2022年高考数学一轮复习第七章不等式二元一次不等式与简单的线性规划问题教学案理新人教A版 .pdf

7.3 二元一次不等式 (组) 与简单的线性规划问题考纲要求1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决1二元一次不等式( 组) 的解集满足二元一次不等式( 组)的x和y的取值构成有序数对(x，y) ， 所有这样的有序数对(x，y) 构成的集合称为二元一次不等式( 组) 的_2二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线AxByC0 分成三类：(1) 满足AxByC_0 的点；(2) 满足AxByC_0 的点；(3) 满足AxByC_0 的点3坐标平面内的点与方程式AxByC 0的关系(1) 点在直线l上? 点的坐标使AxByC0. (2) 直线l同一侧的点 ? 点的坐标使式子AxByC值具有 _的符号(3) 点M，N在直线l两侧 ?M，N两点的坐标使式子AxByC值的符号 _，即一侧都 _，另一侧都 _(4) 二元一次不等式所表示区域的确定方法在直线l的某一侧取一特殊点，检测其精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页_是否满足二元一次不等式，如果满足，则这点_区域就是所求的区域；否则l的_就是所求的区域4线性规划中的基本概念名称定义目标函数欲求 _的函数，叫做目标函数约束条件目标 函数中 的_要满足的不等式组线性目标函数若目标函数是关于变量的_函数，则称为线性目标函数线性约束条件如果约束条件是关于变量的_不等式 ( 或等式 ) ，则称为线性约束条件可行解满足线性约束条件的解_称为可行解可行域所有可行解组成的_叫做可行域最优解使目标函数达到_或_的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的_或_问题1能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( ) A0y12xy20 By12xy20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页C0y12xy20 x0 Dy1x02xy202 已知点 ( 3， 1) 和(4 ， 6) 在直线 3x 2ya0 的两侧，则a的取值范围是 ( ) A( 24,7) B( 7,24) C( ， 7)(24 ，)D( ， 24)(7 ，)3下面给出的四个点中，到直线xy1 0 的距离为22，且位于xy10表示的平面区域内的点是( ) A(1,1) B( 1,1) C( 1， 1) D(1， 1) 4(2012安徽高考 ) 若x，y满足约束条件x0，x2y3，2xy3，则zxy的最小值是( ) A 3 B0 C32 D3 5若实数x，y满足x3y30，x0，y0，则该不等式组表示的区域面积为_，zy2x1的取值范围是 _一、二元一次不等式( 组)表示平面区域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页【例 1】(1) 画出不等式组x3，2yx，3x2y6，3yx9表示的平面区域；(2) 如图，在ABC中，A(0,1) ，B( 2,2) ，C(2,6) ，写出ABC区域所表示的二元一次不等式组方法提炼二元一次不等式( 组) 表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点请做演练巩固提升3 二、求目标函数的最值【例 21】(2012 四川高考 ) 若变量x，y满足约束条件xy 3，x2y12，2xy12，x0，y0，则z3x 4y的最大值是 ( ) A12 B26 C28 D 33 【例 22】一元二次方程x2ax2b0(a，bR) 有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2) 内，求：(1) 点(a，b) 对应的区域的面积；(2)b2a1的取值范围方法提炼求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解提醒： (1) 线性目标函数zaxby与y轴交点为0，zb，zbzbb( 线性目标函数在y轴上的截距 ) 故对b的符号一定要注意：当b 0 时，当直线过可行域且在y轴上的截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；当b0 时，当直线过可行域且在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页y轴上的截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大(2) 如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点请做演练巩固提升2,4 三、线性规划的实际应用【例 3】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵玩具需5 分钟， 生产一个骑兵玩具需7 分钟， 生产一个伞兵玩具需4 分钟， 已知总生产时间不超过10 小时若生产一个卫兵玩具可获利润5 元，生产一个骑兵玩具可获利润6元，生产一个伞兵玩具可获利润3 元(1) 用每天生产的卫兵玩具个数x与骑兵玩具个数y表示每天的利润w( 元) ；(2) 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？