，3b2a2a. a23c2.e213， 0eb0)的焦距为 2c.以点 O 为圆心， a 为半径作圆M.若过点 Pa2c，0 作圆 M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_答案 22解析 设切点为Q、B，如图所示 切线 QP、PB 互相垂直，又半径 OQ 垂直于 QP，所以 OPQ 为等腰直角三角形，可得2aa2c，eca22. 12在平面直角坐标系xOy 中，已知 ABC 的顶点 A(4,0)和 C(4,0)，顶点 B 在椭圆x225y291 上，则sinAsinCsinB_. 答案 54解析 x225y291 的焦点是A(4,0)、C(4,0)，点 B 在椭圆上， BABC2a10，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页AC8，由正弦定理得sinAsinCsinBBCABAC54. 13设椭圆x225y2161 上一点P 到右准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M满足 OM12(OPOF)，则 |OM|_. 答案 3 解析 设右焦点F，由定义 |PF|PF|10，|PF|10e35，|PF|6，OM12(OPOF)，M 为 PF 的中点， |OM|12|PF |3. 14若右顶点为A 的椭圆x2a2y2b21(ab0)上存在点P(x，y)，使得 OP PA 0，则椭圆离心率的范围是_答案 22e1 解析 在椭圆x2a2y2a21 上存在点P，使OP PA0，即以 OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点以 OA 为直径的圆的方程为x2 axy20 与椭圆方程b2x2 a2y2 a2b2联立消去y 得(a2b2)x2a3xa2b20，将 a2b2c2代入化为 (xa)(c2xab2)0，xa，xab2c2，由题设ab2c2a，a2c2c222，0e1，22e0，只能 x32，于是 y523. 点 P 的坐标是32，523 . (2)直线 AP 的方程是x3y6 0，设点 M 的坐标为 (m,0)，则 M 到直线 AP 的距离是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页|m 6|2，于是|m6|2|m6|，又 6m6，解得 m2. 设椭圆上的点(x， y)到点 M 的距离为dd2(x2)2y249x92215，6 x6，当 x92时， d 取最小值15. (理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为1. (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 (A、B 不是左右顶点 )，且以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标解析 (1)设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，由已知得： ac3，ac1，a2，c1，b2a2c23. 椭圆的标准方程为x24y231. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxmx24y231得，(34k2)x28mkx4(m23) 0， 64m2k216(34k2)(m23)0 即 34k2m20 x1 x28mk3 4k2，x1 x24(m23)34k2，又 y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2mk(x1x2)m23(m24k2)34k2，因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，kADkBD 1，即y1x12y2x22 1. y1y2 x1x22(x1 x2)40. 3(m24k2)34k24(m23)34k216mk34k24 0. 7m2 16mk4k20. 解得 m1 2k，m22k7，且均满足34k2m20. 当 m1 2k 时， l 的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当 m22k7时， l 的方程为yk x27，直线过定点27，0 .所以，直线l 过定点，定点坐标为27，0 . 16(文)已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，求该椭圆的方程解析 若椭圆的焦点在x 轴上，则设方程为x2a2y2b21(ab0)，两焦点F1(c,0)、F2(c,0)，短轴的一个端点为B(0，b)，长轴的一个端点为A(a,0)(ca2b2)由BF1F2为正三角形知，|BF1|BF2|F1F2|，所以 a2c. 又焦点到椭圆上的点的最短距离为ac3. 由a2c，ac3.解得 a2 3，c3，b3. 椭圆方程为x212y291. 同理，若椭圆的焦点在y 轴上，椭圆方程为y212x29 1. 点评 (1)上述求解中，利用了结论：焦点到椭圆上的点的最短距离为ac.这是因为设P(x，y)是椭圆上任一点，则 x a，a，所以 |PF2|2(x c)2y2(xc)2(b2b2a2x2)c2a2(a2cx)2c2a2(a2c a)2(ac)2，即|PF2|ac，于是 |PF2|minac. (2)此结论还可以用焦半径证明如下：椭圆焦点 F，椭圆上任一点P(x0，y0)，离心率 e，则 |PF|a ex0(左焦点取 “”号，右焦点取 “”号) a x0a， ac|PF|a c. 还可以用椭圆的参数方程证明从略(理)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B(0， 1)，且其右焦点到直线 xy2 20 的距离为3. (1)求椭圆方程；(2)是否存在斜率为k(k0)，且过定点Q(0，32)的直线 l，使 l 与椭圆交于两个不同的点M、N，且 |BM|BN|？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解析 (1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则 b1. 令右焦点 F(c,0)(c0)，则由条件得3|c 022|2，得 c2.那么 a2b2c23，椭圆方程为x23 y2 1. (2)假设存在直线l： ykx32(k0)，与椭圆x23 y2 1联立，消去y 得(13k2)x29kx154 0，由 (9k)24(13k2) 1540，得 k2512；设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，由|BM|BN|，则有 BPMN，由韦达定理代入kBP1k，可求得 k223.满足条件k2512，所以所求直线存在，其方程为y63x32. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页17(文)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为32，求 AOB 面积的最大值解析 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意ca63a3，c2，b1， 所求椭圆方程为x23 y2 1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当 ABx 轴时， |AB|3，当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为ykxm. 由已知|m|1k232，得 m234(k21)，把 ykxm 代入椭圆方程，整理得(3k2 1)x26kmx3m230. x1x26km3k21，x1x23(m21)3k21. k0，|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)36k2m2(3k21)212(m21)3k2 112(k21)(3k21m2)(3k21)23(k21)(9k21)(3k21)2312k29k46k213129k21k2631223 64. 当且仅当 9k21k2即 k33时等号成立当 k0 时， |AB|3，综上所述 |AB|max2. 当|AB|最大时， AOB 面积取最大值，S12|AB|max3232. (理)如图，在椭圆C 中，点 F1是左焦点， A(a,0)，B(0，b)分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心又点P 在椭圆上，且OP AB，点 H 是点 P 在 x 轴上的射影(1)求证：当a 取定值时，点H 必为定点；(2)如果点 H 落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆的离心率的取值范围；(3)如果以 OP 为直径的圆与直线AB 相切，且凸四边形ABPH 的面积等于32，求椭圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页解析 (1)证明：由 kABba，OPAB 得，lOP：ybax，代入椭圆方程x2a2y2b21 得，x2a22，P22a，22b 或 P22a，22b . PHx 轴， H 22a，0 或 H22a，0 . a 为定值， H 为定点(2)点 H 落在左顶点与左焦点之间，a22ac，0e22. (3)以 OP 为直径的圆与直线AB 相切等价于点O 到直线 AB 的距离等于12|OP|. 由条件设直线AB：xayb1，则点 O 到直线 AB 的距离 daba2b2，|OP|2a22b22，aba2b22a22b24，a2b22 2ab .S四边形 ABPHSABOS四边形 OBPH12ab1222bb22a324ab32，ab4，由 解得 a24( 21)，b24(21)，所以所求椭圆方程为x24(21)y24( 21)1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页