第二节-二重积分的计算法ppt课件.ppt

机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分三、小结三、小结 思考题思考题第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法二、极坐标系下二重积分的计算二、极坐标系下二重积分的计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2【复习与回顾【复习与回顾】(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素dxxAdV)( 体积为体积为 badxxAV)(在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为 )(xA(1)上节思考题上节思考题 ),(lim),(10 niiiiDfdyxf 0k代替代替0 ？不能用不能用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 【X型区域的特点型区域的特点】 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .1. 【预备知识【预备知识】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D【Y型区域的特点型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图3D2D1D在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )则必须分割则必须分割. .321 DDDD由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6(1).若积分区域为若积分区域为X型域：型域：, bxa ).()(21xyx 0),( yxf且设且设为曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为底，以曲面为底，以曲面的值等于以的值等于以则则),(),( yxfzDdyxfD 2. .【二重积分公式推导【二重积分公式推导】【方法【方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平平行截面面积为已知的立体求体积行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求. .,0bax 0 xx 作平面作平面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7)(01x )(02x )()(000201),()(xxdyyxfxA badxxAV)( .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 即得即得公式公式1 的二次积分的二次积分后对后对上式称为先对上式称为先对xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA ),()( )()(21 xxdyyxfxA ),( yxfzoyxz)(0 xA),(yxfz )(1xy)(2xyab0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8).()( , 21yxydyc xyoD yx1 yx2 cd:).2(型型域域若若积积分分域域为为 Yy Ddxdyyxf),( . 的的二二次次积积分分后后对对即即化化二二重重积积分分为为先先对对yx3.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 )()(21),(yydxyxf dcdy公式公式2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9【说明【说明】(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域， 公式公式2必须是必须是(2) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, , 必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序. .则有则有yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X- -型域或型域或Y- -型域型域. . 321DDDDoxy1D2D3DY型域型域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束104. 【例题部分例题部分】【例【例1】.2, 1,所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算xyxyDxydD 【解【解】 看作看作X型域型域 xyxDX121: 21121212dxyxxydydxxydxxD 811)22(213 dxxx12oxy y=xy=1Dx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11【解【解】看作看作Y型域型域 221:xyyDY 21222212dyxyxydxdyxydyyD 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2Dy12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12【例【例2】. 1, 1,: ,122所围闭区域所围闭区域和和由由计算计算 yxxyDdyxyD 【解【解】 D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1 122111xdyyxydx上式上式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13法法2 yxyDY111: ydxyxydy122111原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14【例【例3】所围闭区域所围闭区域及及：由：由其中其中计算计算2,2 xyxyDxydD 【解【解】 D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点(4,2) (1,-1) 2 2或或由由 xyxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15法法1 221:2yxyyDY法法2 2212yyDxydxdyxyd 855 视为视为X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 则必须分割则必须分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16【小结【小结】以上三例说明，在化二重积分为二次以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域序；既要考虑积分区域D的形状，又要的形状，又要考虑被积函数的特性考虑被积函数的特性( (易积易积) )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束175.【简单应用【简单应用】【例【例4】 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的直交圆柱面所围成的立体的体积的体积V.【解【解】xyzRRo 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为 DyxxRVdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022 222Ryx222RzxD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18【例【例5】 2, 2的面积的面积所围区域所围区域应用二重积分求由曲线应用二重积分求由曲线Dxyxy 【解【解】 据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义） Ddxdy 交点交点 22xyxy)4 , 2( )1 , 1(， 221:2xyxxDX 212221)2( 2dxxxdydxxx 29 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束196.【补充】【补充】 改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【补例【补例1 1】交换下列积分顺序交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI【解解】 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,020:2211 xyxDX822 yx2D22yxo21D221xy 2 2280222:xyxDX21DDD 将将 :D视为视为Y型区域型区域 , 则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20【解【解】 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束21【补补例例3 】. 10 , 10:,|2 yxDdxyID为为其中其中计算积分计算积分 【解【解】当被积函数中有绝对值时，要考虑当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。积分域中不同范围脱去绝对值符号。:212DDDxy和和分为两部分分为两部分将将 oxy112xy 1D2D I 1)(2Ddxy 2)(2Ddyx 101154 分析分析机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束22AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiiirrr 2)(21则则得得略略去去高高阶阶的的无无穷穷小小量量，若若更更是是比比时时当当,)(21)(,)0 , 0(),(22iiiiiiiirrrr ,iiiirr 二、极坐标系下二重积分的计算二、极坐标系下二重积分的计算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束23.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 从而得极坐标系下的面积元素为从而得极坐标系下的面积元素为 rdrdd 又由点的极坐标与直角坐标之间的关系，又由点的极坐标与直角坐标之间的关系， sin,cosryrx )sin,cos(),( rrfyxf 故在极坐标下，二重积分化为故在极坐标下，二重积分化为.的的极极坐坐标标表表示示表表示示区区域域其其中中DD 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束24.)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf 则则二重积分极坐标二重积分极坐标表达表达式式【注意【注意】极坐标系下的面积元素为极坐标系下的面积元素为dd d 直角坐标系下的面积元素为直角坐标系下的面积元素为ddxdy 区别区别机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束25.)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(2. .二重积分化为二次积分的公式二重积分化为二次积分的公式区域特征如图区域特征如图, ).()(21 （1）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之外时的边界曲线之外时 ADo)(1 )(2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束26若区域特征如图若区域特征如图, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(AoD)(2 )(1 特别地特别地机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束27AoD)( .)sin,cos()(0 dfd（2）极点极点O恰在区域恰在区域D的边界曲线之上时的边界曲线之上时区域特征如图区域特征如图, ).(0 Dddf )sin,cos(（1）的特例的特例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束28 Dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd3. 极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Ddd 区域特征如图区域特征如图).(0 DoA)( ,2 0（3）极点极点O在区域在区域D的边界曲线之内时的边界曲线之内时（2）的特例的特例机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束291 yx122 yx【解【解】 sincosyx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束30【解【解】D：a 0， 20. dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae xyo的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题无法故本题无法【注【注】1.由于由于用直角坐标计算用直角坐标计算. .2xe 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束31【注注】2.利用利用例例2可得到一个在概率论与数理统计中可得到一个在概率论与数理统计中以及工程上非常有用的以及工程上非常有用的反常反常积分公式积分公式2d02 xex事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时, Dyxyxedd22 yexeyxdd2220d42 xex利用利用例例2的结果的结果, 得得)1(limd42220aaxexe 故故式成立式成立 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3232 61 sin4 r Dyxyxdd)(22 sin4sin22drrr)32( 15 yyx422 yyx222 03 yx【解解】03 xy sin2 roxy24 36d 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束33二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）三、小结三、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型【练习】课本【练习】课本P95 习题习题9-2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束34【思考题【思考题】【提示提示】 交换积分顺序后交换积分顺序后, x , y互换互换机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束35【思考题解答【思考题解答】,)()(010 xdyyfdxxfxyo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束36 xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 221 AI 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束37二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性） Dddf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 dfd.)sin,cos()(0 dfd.)sin,cos()(020 dfd 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束38【思考题【思考题】的的二二次次积积分分后后先先的的二二次次积积分分化化为为后后由由先先 即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束39,cos022: aD oxy【思考题解答【思考题解答】 cosa Daa arccos a arccos .),(arccosarccos0 aaadfdI