2021-2022年收藏的精品资料高考数学理基础知识总复习名师讲义：第4章第3节平面向量的数量积[高考].doc

精诚凝聚 =_= 成就梦想 第三节平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.知识梳理一、平面向量的数量积的定义1向量a，b的夹角：已知两个非零向量a，b，过O点作a，b，则AOB(0°180°)叫做向量a，b的夹角当且仅当两个非零向量a，b同方向时，0°，当且仅当a，b反方向时，180°，同时零向量与其他任何非零向量的夹角是任意的2a与b垂直：如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作ab.3a与b的数量积：两个非零向量a，b，它们的夹角为，则cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·bcos ，规定0·a0，非零向量a与b当且仅当ab时，90°，这时a·b0.4b在a方向上的投影：|OP|cos R(注意是射影)5a·b的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积二、平面向量数量积的性质设a，b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：1e·aa·ecos .2aba·b0.3当a与b同向时，a·b；当a与b反向时，a·b，特别地，a·aa22，即|a|.4cos .5.三、平面向量数量积的运算律1交换律成立：a·bb·a.2对实数的结合律成立：·ba·.3分配律成立：·ca·c±b·cc·.四、平面向量数量积的坐标表示1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·bx1x2y1y2.2若a(x，y)，则|a|2a·ax2y2，.3若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.5若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.6若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .基础自测1(2013·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A. B.C. D.解析：(4，1)(1,3)(3，4)，与同方向的单位向量为.故选A.答案：A2(2013·佛山一模)已知a(1,2)，b(0,1)，c(k，2)，若(a2b)c，则k()A2 B2 C8 D8解析：a(1,2)，b(0,1)，a2b(1,4)，又因为(a2b)c，所以(a2b)·ck80，解得k8，故选C.答案：C3在ABC中，已知·4，·12，则|_.解析：·4，bccos A4，得b2c2a28，同理a2c2b224，两式相加得c216，c4.答案：44已知平面向量，1，2，(2)，则的值是_答案：1(2013·陕西卷)设a，b为向量，则“|a·b|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：a·b|a|·|b|·cos .若|a·b|a|·|b|cos ±1，则向量a与b的夹角为0或，即ab为真；相反，若ab，则向量a与b的夹角为0或，即|a·b|a|·|b|.答案：C2(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析：由知·0，即·()·()(1)·22(1)×3×2××940，解得.答案：1已知两个非零向量a与b，定义|a×b|a|b|sin ，其中为a与b的夹角若a(3,4)，b(0,2)，则|a×b|的值为()A8 B6 C8 D6解析：由已知可得|a|5，|b|2，则cos .sin .|a×b|a|b|sin 5×2×6.故选D.答案：D2(2013·韶关二模)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，a(ab)；则cosa，b的值是_解析：由题意可得a·(ab)a2a·b0，即11×2×cosa，b0，解得cosa，b.答案： 点亮心灯 /(v) 照亮人生