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“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 混沌理论及其应用 -20世世纪纪最最伟伟大的三大的三项项理理论之一论之一计算机学院 彭海朋 乌鲁木齐做人流的标准医院有哪些呢 http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ http:/ 研究的历史研究的历史第三部分第三部分 发表刊物及级别发表刊物及级别 混沌理论简介 第五部分第五部分 混沌概念和性质混沌概念和性质 第二部分第二部分 混沌控制同步计算的前景混沌控制同步计算的前景 第四部分第四部分 混沌现象及其普遍性混沌现象及其普遍性 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。第一节二、从庞加莱到二、从庞加莱到Lorenz三、混沌理论研究热潮的到来三、混沌理论研究热潮的到来 混沌理论的研究历史 第一章 一、非线性科学的发展一、非线性科学的发展“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。物理系统物理系统简单系统简单系统自由落体、单摆自由落体、单摆复杂系统复杂系统分子物理系统分子物理系统复杂系统复杂系统大气系统大气系统风云变幻难测风云变幻难测生物系统生物系统千差万别、种类繁多千差万别、种类繁多经济系统经济系统社会系统社会系统复杂多变，难以预测控制复杂多变，难以预测控制大自然的复杂性和非线性大自然的复杂性和非线性“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。复杂的世界如何从简单性演化而来复杂的世界如何从简单性演化而来 我们面对的现象和工程问题越来越复杂越来越困难千变万化，丰富多彩的宇宙如何能从简单的基本粒子，基本相互作用演化而来的呢？如果人们对基本粒子的性质，基本的物理规律完全掌握后，是否有可能对我们所生活的世界作各种长期的精确预言呢？人们能精确地预言哈雷慧星每76年回归地球一次。但长期的天气预报进展甚微，这是为什么？水果产量的大年小年现象事实上相当普遍，这是为什么？“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 1540 日心说日心说 哥白尼哥白尼 1700 经典力学经典力学 牛顿牛顿 1905 相对论相对论 爱因斯坦爱因斯坦 1927 量子力学量子力学Shrodinger， Heisenberg ，Bohr 1970 非线性科学非线性科学 Chaos，Fractals， SolitonPoincare， Feigenbaum， Mandelbrot物理学发展历史上的物理学发展历史上的5 5次变革次变革“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。40年代：组织理论年代：组织理论：控制论，信息论，一般系统论60年代年代：自组织理论自组织理论（系统如何从无序有序）：Catastrophic Theory （Thom, Arnold)， 超循环论（Eigen），Dissipative Structure（Prigogine），Synergetics （Haken）70年代：非线性科学年代：非线性科学 （系统如何从有序 混沌和无序 更高层次的有序）Chaotic Dynamics（Feigenbaum， Ford， Kadanoff）， Integrable SystemSoliton Theory（Scott，扎哈罗夫）， Fractals （Mandelbrot）90年代：复杂性科学年代：复杂性科学 （复杂性的定义及量度，复杂系统的行为及模型） Neural Network （Hopfield）， Cellular Automaton （Wolfram）， 人工生命2020世纪非线性科学发展的四个阶世纪非线性科学发展的四个阶段段“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 非线性科学是一门研究非线性系统的共性，探索非线性科学是一门研究非线性系统的共性，探索事物复杂性的新学科事物复杂性的新学科(science of complexity)(science of complexity)。 所谓非线性是相对线性而言的。所谓非线性是相对线性而言的。 线性是指量与量之间的正比关系，在平面直角坐线性是指量与量之间的正比关系，在平面直角坐标系统中，表现为直线或曲线。在线性系统中，标系统中，表现为直线或曲线。在线性系统中，分量之和等于总量分量之和等于总量f (x+y) = f (x) + f (y) and f (ax) = a f(x) , 描述线性系统的方程遵循叠加原理，即方程描述线性系统的方程遵循叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是解。而非线性则刚好相反，的不同解加起来仍然是解。而非线性则刚好相反，分量之和不等于总量，不遵循叠加原理。分量之和不等于总量，不遵循叠加原理。