数学期望浙大四版ppt课件.ppt
“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。一、数学期望的概念一、数学期望的概念二、数学期望的性质二、数学期望的性质三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望四、小结四、小结第一节第一节 数学期望数学期望“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。引例引例 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景) A, B 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金100元元,并约定先胜三局者为并约定先胜三局者为胜胜, 取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?一、数学期望的概念一、数学期望的概念 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。因此因此, A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 41043200 ),(150 元元 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目, 则为则为43041200 ).(50 元元 在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为, 1:3即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的,43.41“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1. 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望定定义义.)().(,., 2 , 1,111 kkkkkkkkkkkpxXEXEXpxpxkpxXPX即即记为记为的数学期望的数学期望为随机变量为随机变量则称级数则称级数绝对收敛绝对收敛若级数若级数的分布律为的分布律为设离散型随机变量设离散型随机变量分赌本问题分赌本问题用用X表示继续赌下去表示继续赌下去A最终获得的赌金最终获得的赌金. 则则A 期望所得的赌金为期望所得的赌金为).(15041043200)(元元 XE“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。关于定义的几点说明关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一种它是一种加加权平均权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本质上体现它从本质上体现了随机变量了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也称也称均值均值. (2) 级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性保证了级数的和不保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值取可能值的平均值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变它不应随可能值的排列次序而改变.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。随机变量随机变量 X 的算术平均值为的算术平均值为, 5 . 1221 假设假设.98. 198. 0202. 01)( XE它从本质上体现了随机变量它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等的期望值与算术平均值相等.X21020.980.p“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例1 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向? ? 某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元 ， 失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5% ，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则),( 17 . 023 . 08)(万万元元 XE存入银行的利息存入银行的利息:),(5 . 0510万万元元 %故应选择投资故应选择投资.Xp82 3 . 07 . 0“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。其其规规律律为为独独立立且且两两者者到到站站的的时时间间相相互互的的但但到到站站的的时时刻刻是是随随机机都都恰恰有有一一辆辆客客车车到到站站某某车车站站每每天天按按规规定定.,00:1000:9,00:900:8, 到站时刻到站时刻概率概率10:910:830:930:850:950:8616362.,00:8(i)望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站一一旅旅客客.,20:8(ii)望望求他候车时间的数学期求他候车时间的数学期到车站到车站一旅客一旅客例例2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。).(以以分分计计设设旅旅客客的的候候车车时时间间为为 X解解的的分分布布律律为为X(i)Xkp106130635062候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为625063306110)( XE).(33.33分分 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。的分布律为的分布律为X(ii)Xkp10633062506161 706361 906261 62619063617061615062306310)( XE).(22.27分分 候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.连续型随机变量数学期望的定义连续型随机变量数学期望的定义.d)()(. )(,d)(,d)(),( xxfxXEXEXxxfxxxfxxfX即即记为记为的数学期望的数学期望变量变量的值为随机的值为随机则称积分则称积分绝对收敛绝对收敛若积分若积分的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。解解 xxfxXEd)()(xxxde5150 ).(5 分钟分钟 因此因此, 顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例3 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间? ? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间? . 0, 0, 0,e51)(5xxxfx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理定理: 设设g是连续函数是连续函数. (1). 离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望若若 Y=g(X), 且且, 2, 1, kpxXPkk则有则有.)()(1 kkkpxgXgE(2). 连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望.d)()()(xxfxgXgE 若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为 f (x) , 则则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望.),(),(,),(,)1( iijjjipyxgYXgEyxgYX则则数数为为二二元元函函为为离离散散型型随随机机变变量量设设.),(ijpYX的的联联合合概概率率分分布布为为其其中中.dd),(),(),(yxyxfyxgYXgE 则则数数为二元函为二元函为连续型随机变量为连续型随机变量设设,),(,)2(yxgYX).,(),(yxfYX的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。?),(, 0. 0, 0, 0,e1)()(,.,.,均为已知均为已知产品产品应生产多少件应生产多少件期望最大期望最大问若要获得利润的数学问若要获得利润的数学度为度为服从指数分布其概率密服从指数分布其概率密件件们预测销售量们预测销售量他他再者再者元的损失元的损失而积压一件产品导致而积压一件产品导致元元利利可获可获他们估计出售一件产品他们估计出售一件产品确定该产品的产量确定该产品的产量并试图并试图产品市场产品市场某公司计划开发一种新某公司计划开发一种新nmyyyfYnmyY 例例4 4 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。解解,件件设生产设生产 x:的的函函数数是是则则获获利利xQ .,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若若若yyQfQEYQYd)()(,0的函数，其期望为它是是随机变量ymxyyxnmyyxyxde1de1)(0 ,e)()(nxnmnmx , 0e )()(dd nnmQExx令令“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。).ln(nmnx 得得, 0e)()(dd22 xnmQEx又又.)(,)ln(,取得最大值取得最大值时时当当因此因此QEnmnx “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1. 设设 C 是常数是常数, 则有则有.)(CCE 证明证明.1)()(CCCEXE 2. 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数, 则有则有).()(XCECXE 证明证明kkkpCxCXE )().(XCE kkkpxC 例如例如, 5)( XE)(3)3(XEXE 则则.1553 三、数学期望的性质三、数学期望的性质“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。).()(YEXE 4. 设设 X, Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 则有则有).()()(YEXEXYE 3. 设设 X, Y 是两个随机变量是两个随机变量, 则有则有).()()(YEXEYXE 证明证明,)()(nmmnnmyYxXPyxYXE说明说明 连续型随机变量连续型随机变量 X 的数学期望与离散型随的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似机变量数学期望的性质类似.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。. ),()(,.10,20旅客是否下车相互独立旅客是否下车相互独立并设各并设各下车是等可能的下车是等可能的设每位旅客在各个车站设每位旅客在各个车站求求表示停车的次数表示停车的次数以以客下车就不停车客下车就不停车如到达一个车站没有旅如到达一个车站没有旅个车站可以下车个车站可以下车客有客有旅旅位旅客自机场开出位旅客自机场开出一机场班车载有一机场班车载有XEX解解,iX引入随机变量引入随机变量.10, 2 , 1, 1, 0 iiiXi站站有有人人下下车车在在第第站站没没有有人人下下车车在在第第.1021XXXX 则则例例5 5“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。,109020 iXP则有则有,1091120 iXP.10, 2 , 1 i., 2 , 1,1091)(20 iXEi由由此此)()(1021XXXEXE 得得)()()(1021XEXEXE 20109110).(784. 8次次 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。四、小结四、小结数学期望是一个实数数学期望是一个实数, 而非变量而非变量,它是一种它是一种加权加权平均平均, 与一般的平均值不同与一般的平均值不同,它从本质上体现了它从本质上体现了随机变量随机变量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值.2. 数学期望的性质数学期望的性质).()()(,4);()()(3);()(2;)(1ooooYEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE 独立独立
