2022年高考圆锥曲线难题集粹 .pdf

学习必备欢迎下载高考数学圆锥曲线训练1.已知ABC的顶点AB，在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且ABl（）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC的面积；（）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程解： （）因为ABl，且AB边通过点(0 0)，所以AB所在直线的方程为yx设AB，两点坐标分别为1122() ()xyxy， ，由2234xyyx，得1x所以1222 2ABxx又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离所以2h，122ABCSAB h（）设AB所在直线的方程为yxm，由2234xyyxm，得2246340 xmxm因为AB，在椭圆上，所以212640m设AB，两点坐标分别为1122() ()xyxy， ，则1232mxx，212344mx x，所以21232622mABxx又因为BC的长等于点(0)m，到直线l的距离，即22mBC所以22222210(1)11ACABBCmmm所以当1m时，AC边最长，（这时12640）此时AB所在直线的方程为1yx2.如图，椭圆C：22221(0)xyabab的一个焦点为F（1，0） ，且过点(2 0)，（）求椭圆C的方程；（）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：4x与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上；（）求AMN面积的最大值y x A B M F N l O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载（）由题设2a，1c，从而2223bac所以椭圆C的方程为22143xy（） （）由题意得(10)F，(4 0)N，设()A mn，则()(0)B mnn，22143mnAF与BN的方程分别为：(1)(1)0n xmy，(4)(4)0n xmy设00()M xy，则有0000(1)(1)0(4)(4)0n xmyn xmy， ，由，得05825mxm，0325nym由于22220022(58)3434(25)(25)xymnmm2222(58)34(25)(25)mnmm222(58)124(25)mnm222(58)3694(25)mmm1所以点M恒在椭圆C上（）设AM的方程为1xty，代入22143xy得22(34)690tyty设11()A xy，22()M xy，则有：122634tyyt，122934y yt2212121224 333()434tyyyyy yt令234(4)t，则22124 31111114 34 324yy，因为4，1104，所以当114，即4，0t时，12yy有最大值3，此时AM过点FAMN的面积12121322AMNSFNyyyy有最大值92y x A B M F N O y x A B M F N O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载3.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k0)与 AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 . ( )若ED=6DF，求 k 的值； )求四边形AEBF面积的最大值。22 （）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykx k 2 分如图，设001122()()()D xkxE xkxF xkx，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)777 14xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk所以2210127 14kk，化简得2242560kk，解得23k或38k 6 分（ ） 解 法 一 ： 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 式 知 ， 点EF，到AB的 距 离 分 别 为21112222(1214)55(1 4)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk 9 分又2215AB，所以四边形AEBF的面积为121()2SAB hh214(1 2 )525(1 4)kk22(12 )14kk22144214kkk22当21k，即当12k时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分解法二：由题设，1BO，2AO设11ykx，22ykx，由得20 x，210yy，D F B y x A O E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载故四边形AEBF的面积为BEFAEFSSS222xy 9 分222(2)xy22222244xyx y22222(4)xy2 2当222xy时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分4.已知曲线11(0)xyCabab：所围成的封闭图形的面积为4 5， 曲线1C的内切圆半径为2 53 记2C为以曲线1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆（）求椭圆2C的标准方程； （）设AB是过椭圆2C中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线M是l上异于椭圆中心的点（1）若MOOA（O为坐标原点） ，当点A在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；（2）若M是l与椭圆2C的交点，求AMB的面积的最小值22解： （）由题意得2224 52 53ababab，又0ab，解得25a，24b因此所求椭圆的标准方程为22154xy（） （1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为(0)ykx k，()AAA xy，解方程组22154xyykx，得222045Axk，2222045Akyk，所以22222222202020(1)454545AAkkOAxykkk设()M