方法提炼线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格， 找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1) 作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l；(2) 平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；(3) 求值解方程组求出A点坐标 ( 即最优解 ) ，代入目标函数，即可求出最值请做演练巩固提升6 数形结合求解非线性目标函数的最值问题【典例】 (12 分) 变量x，y满足x4y30，3x5y250，x1，(1) 设zyx，求z的最小值；(2) 设zx2y2，求z的取值范围；(3) 设zx2y2 6x4y13，求z的取值范围分析： (x，y) 是可行域内的点(1)zy0 x0可以理解为点(x，y) 与点 (0,0)连线的斜率 (2)x2y2可以理解为点 (x，y) 与点 (0,0)连线距离的平方(3)x2y26x4y13 (x3)2(y2)2可以理解为点(x，y) 与( 3,2) 的距离的平方结合图形确定最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页规范解答：由约束条件x4y30，3x5y250，x1作出 (x，y) 的可行域如图所示由x1，3x5y250，解得A1，225. 由x1，x4y30，解得C(1,1) 由x4y30，3x5y250解得B(5,2) (4 分) (1) zyxy0 x0，z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB25.(6分) (2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|OC| 2，dmax|OB| 29. 2z29.(9分) (3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是可行域上的点到点( 3,2)的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到( 3,2) 的距离中，dmin1( 3) 4，dmax 3522228. 16z64.(12分 ) 答题指导：(1) 本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2) 解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义(3) 本题错误率较高出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页1(2012 课标全国高考 ) 已知正三角形ABC的顶点A(1,1) ，B(1, 3) ，顶点C在第一象限，若点 (x，y) 在ABC内部，则zxy的取值范围是( ) A(13，2) B(0,2) C(3 1,2) D (0,1 3) 2 (2012 辽宁高考 ) 设变量x，y满足xy10，0 xy20，0y15，则 2x3y的最大值为 ( ) A20 B35 C45 D 55 3不等式组x0，y0，xy1所表示的平面区域的面积为_4已知x，y满足y20，x30，xy10，则x2y2的最大值为 _5已知实数x，y满足y1，y2x1，xym，如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于 _6已知某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A原料 3 吨，B原料 2 吨；生产每万件乙种配件要用A原料 1 吨，B原料 3 吨，销售每件甲配件可获得利润5 元，每件乙配件可获得利润3 元已知该企业在一年内消耗A原料不超过13 吨，B原料不超过18 吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页参考答案基础梳理自测知识梳理1解集2(1) (2) (3) 3(2) 相同(3) 相反大于 0 小于 0 (4) 坐标所在的另一侧4最大值或最小值变量x，y一次一次(x，y) 集合最大值最小值最大值最小值基础自测1C 解析： 由图可看出，阴影部分满足0y1，1x0.点 (0,0) 在直线 2xy20 的下方，且(0,0) 点坐标代入方程左端有20 02 0，阴影部分符合2xy20.2B 解析： 点( 3， 1) 和(4 ， 6) 在直线 3x2ya0 的两侧，则( 92a)(12 12a) 0，即(a7)(a 24)0. 7a24. 3C 解析： 经验证 (1,1)，( 1,1) 不在xy10所表示的平面区域内，而( 1， 1) ，(1 ， 1)满足xy10，又点 ( 1，1) 到直线xy10 的距离d| 111|222，(1 ，1) 到直线xy10 的距离d|1 ( 1)1|2322，( 1， 1) 满足条件4A 解析： 作出可行域如图所示，令z0，得l0：xy0，平移l0，当l0过点A(0,3) 时满足z最小，此时zmin033. 