【创新设计】2022届高三数学一轮复习-3-8正弦定理、余弦定理的应用随堂训练-文-苏教版.doc

第8课时 正弦定理、余弦定理的应用一、填空题1ABC中，AB，AC1，且B30°，那么ABC的面积等于_解析：AD=ABsin 30°= ，该三角形有两解由正弦定理得，sin C= ，C=60°或C=120°，A=90°或A=30°，当A=90°时，SABC= ；当A=30°时，SABC= .答案：2两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，那么灯塔A与灯塔B的距离为_解析：由可得ACB120°，又ACBCa，在ABC中，由余弦定理得AB2a2a22a·acos 120°3a2，ABa km.答案：a km3(江苏省高考名校联考信息优化卷)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，假设(a2c2b2)sin Btan Babsin C，那么角B的值为_解析：由正、余弦定理知，a2c2b22accos B，.因为(a2c2b2)sin Btan Babsin C，那么2accos B··ab，即sin B.又B为ABC的内角，所以B或B.答案：或4为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是_m.解析：如右图所示，由，四边形CBMD为正方形，而CB=20 m，所以BM=20 m又在RtAMD中，DM=20 m，ADM=30°，AM=DMtan 30°= (m)，AB=AM+MB= (m)答案：5轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，那么下午2时两船之间的距离是_n mile.解析：如图，两船航行的时间为t，那么有OA=50，OB=30.而AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos 120°=502+302-2×50×30×()=2 500+900+1 500=4 900，AB=70.答案：706有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把倾斜角改为30°，那么坡底需伸长_米解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不变，即仍为50米，当坡的倾斜角变为30°时，坡底的长度为50米，所以坡度改后，坡底伸长了50()米答案：50()7(江苏省高考名校联考信息优化卷)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f(A)2sin1，且f(A)2，b1，ABC的面积为，那么的值为_解析：因为f(A)2sin1，且f(A)2，所以2sin12，sin.在ABC中，0<A<，<2A<2，2A，解得A.又SABCbcsin A×1×c×，c2.在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos A142×1×2×3，a.由正弦定理，得2，所以2.答案：2二、解答题8某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如下图，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度是多少米？解：根据题意可得，ABC45°30°15°，DAC60°30°30°，BAC150°，ACB15°，所以ACAB40米在ADC中，BDC120°，由正弦定理得，CD(米)，即转播塔的高度为米9(江苏省高考名校联考信息优化卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)假设c2，C，且ABC的面积S，求a，b的值；(2)假设sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状解：(1)由余弦定理及条件得，a2b2ab4，又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4.联立方程组，解得a2，b2.(2)由题意得sin Bcos Asin Acos A，当cos A0时，A，ABC为直角三角形；当cos A0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，所以ABC为等腰三角形10(2022·海门中学高三调研)如下图，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°(即C=60°)，现有可供建造第三面围墙的材料6米(两面墙的长均大于6米)，为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC=，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？解：在ABC中，由正弦定理：化简得：AC= 所以SABC= = .= 即SABC= 所以当2- ，即= 答：当=60°时，所建造的三角形露天活动室的面积最大1满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值为_解析：设BCx，那么ACx，根据面积公式得SABCAB×BCsin Bx，根据余弦定理得cos B，代入上式得SABCx .由三角形三边关系有，解得22<x<22，故当x2时取得SABC 最大值2.答案：22如上图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结A1B2，由A2B210，A1A230×10，A1A2=A2B2，又A1A2B2=180°-120°=60°，A1A2B2是等边三角形，A1B2=A1A2= .由，A1B1=20，B1A1B2=105°-60°=45°，在A1B2B1中，由余弦定理， 因此，乙船的速度的大小为×60=30海里/小时即乙船每小时航行30海里