2022年高中数学解析几何知识点总结2 .pdf

07. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程 . 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角 ， 其 中 直 线 与x轴 平 行 或 重 合 时 ， 其 倾 斜 角 为0 ， 故 直 线 倾 斜 角 的 范 围 是)0(1800. 注：当90 或12xx时，直线 l 垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点), 0(),0,(ba， 即直线在x轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,baba时，直线方程是：1byax. 注 ： 若232xy是 一 直 线 的 方 程 ， 则 这 条 直 线 的 方 程 是232xy， 但 若)0(232xxy则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy，当bk,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当 b 为定植， k 变化时，它们表示过定点（0， b ）的直线束 .当 k 为定值， b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行：1l 212kkl两条直线平行的条件是：1l 和2l是两条不重合的直线. 在1l 和2l的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“ 前提 ” 都会导致结论的错误 . （一般的结论是：对于两条直线21,ll，它们在y 轴上的纵截距是21,bb，则1l 212kkl，且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121ABBA是平行的必要不充分条件，且21CC）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l 212l. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l 和2l的斜率分别为1k 和2k ，则有12121kkll这里的前提是21,ll的斜率都存在 . 0121kll，且2l的斜率不存在或02k，且1l 的斜率不存在 . （即01221BABA是垂直的充要条件）4. 直线的交角：直线1l 到2l的角（方向角）；直线1l 到2l的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90 时21121tankkkk. 两条相交直线1l 与2l的夹角：两条相交直线1l 与2l的夹角，是指由1l 与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l 和2l所成的角，它的取值范围是2, 0，当90 ，则有21121tankkkk. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页5. 过两直线0:0:22221111CyBxAlCyBxAl的交点的直线系方程(0)(222111CyBxACyBxA为参数，0222CyBxA不包括在内）6. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点),(00yxP，直线PCByAxl,0:到 l 的距离为d ，则有2200BACByAxd. 注：1.两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：21221221)()(|yyxxPP. 特例：点 P(x,y)到原点 O 的距离：22|OPxy2.定 比 分 点 坐 标 分 式 。 若 点P(x,y) 分 有 向 线 段1212PPPPPPuu u ruuur所成的比为即, 其 中P1(x1,y1),P2(x2,y2).则1,12121yyyxxx特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3.直线的倾斜角（0180）、斜率 :tank4.过两点1212222111),(),(xxyykyxPyxP的直线的斜率公式：. 12()xx当2121,yyxx（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角90，没有斜率王新敞两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211CCCByAxlCByAxl，它们之间的距离为d ，则有2221BACCd. 注；直线系方程1. 与直线： A x+By+C= 0 平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, Cm). 2.与直线： Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是：Bx-A y+m=0.( m?R) 3. 过定点（ x1,y1）的直线系方程是：A( x-x1)+B( y-y1)=0 (A,B 不全为 0) 4. 过直线 l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (?R）注：该直线系不含l2. 7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等 .若两条直线不平行， 则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页注：曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法：y 换 x，x 换 y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x 2 对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 C: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程 . 1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxM其坐标与方程0),(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点 . 注：如果曲线C 的方程是 f(x ,y)=0 ，那么点 P0(x0 ,y)线 C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心与y轴相切的圆方程222)()(abyax),(),(,babaar或圆心与x轴 y 轴都相切的圆方程222)()(aayax),(,aaar圆心3. 圆的一般方程：022FEyDxyx. 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：sincosrbyrax（为参数） . 方 程022FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径或方程： 已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA（用向量可征） . 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M在圆 C 内22020)()(rbyaxM在圆 C 上22020)()rbyax（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页M在圆 C 外22020)()(rbyax5. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C ：)0()()(222rrbyax；直线 l ：)0(022BACByAx；圆心),(baC到直线 l 的距离22BACBbAad. rd时， l 与 C 相切；附：若两圆相切，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为公切线方程. rd时， l 与 C 相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121FFyEExDD. rd时， l 与 C 相离 .附：若两圆相离，则002222211122FyExDyxFyExDyx相减为圆心21OO的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组0)()(222CBxAxrbyax用代入法，得关于x（或 y ）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与 C 相切；l0与 C 相交；l0与 C 相离 . 注：若两圆为同心圆则011122FyExDyx，022222FyExDyx相减，不表示直线. 6. 圆 的 切 线 方 程 ： 圆222ryx的 斜 率 为 k 的 切 线 方 程 是rkkxy21过 圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上， 则(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地， 过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 . 7. 求切点弦方程： 方法是构造图， 则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类共0:0:222222111221FyExDyxCFyExDyxCABCD(a,b)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页圆 . 已 知O 的 方 程022FEyDxyx又 以ABCD为 圆 为 方 程 为2)()(kbxyyaxxxAA4)()(222byaxRAA，所以BC 的方程即代，相切即为所求. 三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系：1） 曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解（纯粹性）；2） 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线C 上（完备性）。则称方程f(x,y)=0 为曲线 C 的方程，曲线C 叫做方程f(x,y)=0 的曲线。2.求曲线方程的方法：. 1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验 ; 2）参数法 ; 3）定义法，4）待定系数法 . -圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质（4）了解圆锥曲线的初步应用 08. 圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程 . 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222babyax. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222babxay. 一般方程：) 0,0( 122BAByAx.椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）. 顶点：),0)(0 ,(ba或)0 ,)(,0(ba.轴：对称轴： x 轴， y 轴；长轴长a2 ，短轴长b2 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页焦 点 ：)0,)(0,(cc或),0)(, 0(cc. 焦 距 ：2221,2baccFF. 准 线 ：cax2或cay2.离心率：)10(eace.焦点半径：i. 设),(00yxP为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00yxP为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：) 0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为“ 左加右减 ” . 注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于 0 的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程 . 若P 是椭圆：12222byax上的点 .21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得） . 若是双曲线，则面积为2cot2b. 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF 双 曲 线 标 准 方 程 ：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax. 一 般 方 程 ：)0( 122ACCyAx. i. 焦点在 x 轴上：顶点：)0,(),0,(aa焦点：)0,(),0,(cc准线方程cax2渐近线方程：0byax或02222byaxii. 焦点在 y轴上：顶点：), 0(), 0(aa. 焦点：),0(),0(cc. 准线方程：cay2. 渐近线0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPFasinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx .轴yx,为对称轴， 实轴长为 2a, 虚轴长为2b，焦距 2c. 离心率ace. 准线距ca22（两准线的距离）；通径ab22. 参数关系acebac,222. 焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201等轴双曲线： 双曲线222ayx称为等轴双曲线， 其渐近线方程为xy， 离心率2e. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 .2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax. 例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx. 直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；区域： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线， 1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. 若 P 在双曲线12222byax，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n，则 P 到两准线的距yxMMF1F2yxMMF1F2yxF1F21234533精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页离比为 mn. 简证：ePFePFdd2121= nm. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程. 3. 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx, 00, yRx0, yRx对称轴x轴y 轴顶点（0，0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数） . 四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数e的点的轨迹 . 当10e时，轨迹为椭圆；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac, 0时） . 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的 . 因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1 到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 .（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) y2=2px 参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围ax a，by b |x| a，y R x 0 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), ( a,0) , (0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)0 ,2(pF焦距2c （c=22ba）2c （ c=22ba）离心率)10(eace) 1(eacee=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页准线x=ca2x=ca22px渐近线y=abx 焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22ab222p 焦参数ca2ca2P 1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2.等轴双曲线3.共轭双曲线5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页