532( ， 2 1 ，)解析： 在坐标系中画出可行域，如下图阴影部分所示，S123132，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页zy2x1即为可行域中的点与点P(1， 2) 连线的斜率，z0( 2)311 或z0( 2)01 2. 考点探究突破【例 1】解： (1) 不等式x 3 表示x3 左侧点的集合不等式 2yx表示x2y0 上及其左上方点的集合不等式 3x 2y6 表示直线3x2y60 上及其右上方点的集合不等式 3yx9 表示直线3yx90 右下方点的集合综上可得：不等式组表示的平面区域如图所示(2) 由两点式得直线AB，BC，CA的方程并化简为：直线AB：x2y20，直线BC：xy4 0，直线CA：5x2y20. 原点 (0,0) 不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为x2y20，xy40，5x2y20.【例 21】C 解析： 作出可行域如图五边形OABCD边界及其内部，作直线l0：3x4y 0，平移直线l0经可行域内点B时，z取最大值由x2y12，2xy12，得B(4,4) ，于是zmax3444 28，故选 C. 【例 22】 解： 方程x2ax2b0 的两根在区间(0,1) 和(1,2) 上的几何意义分别是：函数yf(x) x2ax2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1) 和(1,2) 内，由此可得不等式组f(0)0 ，f(1)0?b0，a 2b10.由a2b10，ab20，解得A( 3,1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页由ab20，b0，解得B( 2,0) 由a2b10，b0，解得C(1,0) ，在如图所示的aOb坐标平面内， 满足约束条件的点(a，b) 对应的平面区域为ABC( 不包括边界 )(1) ABC的面积为SABC12|BC| h12(h为A到a轴的距离 )(2)b2a1的几何意义是点(a，b) 和点D(1,2) 连线的斜率kAD211314，kCD20111，由图可知kADb 2a 1kCD，14b2a11，即b 2a 114，1 . 【例 3】解： (1) 依题意每天生产的伞兵个数为100 xy，所以利润w5x6y3(100 xy) 2x3y300. (2) 约束条件为5x 7y4(100 xy) 600，100 xy0，x0，y0，整理得x3y200，xy100，x0，y0.目标函数为w2x 3y300. 如图所示，作出可行域初始直线l0： 2x3y0，平移初始直线经过点A时，w有最大值由x3y200，xy100，得x50，y50，最优解为A(50,50) ，所以wmax550 元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页答：每天生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵0 个时利润最大，为550 元演练巩固提升1A 解析： 由顶点C在第一象限且与A，B构成正三角形可求得点C坐标为 (1 3，2)，将目标函数化为斜截式为yxz，结合图形可知当yxz过点C时z取到最小值，此时zmin13，当yxz过点B时z取到最大值，此时zmax 2，综合可知z的取值范围为 (1 3， 2) 2D 解析： 作出可行域如图所示令z2x3y，则y23x13z，要使z取得最大值，则需求直线y23x13z在y轴上的截距的最大值，移动直线l0：y23x，可知当l0过点C(5,15) 时，z取最大值， 且zmax25315 55，于是 2x3y的最 大值为 55. 故选D. 312解析： 满足x0，y0，xy1的点 (x，y) 的可行域如图所示，SAOB121112. 425 解析： 作出如图所示的可行域x2y2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A( 3， 4) 处取最大值 ( 3)2( 4)225. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页55 解析： 画出可行域 ( 如图中阴影部分所示) 由于zxy，所以yxz，z值越小，直线截距越大，因此当z取得最小值1 时，其方程为yx 1. 由方程组yxm，y2x1，解得A点的坐标为m13，2m13，代入直线方程yx1，得m5. 627 万元解析： 设生产甲种配件x万件，生产乙种配件y万件，则有关系：A原料B原料甲种配件x万件3x 2x乙种配件y万件y 3y有x0，y0，3xy13，2x3y18，(x，yN*) 目标函数z5x 3y. 如图所示， 作出可行域， 求出可行域边界上各端点的坐标，A133，0 ，B(0,6)，C(3,4) 由图形可知，目标函数在点C(3,4) 处取得最大值，最大值为z5334 27. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页