非线性科学非线性科学“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 非线性现象在时空中表现为从规则运动向不规非线性现象在时空中表现为从规则运动向不规则运动的转化和跳跃则运动的转化和跳跃 非线性系统中某个分量极微小的变化，可以引非线性系统中某个分量极微小的变化，可以引起整个系统运动形式的性质改变起整个系统运动形式的性质改变( (参见蝴蝶效参见蝴蝶效应应) ) 非线性系统对外界扰动会作出与外界扰动因素非线性系统对外界扰动会作出与外界扰动因素截然不同的响应截然不同的响应 非线性作用一般会导致空间规整性结构的形成非线性作用一般会导致空间规整性结构的形成和维持和维持 非线性物理现象的特征非线性物理现象的特征“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 1919世纪末庞加莱世纪末庞加莱(H.Poincare)(H.Poincare)正是在总结整个正是在总结整个世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论世纪这方面进展的基础上，提出不少新的理论和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想，和方法，当前非线性科学中的很多概念和思想，都本源于庞加莱。都本源于庞加莱。 非线性科学中，那些可以有定量分析、精确非线性科学中，那些可以有定量分析、精确计算、数学理论或实验研究的部分，一般认为计算、数学理论或实验研究的部分，一般认为可以归为以下三种：孤立波可以归为以下三种：孤立波(soliton)(soliton)，混沌，混沌(chaos)(chaos)，分形，分形(fractal)(fractal)混沌、孤立子、分形混沌、孤立子、分形“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 孤立波，以及相应的孤立子的研究，是这孤立波，以及相应的孤立子的研究，是这三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追三者中发展较早的一个。当然它的发现可以追溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的溯到十九世纪罗素骑马时在一个河道中看到的一个孤立波，他骑着马跟着这个波，奇怪的是一个孤立波，他骑着马跟着这个波，奇怪的是它直到它直到3-43-4英里以后才破碎。水波的第一个孤立英里以后才破碎。水波的第一个孤立波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁波的解的发现也是迟至上世纪六十年代由克鲁斯卡尔斯卡尔(Kruskal) (Kruskal) 等人作出的。孤立波或孤立等人作出的。孤立波或孤立子从那以后就几乎成了一个独立学科。子从那以后就几乎成了一个独立学科。孤立子孤立子“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。孤立子系统孤立子系统目前人们在各种领域都发现了具有这种孤立子解的物理体系(称为非线性可积系统)，例如在核聚变的等离子中，在大脑的神经脉冲传播过程中，在非线性光学中, 在超导隧道结中。目前特别引人注目的应用是光孤子通讯。实验室内已成功实现数万公里无中继放大器的光孤子通讯，一根这样的光孤子非线性通讯光缆相当于十万根传统的线性通讯光缆。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 混沌，指一种貌似无规的运动，但支配它这种运动混沌，指一种貌似无规的运动，但支配它这种运动的规律却可用确定性的方程来描述。庞加莱在总结的规律却可用确定性的方程来描述。庞加莱在总结天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。天体力学中的问题时，已经对这种现象有了认识。2020世纪世纪5050年代，有些物理学家年代，有些物理学家( (如玻恩如玻恩Born)Born)也已明也已明确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但确知道经典力学中会有长期动态的不可预测性。但混沌现象和理论开始受到重视，一般认为契机于混沌现象和理论开始受到重视，一般认为契机于6060年代两件事。一是罗仑兹年代两件事。一是罗仑兹(E.Lorenz)(E.Lorenz)在天气预报方在天气预报方程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，程的研究中发现，尽管描述用的方程是确定性的，天气长期动态却是不可预测的。另一是，几位数学天气长期动态却是不可预测的。另一是，几位数学家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按家证明了有关经典力学动态的一个定理，即现在按他们的姓称谓的卡姆他们的姓称谓的卡姆(KAM)(KAM)理论。理论。混混 沌沌“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方这两件事也分别代表混沌理论两类对象和两种方法：罗仑兹的对象是耗散系统法：罗仑兹的对象是耗散系统( (这类系统和周围这类系统和周围环境有联系、有交往，它们在自然和工程中都环境有联系、有交往，它们在自然和工程中都有有) )，而卡姆的对象是保守系统，而卡姆的对象是保守系统( (当作是孤立的、当作是孤立的、封闭的，它们在天体研究和统计物理中常见封闭的，它们在天体研究和统计物理中常见) )。罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学罗仑兹依靠的是数值计算，卡姆用的是严格数学推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可推理，这两种方法在混沌理论研究里都是必不可少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理少的。当前混沌理论所面临的数学情况比分形理论好些，但不如孤立波。现有的数学有的对混沌论好些，但不如孤立波。现有的数学有的对混沌理论很起作用，也有些问题则还没有找到合适的理论很起作用，也有些问题则还没有找到合适的数学工具。数学工具。 混混 沌沌“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从分形和不规则形状的几何有关。人们早就熟悉从规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概规则的实物抽象出诸如圆、直线、平面等几何概念，曼德布罗特念，曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)(B.B.Mandelbrot)则对曲曲弯弯则对曲曲弯弯的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描的海岸线、棉絮团似的云烟找到合适的几何学描述方法述方法分形。分形理论出现较晚，它的数学分形。分形理论出现较晚，它的数学准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和准备不象孤立波那样充分，目前它的数学理论和实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从实际应用之间距离还较大，有些数学概念还得从头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线头重新建立。比如，微积分里导数是和光滑曲线的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲的斜率相联系的，对于曲曲弯弯海岸线那样的曲线，导数又怎样定义线，导数又怎样定义? ?如果象微分积分那样的操如果象微分积分那样的操作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分作都没有，那就很难做进一步的定量的研究。分形数学和分形物理如何结合已经有科学家开始研形数学和分形物理如何结合已经有科学家开始研究。究。分形分形“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 以上三项内容是彼此联系着的，也还和其他问题以上三项内容是彼此联系着的，也还和其他问题有关。当一个系统或事物里有可调的参量有关。当一个系统或事物里有可调的参量( ( 设参设参量自身不参与随时间变化量自身不参与随时间变化) )，参量不同会引起系，参量不同会引起系统长期动态发生什么根本的统长期动态发生什么根本的( (定性定性) )变化，这是变化，这是“分岔理论分岔理论”所关心的问题。当参量变化跨越某所关心的问题。当参量变化跨越某些临界值些临界值( (叫做分岔点叫做分岔点) )，系统将有根本的转变，系统将有根本的转变，比如孤立波失稳了，或者一种分形结构变化了，比如孤立波失稳了，或者一种分形结构变化了，混沌过程变成周期振荡了，等等。再有，如果在混沌过程变成周期振荡了，等等。再有，如果在一系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌，一系统或事物的演化中，从时间过程看有混沌，而在空间分布上又有变化着的分形图型，就得时而在空间分布上又有变化着的分形图型，就得时空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的空联系起来研究图型的动力学。正是本着这样的观点，在非线性科学这个重大项目里的各个课题，观点，在非线性科学这个重大项目里的各个课题，是既有分工又有联系。是既有分工又有联系。三者相互联系三者相互联系“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。混沌发展简史混沌发展简史-从庞加莱到从庞加莱到Lorenz 前面提到混沌动力学的发展排除了对天前面提到混沌动力学的发展排除了对天气作长期精确预报的可能性。气作长期精确预报的可能性。 其实人们对短期预报和长期预报的要求其实人们对短期预报和长期预报的要求是不同的。对于短期预报我们关心的是是不同的。对于短期预报我们关心的是细节问题，对于长期预报人们更关注的细节问题，对于长期预报人们更关注的是各种平均量的发展趋势。是各种平均量的发展趋势。 根据混沌动力学人们可以作短期的精确根据混沌动力学人们可以作短期的精确预报，长期的概率预报，正好能满足人预报，长期的概率预报，正好能满足人们对各方面的不同要求们对各方面的不同要求“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。只要给定了初始条件,就可以预言太阳系的整个未来机械决定论的鼓吹者-拉普拉斯混沌发展简史混沌发展简史-从庞加莱到从庞加莱到LorenzLorenz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 尽管拉普拉斯对概率论也做出了很大的贡献,但他认为概率论只不过是对人类智力(决定论) 缺陷的一种弥补而已,概率论并未动摇他对决定论的笃信. 