数列求和的几种方法课件ppt.ppt
一复习提问一复习提问：1、等差数列求和公式：、等差数列求和公式：1()2nn aa Sn=Sn=1(1)2n nnad Sn=na1 (当当q=1时时) 1(1)1naqq (当当q1时时)2、等比数列求和公式、等比数列求和公式:2( ,)nSanbna bR(1)(0,01)nnSa babb且且11nnnaa qSq 基本方法基本方法-公式法公式法常用的公式有：常用的公式有：(1)等差数列等差数列an的前的前n项和项和Sn= = .(2)等比数列等比数列an的前的前n项和项和Sn= = (q1).(3)12+22+32+n2= .(4)13+23+33+n3= .1()2nn aana1+ d(1)2n n1(1)1naqq11naa qqn(n+1)(2n+1)16n2(n+1)21422221sin 1sin 2sin 3sin 89例 ：求值倒序相加倒序相加2222sin 89sin 88sin 87sin 1S 289S892S 2222sin 1sin 2sin 3sin 89S 令令cos1sin8922sin 1sin 891例题例题1. 求和求和)0)() 3()2(212xnxxxn(1)2) 1(111nnxxn解原式=n(n+3)/2(x1)(x=1)分析分析:原式原式=(1+2+3+n)+012()nxxxx我们把这种类型的数列称为我们把这种类型的数列称为“A+G”型。型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为的求和公式求解。此方法称为分组求和分组求和法法。A+G 分组求和法分组求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减求和而后相加减【分组求和法分组求和法】数列数列(1)nn的前的前n项和项和Sn=？我们把这种类型的数列称为我们把这种类型的数列称为“A G”型。型。此类方法类似于等比数列求和的公式的此类方法类似于等比数列求和的公式的推导方法，叫做推导方法，叫做错位相减法。错位相减法。A*G 错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由一个如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列等差数列和一个等比数列的对应的对应项之积构成的，那么这个数列的前项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求项和即可用此法来求.【错位相减法错位相减法】设设 an的前的前n项和为项和为Sn，ann2n，则，则Sn 的数列如何来求和呢？的数列如何来求和呢？型”1“BA 的数列多为分母是两项乘积，分的数列多为分母是两项乘积，分子相同的数列求和。求解时，一般把通项子相同的数列求和。求解时，一般把通项分裂成两项分裂成两项差差的形式，再通过求和达到的形式，再通过求和达到前后抵消的目的。此种求和的方法称为前后抵消的目的。此种求和的方法称为裂项法求和裂项法求和。型”“BA1 裂项相消法裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和以相互抵消，从而求得其和BA1练习：练习：指出下列求和的方法：指出下列求和的方法：1. 1 11 11 1求求, , , ,的的和和1 14 4 4 47 7( (3 3n n- -2 2) )( (3 3n n+ +1 1) )2.341nn n11111111求,+的前n项和S求,+的前n项和S1+ 223n1+ 223n111()3 3231nnn n用裂项求和法.a用裂项求和法.a1nnn n用裂项求和法.a用裂项求和法.a3. 求求1 12 2, ,2 23 3, , ,n n ( (n n+ +1 1) )的的和和4. n nn nn nn n已已知知数数列列 a a 的的通通项项公公式式为为a a = =( (3 3n n- -1 1) ) p p ，求求它它的的前前n n项项之之和和S S 。2nnn n用分项求和法.a用分项求和法.a 2312312583(1)1(31)253(1)1(31)nnnnnpppnpnppSppnpnp n n用错位相减法.用错位相减法. S S 合并项求和 特殊的数列，在求数列特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求起先求和，然后再求Sn.Sn. 例例 在各项均为正数的等比数列中，若在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog, 9aaaaa 求的值的值. . 求和：求和：(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+(2n-1+2n+3n-2);(2)Sn=12-22+32-42+(-1)n-1n2.例例(1)因为因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+（3n-2）= = n2- n,所以所以Sn= (12+22+32+n2)- (1+2+n)= n(n+1)(5n-2)(nN*).(21 32)2nnn 5232523216(2)当当n是偶数时，是偶数时，Sn=(12-22)+(32-42)+(n-1)2-n2=-3-7-(2n-1)= .当当n是奇数时，是奇数时，Sn=1+(32-22)+(52-42)+n2-(n-1)2=1+5+9+(2n-1)= .故故Sn=(-1)n-1 (nN*).(1)2n n(1)2n n(1)2n nzxxkw (1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和 数列求和的方法数列求和的方法 (2)解决非等差、等比和，两种思路：解决非等差、等比和，两种思路：转化的思想，即化为等差或等比数列转化的思想，即化为等差或等比数列裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和数列求和的常用方法数列求和的常用方法: :(1) 拆项拆项（对（对AG型型 如果拆项不明显，写出通项，如例如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）、设法消设法消去去中间项中间项: :（2 2）乘公比乘公比, ,错位相减错位相减( (对对“A AG G”型型);); （3 3）裂通项裂通项, ,交替相消交替相消 1、转化成等差、等比数列求和、转化成等差、等比数列求和（公式法公式法、分组求和法分组求和法、错位相减法错位相减法、裂（并）项法求和裂（并）项法求和）