xy，由题意知(0)MOOA，所以222MOOA，即2222220(1)45kxyk，因为l是AB的垂直平分线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载所以直线l的方程为1yxk，即xky，因此22222222222220 120()4545xyxyxyxyxy，又220 xy，所以2225420 xy，故22245xy又当0k或不存在时，上式仍然成立综上所述，M的轨迹方程为222(0)45xy（2）当k存在且0k时，由（ 1）得222045Axk，2222045Akyk，由221541xyyxk，解得2222054Mkxk，222054Myk，所以2222220(1)45AAkOAxyk，222280(1)445kABOAk，22220(1)54kOMk解法一：由于22214AMBSABOM2222180(1)20(1)44554kkkk2222400(1)(45)(54)kkk22222400(1)45542kkk222221600(1)4081(1)9kk，当且仅当224554kk时等号成立，即1k时等号成立，此时AMB面积的最小值是409AMBS当0k，1402 522 529AMBS当k不存在时，140542 529AMBS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载综上所述，AMB的面积的最小值为409解法二：因为222222111120(1)20(1)4554kkOAOMkk2224554920(1)20kkk，又22112OA OMOAOM，409OA OM，当且仅当224554kk时等号成立，即1k时等号成立，此时AMB面积的最小值是409AMBS当0k，1402 522 529AMBS当k不存在时，140542 529AMBS综上所述，AMB的面积的最小值为4095.已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是否存在实数k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由解法一：（）如图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx，由韦达定理得122kxx，121x x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk即lAB（）假设存在实数k，使0NA NB，则NANB，又M是AB的中点，1|2MNAB由（）知121212111()(22) ()4222Myyykxkxk xxx A y 1 1 2 M N B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载22142224kkMNx轴，22216| |2488MNkkkMNyy又222121212|1|1()4ABkxxkxxx x2222114( 1)11622kkkk22216111684kkk，解得2k即存在2k，使0NA NB解法二：（）如图，设221122(2)(2)A xxB xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yx，4yx，抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB（）假设存在实数k，使0NA NB由（）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，则22221212224488kkkkNA NBxxxx222212124441616kkkkxxxx1212144444kkkkxxxx221212121214()4164kkkx xxxx xk xx22114( 1)421624kkkkkk22313164kk0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载21016k，23304k，解得2k即存在2k，使0NA NB6.抛物线2yx和三个点00000(,)(0,)(,)M xyPyNxy、2000(,0)yxy， 过点M的一条直线交抛物线于A、B两点，APBP、的延长线分别交曲线C于EF、（1）证明EFN、 、三点共线；（2）如果A、B、M、N四点共线，问：是否存在0y，使以线段AB为直径的圆与抛物线有异于A、B的交点？如果存在，求出0y的取值范围， 并求出该交点到直线AB的距离；若不存在，请说明理由22 （1）证明：设221122(,)(,)A x xB xx、，(,)(,)EEFFE xyB xy、则直线AB的方程：222121112xxyxxxxx即：1212()yxxxx x因00(,)M xy在AB上，所以012012()yxxxx x又直线AP方程：21001xyyxyx由210012xyyxyxxy得：2210010 xyxxyx所以22100012111,EEExyyyxxxyxxx同理，200222,FFyyxyxx所以直线EF的方程：201201212()yxxyy xx xx xyxPNOMAEBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载令0 xx得0120012()yyxxxyx x将代入上式得0yy，即N点在直线EF上所以,E F N三点共线（2）解：由已知ABMN、 、共线，所以0000,(,)AyyByy以AB为直径的圆的方程：2200 xyyy由22002xyyyxy得22000210yyyyy所以0yy（舍去），01yy要使圆与抛物线有异于,A B的交点，则010y所以存在01y，使以AB为直径的圆与抛物线有异于,A B的交点,TTT xy则01Tyy，所以交点T到AB的距离为00011Tyyyy7.