而麦克斯韦、玻耳兹曼和吉布斯等人建立的统计力学以及后人建立的量子力学则把概率论的思维方式推向了顶峰. 决定论和概率论也各自走着独立发展的道路.决定论和概率论“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 1887 1887 年年, ,瑞典国王奥斯卡二世以瑞典国王奥斯卡二世以“太阳系稳定太阳系稳定吗吗?”?”为题为题, ,发出悬奖；发出悬奖； 数学力学家庞加莱前往应征；数学力学家庞加莱前往应征； 庞加莱从这种庞加莱从这种“限制性三体问题限制性三体问题”的研究中明白的研究中明白: :三体中小物体的运动相轨线三体中小物体的运动相轨线“复杂得我甚至不想复杂得我甚至不想把它画出来把它画出来”； 庞加莱还推测到系统的这种紊乱不规则行为对初庞加莱还推测到系统的这种紊乱不规则行为对初始状态有超常的敏感性和终态的不可预测性；始状态有超常的敏感性和终态的不可预测性； 庞加莱实际上已经遇上了保守系统的庞加莱实际上已经遇上了保守系统的“混混沌沌”( (但当时还未用此术语但当时还未用此术语) .) .太阳系运动的稳定性问题太阳系运动的稳定性问题“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 19271927年年, ,丹麦电气工程师范德坡丹麦电气工程师范德坡(VanderPol) (VanderPol) 在研究氖灯三极管振荡器时在研究氖灯三极管振荡器时, ,也观察到某种也观察到某种不规则行为不规则行为-“Van del PolVan del Pol 噪声噪声”现象现象, ,但但当时只把它当作噪音而忽略掉了当时只把它当作噪音而忽略掉了. .后来的研后来的研究发现究发现Van del Pole Van del Pole 观察到的不是观察到的不是“噪噪声声”，而是一种混沌现象，而是一种混沌现象 1959 1959 年，美国的斯年，美国的斯密密尔实现了第一个产生尔实现了第一个产生混沌的模型，将一个周期性系统转化为混沌混沌的模型，将一个周期性系统转化为混沌范德坡和斯密尔范德坡和斯密尔“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 真正有心抓住混沌的第一人是Lorenz. 1963年,气象学家 Edward Lorentz 于大气科学杂志发表了一篇“ 确定性非周期流（Deterministic non-periodic flow）”的论文 混沌的发现因為小數點後的幾位誤差，讓原本的風和日麗因為小數點後的幾位誤差，因為小數點後的幾位誤差，讓原本的風和日麗，霎時變成狂風暴雨讓原本的風和日麗，霎時變成狂風暴雨“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。原本天真的以為這世上只要幾條簡單的動力學方程式再配上電腦的超強運算力人類便可模擬出自然界的所有現象“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 1961 1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德华爱德华洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计算机速度约每秒做管计算机速度约每秒做6 6次乘法。次乘法。经简化后的洛仑兹气象模型为经简化后的洛仑兹气象模型为()()xyxyrz xyzxybz蝴 蝶 效 应“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。算机却偏离了上次的结果。他第二次输入时去掉了小数点后面三位：他第二次输入时去掉了小数点后面三位：0.5061270.506混沌的初值敏感性混沌的初值敏感性“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 Lorenz发现大气运动的相轨线最终落入一条不断缠绕的紊乱三维曲线(现被称作奇怪吸引子) .计算机实验表明,这种运动非常敏感于初始状态. 也就是说,遵循同一组非线性动力学方程的大气系统,从两个有微小差异的初始状态出发,经过一段时间之后,运动将演化为截然不同的结果. 这就是确定性动力学系统中出现的不确定性,是不可避免的“内在随机性”. 洛伦兹把这种“差之毫厘,失之千里”的现象戏称为“蝴蝶效应”蝴 蝶 效 应“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。“一只在北京舞动着翅膀的蝴蝶，竟能在堪萨斯掀起一阵飓风？”混沌系統对“初始条件”非常敏感蝴 蝶 效 应“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 今天在北京有一只蝴蝶扇动空气,可能改变下个月的纽约风暴. 如果天空还有几只蝴蝶呢? 后果不可预料. 洛伦兹由此得出“中、长期中天气预报注定失败”之结论. 他把这一发现总结在“确定性非周期流”一文中,文章刊登在1963 年的大气科学杂志上. 不幸,这篇划时代的文章被冷落了十来年. 十年之后,人们重新发现了它,而洛伦兹也因此被尊称为“混沌之父”蝴 蝶 效 应“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。