2022年高中立体几何基础知识点全集 .pdf
mll立体几何知识点整理姓名：一直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交Al符号表示：3. 线在面内l符号表示：二平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。mlmll/方法二：用面面平行实现。mlml/方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml /。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且 l、 m 不重合，则ml /。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。/llmml方法二：用面面平行实现。/ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量 ，ln且l, 则/l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。/, ,/且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。/,/且相交mlml三垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,mlnlmllmmlABCllm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页方法二：用面面垂直实现。llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1) 范围：90,0(2)求法：方法一：定义法。步骤 1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤 2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：abcba2cos222(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos(二 )线面角(1)定义：直线l 上任取一点P（交点除外） ，作PO于 O,连结 AO， 则 AO 为斜线 PA 在面内的射影，PAO(图中)为直线 l 与面所成的角。AOP(2)范围：90,0当0时，l或/l当90时，l(3)求法：方法一：定义法。步骤 1：作出线面角，并证明。步骤 2：解三角形，求出线面角。方法二：向量法(n为平面的一个法向量)。APn,cossinAPnAPnlmlmlcbaABCnAOPlAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页(三)二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m、n，则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nmlP(2)范围：180,0(3)求法：方法一：定义法。步骤 1： 作出二面角的平面角(三垂线定理 )， 并证明。步骤 2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤 1： 如图，若平面 POA 同时垂直于平面和，则交线 (射线 )AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2：解三角形，求出二面角。AOP方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1点面距。方法一：几何法。OAP步骤 1： 过点 P 作 PO于 O， 线段 PO 即为所求。步骤 2：计算线段PO 的长度。 (直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 方法二：坐标法。APnAPdcosnAPn2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。nm如图， m 和 n 为两条异面直线，n且/m， 则异面直线m 和 n 之间的距离可转化为直线 m 与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。dcbamDCBAmn如图， AD 是异面直线m 和 n 的公垂线段，/ mm，则异面直线m 和 n 之间的距离为：cos2222abbacdPOAn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页五空间向量(一)空间向量基本定理若向量cba,为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对zyx、，使得czbyaxp。(二) 三点共线，四点共面问题1. A，B，C 三点共线OAxOByOC，且1xy当21yx时， A 是线段 BC 的A， B，C 三点共线ACAB2. A，B，C， D 四点共面OAxOByOCzOD，且1xyz当13xyz时， A是 ABC的A， B，C，D 四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1. 已知空间中A、B 两点的坐标分别为：111(,)A x y z，222(,)B xyz则：AB ;BAd,AB2. 若空间中的向量111(,)ax y z，),(222zyxb则ababa bcosa b六常见几何体的特征及运算(一)长方体1. 长方体的对角线相等且互相平分。2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、 、，则222coscoscos+若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、 、，则222coscoscos+3. 若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二 )正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三 )正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四 )正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体) (五 )棱锥的性质： 平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。(六 )体积：棱柱V棱锥V(七 )球1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2. 设球半径为R， 小圆的半径为r， 小圆圆心为O1，球心 O 到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4. 球的表面积公式：体积公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