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点(2 0)M，AB边所在直线的方程为360 xy点( 11)T，在AD边所在直线上（I）求AD边所在直线的方程；（II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点( 2 0)N，且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程解： （I）因为AB边所在直线的方程为360 xy，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3又因为点( 11)T，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为13(1)yx即320 xy（II）由36032 = 0 xyxy，解得点A的坐标为(02)，因为矩形ABCD两条对角线的交点为(2 0)M，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又22(20)(02)2 2AMDTNOABCMxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载从而矩形ABCD外接圆的方程为22(2)8xy（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以2 2PMPN，即2 2PMPN故点P的轨迹是以MN，为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支因为实半轴长2a，半焦距2c所以虚半轴长222bca从而动圆P的圆心的轨迹方程为221(2)22xyx8. 如 图 ， 已 知(10)F， 直 线:1l x，P为 平 面 上 的 动 点 ， 过 点P作l的 垂 线 ， 垂 足 为 点Q， 且QP QFF P F Q（）求动点P的轨迹C的方程；（）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M（1）已知1MAAF，2MBBF，求12的值；（2）求MAMB的最小值解法一：（）设点()P xy，则( 1)Qy，由QP QFFP FQ得：(1 0) (2)(1) ( 2)xyxyy，化简得2:4Cyx（） （1）设直线AB的方程为：1(0)xmym设11()A xy，22()B xy，又21Mm，联立方程组241yxxmy，消去x得：2440ymy，2( 4)120m，121244yymy y，由1MAAF，2MBBF得：1112yym，2222yym，整理得：O y x 1 1l F P B Q M F O A x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载1121my，2221my，12122112myy121222yymy y2 424mm0解法二：（）由QP QFFP FQ得：()0FQPQPF，() ()0PQPFPQPF，220PQPF，PQPF所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：24yx（） （1）由已知1MAAF，2MBBF，得120则：12MAAFMBBF过点AB，分别作准线l的垂线，垂足分别为1A，1B，则有：11MAAAAFMBBBBF由得：12AFAFBFBF，即120（） （2）解：由解法一，22121MMMA MBmyyyy221212(1)()MMmy yyyyy2224(1)44mmmm224(1) 4mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载2222114(2)4 2216mmmm当且仅当221mm，即1m时等号成立，所以MAMB最小值为169.已知椭圆C:2222byax=1(ab 0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3. ( )求椭圆 C的方程 ; ( )设直线 l 与椭圆 C交于 A、B两点，坐标原点O 到直线 l 的距离为23，求 AOB面积的最大值 . 解： （）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，1b，所求椭圆方程为2213xy（）设11()A xy，22()B xy，（1）当ABx轴时，3AB（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm由已知2321mk，得223(1)4mk把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mx xk22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31k mmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载当且仅当2219kk，即33k时等号成立当0k时，3AB， 综上所述max2AB当AB最大时，AOB面积取最大值max133222SAB07 天津（ 22） （本小题满分14 分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12FFA，是椭圆上的一点，212AFF F，原点O到直线1AF的距离为113OF（）证明2ab； （）求(0)tb，使得下述命题成立：设圆222xyt上任意点00()M xy，处的切线交椭圆于1Q，2Q两点，则12OQOQ（）证法一：由题设212AFF F及1(0)Fc，2( 0)Fc，不妨设点()A cy，其中0y，由于点A在椭圆上，有22221cyab，222221abyab，解得2bya，从而得到2bA ca，直线2AF的方程为2()2byxcac，整理得2220b xacyb c由题设，原点O到直线1AF的距离为113OF，即242234cb cba c，将222cab代入原式并化简得222ab，即2ab证法二：同证法一，得到点A的坐标为2bca，过点O作1OBAF，垂足为H，易知112F BCF F A，故211BOF AOFF A由椭圆定义得122AFAFa，又113BOOF，所以AO1F2FHxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载2212132F AF AF AaF A，解得22aF A，而22bF Aa，得22baa，即2ab（）解法一：圆222xyt上的任意点00()Mxy，处的切线方程为200 x xy yt当(0)tb，时，圆222xyt上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的点1Q和2Q，因此点111()Qxy，222()Qxy，的坐标是方程组20022222x xy ytxyb的解当00y时，由式得200tx xyy代入式，得22220022tx xxby，即22224220000(2)4220 xyxt x xtb y，于是2012220042t xxxxy，4220122200222tb yx xxy2201121201tx x tx xy yyy422012012201()tx txxx x xy242242200002222200000422122t xtb ytx txyxyxy4220220022tb xxy若12OQOQ，则42242242220000121222222200000022232()0222tb ytb xtbxyx xy yxyxyxy所以，42220032()0tbxy由22200 xyt，得42 2320tb t在区间(0)b，内此方程的解为63tb当00y时，必有00 x，同理求得在区间(0)b，内的解为63tb另一方面，当63tb时，可推出12120 x xy y，从而12OQOQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载综上所述，6(0)3tbb，使得所述命题成立10.