柯尔莫哥洛夫和他的学生阿诺德(Arnold) 以及瑞士数学家莫塞尔(Moser) 3 人命名的KAM 定理(用微扰法处理不可积系统问题)斯梅尔(Smale) 等一批拓朴学家建立的微分动力系统理论洛伦兹的工作的广泛传播：在1972 年被一位流体动力学家发现,并将该文的一份复印件给了数学家约克,约克又将复印件寄给了斯梅尔,而斯梅尔则复印多份分发给了数学界的朋友York和李天岩于1975 年在美国数学月刊上发表了一篇题为“周期3 意味着混沌”的文章(人们由此正式接受“混沌”这个术语)混沌理论发展初期“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。May从理论物理转到应用数学,然后又走向生物学梅先后在科学杂志和自然杂志上发表了“无世代交迭繁育的生物总数:不动点,极限环和混沌”(Science , 74 年) 和“具有十分复杂动力学的简单数学模型”(Nature , 76 年) 两篇很有影响的文章物理学家费根鲍姆(Feienbaum) 发现了普适性常数1975 年, Mandelbrot造出了分形(f ractal) 这个词来描写具有分维的几何形体,并把混沌运动的相空间图象与分形相联系法国数学物理学家茹厄勒(D. Ruelle) 和荷兰数学家塔肯斯( F. Takens) 在“论湍流的本质”(1971 年) 一文中,则提出用奇怪吸引子来描写混沌运动的整体形态混沌理论发展初期“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1976 年,若斯勒(O. Rossler) 从生物化学的角度也提出了混沌模型1989 年召开了美苏混沌讨论会，1991 年10 月在美国召开了首届混沌试验讨论会。这一系列会议的召开促进了混沌学研究世界性热潮的到来。1989 年Hubler 发表了控制混沌的第一篇文章1990 年OGY提出的控制混沌的思想产生了广泛影响，同年,Pocora 等提出混沌同步的思想。以后十年,混沌控制与混沌同步的研究得到了蓬勃的发展,成了混沌研究领域的重要热点。混沌理论发展高潮“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。近年来,人们在混沌系统的耦合、复杂网络、分子马达、混沌密码、螺旋波等方面有了广泛研究,使混沌理论的研究进一步推向深入。混沌理论作为一种新的思维方式,已经渗透到经济学,保密通讯和其他应用领域. 混沌研究高潮的到来,促使Chaos、International Journal of Bifurcation and Chaos、Chaos, Solitons & Fractals创刊. 进一步推动了方兴未艾的混沌理论的研究.近年来混沌国际研究主要分支方向：混沌控制和同步、预测及其通信，混沌计算，混沌优化，混沌密码混沌理论发展高潮“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。在氣候中；在海洋湍流中；在野生動物族群數漲落中；在脈博和大腦的振動中；在股票期貨市場的漲跌中；在人類意識的流動過程中。混沌無處不在“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。混沌理论的应用混沌理论的应用 首先是理解自然，例如自然界存在着大量的流体首先是理解自然，例如自然界存在着大量的流体湍流现象。湍流现象。 混沌理论在生命科学中的应用特别重要。已经发混沌理论在生命科学中的应用特别重要。已经发现各种心律不齐、房室传导阻滞等均与混沌运动现各种心律不齐、房室传导阻滞等均与混沌运动有联系，癫痫患者发病时的脑电波呈现明显的周有联系，癫痫患者发病时的脑电波呈现明显的周期性，而正常人的脑电波呈现显著的混沌状态。期性，而正常人的脑电波呈现显著的混沌状态。 人们利用混沌可实现保密通讯，解释经济领域的人们利用混沌可实现保密通讯，解释经济领域的股票、期货的价格波动，探索厄尔尼诺现象，与股票、期货的价格波动，探索厄尔尼诺现象，与神经网络相结合创造出所谓的混沌神经网络等等。神经网络相结合创造出所谓的混沌神经网络等等。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。混沌理论的应用混沌理论的应用 1993 年Goldstar 公司生产了第一台混沌洗衣机 在研究宇宙星系的运动中，混沌理论都得到了广泛的应用。 近年来，混沌科学更是与其他科学互相渗透，在生物学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学、天文学、气象学、军事学，甚至在音乐、艺术等领域都得到了广泛的应用 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。混沌理论的研究方法混沌理论的研究方法 计算机科学的飞速发展，海量存储，知识爆炸 1998年1月美国副总统戈尔在加利福尼亚科学中心作了题为“数字地球认识21世纪我们这颗星球”的演讲时说:“在计算机出现之前，实验和理论这两种创造知识的方法一直受到限制。实验科学家面对的研究现象太困难，不是太小就是太大，不是太快就是太慢”，“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。三大科学方法三大科学方法 -科学计算、理论、实验科学计算、理论、实验 戈尔认为：“纯理论不能预报如雷雨或飞机上空的气流之类复杂的自然现象。随着高速的计算机的使用，我们才能模拟以前不容易观察到的现象。