设1F、2F分别是椭圆2214xy的左、右焦点（）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PFPF，求点P的作标；（）设过定点(0,2)M的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为作标原点） ，求直线l的斜率k的取值范围（）2a，1b，3c1(3,0)F，2( 3,0)F设( ,)P x y(0,0)xy则22125(3,)(3,)34PFPFxyxyxy，又2214xy，联立22227414xyxy，解得22113342xxyy，3(1,)2P（）显然0 x不满足题设条件可设l的方程为2ykx，设11(,)A xy，22(,)B xy联立22222214(2)4(1 4)1612042xyxkxkxkxykx1221214x xk，1221614kxxk由22(16 )4 (14) 120kk22163(14)0kk，2430k，得234k又AOB为锐角cos00AOBOA OB，12120OA OBx xy y又212121212(2)(2)2 ()4y ykxkxk x xk xx1212x xy y21212(1)2 ()4kx xk xx2221216(1)2()41414kkkkk22212(1)21641414kkkkk224(4)014kk2144k综可知2344k，k的取值范围是33( 2,)(,2)22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载11.在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)Cp，作直线与抛物线22xpy（0p）相交于AB，两点（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由解法 1： （）依题意，点N的坐标为(0)Np，可设1122()()A xyB xy，直线AB的方程为ykxp，与22xpy联立得22xpyykxp，消去y得22220 xpkxp由韦达定理得122xxpk，2122x xp于是12122AMNBCNACNSSSp xx2121212()4p xxpxxx x222224822pp kppk，当0k，2min()2 2ABNSp（）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，设AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，QPQ，的中点为H，则O HPQ，Q点的坐标为1122xyp，2222111111()222O PACxypyp，111222ypO Haayp，222PHO PO H2221111()(2)44ypayp1()2paya pa，A B x y N C O N O A C B y x N O A C B y x Ol 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载22(2)PQPH14()2paya pa令02pa，得2pa，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，解法 2： （）前同解法1，再由弦长公式得222222212121211()4148ABkxxkxxxxkp kp22212pkk，又由点到直线的距离公式得221pdk从而2222211221222221ABNpSd ABpkkpkk，当0k时，2max()2 2ABNSp（ ） 假 设 满 足 条 件 的 直 线l存 在 ， 其 方 程 为ya， 则 以AC为 直 径 的 圆 的 方 程 为11(0)()()()0 xxxypyy，将直线方程ya代入得211()()0 xx xapay，则21114()()4()2pxap ayaya pa设直线l与以AC为直径的圆的交点为3344()()P xyQ xy，则有34114()2()22ppPQxxaya paaya pa令02pa，得2pa，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为2py，12.已知椭圆22132xy的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线交椭圆于B，D 两点，过2F的直线交椭圆于A，C两点，且ACBD，垂足为P（）设P点的坐标为00()xy，证明：2200132xy； （）求四边形ABCD面积最小值22证明：（）椭圆的半焦距321c，由ACBD知点P在以线段12F F为直径的圆上，故22001xy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载所以，222200001132222xyxy（）（）当BD的斜率k存在且0k时，BD的方程为(1)yk x，代入椭圆方程22132xy，并化简得2222(32)6360kxk xk设11()B xy，22()D xy，则2122632kxxk，21223632kx xk，222212221224 3(1)1(1)()432kBDkxxkxxx xk；因为AC与BC相交于点p，且AC的斜率为1k所以，222214 314 3(1)12332kkACkk四边形ABCD的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2kkSBDACkkkk当21k时，上式取等号（）当BD的斜率0k或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S综上，四边形ABCD的面积的最小值为9625B1FO2FPDAyxC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页