正由于此，计算科学突破了实验与理论科学的局限性.”“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。混沌是在决定性系统下，一种非周期性的长时间行为，其对初始条件的变化相当地敏感 ChaosChaos is aperiodic long-term behavior in a deterministic system that exhibits sensitive dependence on initial conditions. - “Nonlinear Dynamics and chaosNonlinear Dynamics and chaos”, Strogatz, S. H., Addison-Wesley Publishing Company, Boston, 1994.混沌的概略定混沌的概略定义义“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。Logistic映射（Logistic Map）xn+1 = r xn (1 - xn)原是生态学中用來描述某物种总（如人口）在同一个区域內，每年的变化情形。当 r = 1.0 ,x0 = 0.1x1 = x2 =0.090.0819“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。xn2 F.P.4 F.P.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1r2r3r4rrxF.P.分叉与周期倍增（Bifurcation & Period Doubling）chaosrc123669.4lim1nnn费根包姆常數（Feigenbaum constant）“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。PeriodicChaoticnxnxr=3.5x0 = 0.4000 x0 = 0.4001x0 = 0.4000 x0 = 0.4001r=3.9x60 = 0.3629x60 = 0.8471對初始值的敏感性“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。 湍流湍流木星大红斑木星大红斑障碍物后的流体障碍物后的流体混混沌沌现现象象混沌现象混沌现象“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。喷气机尾流喷气机尾流燃烧的蜡烛燃烧的蜡烛洛仑兹水轮洛仑兹水轮混混沌沌现现象象“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。滴水龙头滴水龙头混混沌沌现现象象“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。什么样的系统会出现混沌现象？什么样的系统会出现混沌现象？怎样判断系统出现了混沌现象？怎样判断系统出现了混沌现象？混沌系统状态有何特征？如何描述？混沌系统状态有何特征？如何描述？问题：问题： 非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），当其非线性程度足够高时，非线性方程），当其非线性程度足够高时，系统将出现混沌状态。系统将出现混沌状态。混混沌沌现现象象混沌现象混沌现象“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。相空间与相图相空间与相图求解非线性微分方程的困难求解非线性微分方程的困难法国数学家庞加莱法国数学家庞加莱相空间（状态空间）相空间（状态空间）相空间几何学（拓扑学）相空间几何学（拓扑学）相空间与相图相空间与相图 一个系统的动力学变量所张成的空间称一个系统的动力学变量所张成的空间称为相空间，相空间的曲线称为相图。为相空间，相空间的曲线称为相图。相空间中相空间中一个点一个点代表系统的一个代表系统的一个运动状态运动状态；相空间中相空间中一条曲线一条曲线代表系统的运动代表系统的运动状态变化过程状态变化过程。相相空空间间与与相相图图“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。相空间几何与吸引子相空间几何与吸引子相空间几何相空间几何考察各种可能的相空间运考察各种可能的相空间运动类型，根据相空间运动与样板体系性能动类型，根据相空间运动与样板体系性能之间的一一对应关系，建立动力学系统现之间的一一对应关系，建立动力学系统现象的定性分类。象的定性分类。吸引子吸引子动力学系统稳定后形成的相空动力学系统稳定后形成的相空间轨迹。间轨迹。周期振荡周期振荡 极限环吸引子极限环吸引子定态定态相空间的定点吸引子相空间的定点吸引子运动状态运动状态可可预测预测混沌态混沌态奇异吸引子（奇异吸引子（运动状态运动状态不可不可预测预测）相相空空间间与与相相图图“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。混沌运动的特点：混沌运动的特点：（1 1）非定点、非周期运动）非定点、非周期运动运动具有不确运动具有不确定性；定性；（2 2）不确定性来自于系统自身）不确定性来自于系统自身内禀随机内禀随机性；性；（3 3）由内禀随机性引起的不确定性运动）由内禀随机性引起的不确定性运动混沌运动；混沌运动；（4 4）混沌运动的初值敏感依赖性）混沌运动的初值敏