初中数学八年级秋季班-第18讲：直角三角形的判定、性质和推论-教师版.docx

八年级秋季班直角三角形的全等判定及性质内容分析直角三角形是特殊的三角形，本节主要讨论直角三角形全等的判定定理和性质，难点是直角三角形的性质及应用综合性较强，会牵涉到辅助线的添加，连接中线，将散落的条件集中到直角三角形中进行求解知识结构模块一：直角三角形全等的判定知识精讲1、 直角三角形全等的判定方法：（1） 直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用；（2） 直角三角形还有一个特殊的判定方法：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等（简记“HL”）例题解析BACD【例1】 如图，D=C=90°，请添加一个条件，使得ABCBAD，并在括号内写出判定的依据（1）AD=_()；（2）DAB=_ ()【难度】【答案】，；，【解析】（1）有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等； （2）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等【总结】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理【例2】 已知：如图，EFAD，BCAD，AG=DH，AF=DC，那么图中全等的三角形共有_对ABCDEFGOH【难度】【答案】对【解析】；【总结】考查学生对全等三角形判定的灵活运用【例3】 下列命题中，正确的个数是()两条边分别相等的两个直角三角形全等；斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等；斜边相等的两个等腰直角三角形全等A3B2C1D0【难度】【答案】B【解析】错误；、正确【总结】考查直角三角形全等的判定定理【例4】 已知：如图，ACBC，ADBD，AD=BC，CEAB，DFAB，垂足分别是E、F， EABCDF求证：CE=DF【难度】【答案】见解析【解析】ACBC，ADBD， 在和中， （） （全等三角形对应角相等），（全等三角形对应边相等） CEAB，DFAB 在和中 ， （） （全等三角形对应边相等）【总结】考查直角三角形全等判定及三角形全等判定定理的综合应用ABCDE【例5】 如图，已知：RtABC中，ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CDBE【难度】【答案】见解析【解析】， 在和中， （） （全等三角形对应边相等） 在的垂直平分线上（垂直平分线逆定理） 又（已知），也在的垂直平分线上（垂直平分线逆定理） 垂直平分（两点确定一条直线），即CDBE【总结】考查直角三角形斜边直角边判定的用法以及垂直平分线的性质定理的逆定理的应用ABCDEF【例6】 如图，ABC中，ABBC，AD平分BAC，DFAC，ED=CD求证：AC =AE+2BE【难度】【答案】见解析【解析】AD平分BAC，且ABBC，DFAC （角平分线性质定理） 在和中， ， （） （全等三角形对应边相等）同理可证： （）， （全等三角形对应边相等）， 【总结】本题主要考查直角三角形全等判定与角平分线性质的综合应用【例7】 如图1，点A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DEAC，BFAC若AB=CD，ABCDEFGABCDEFG图2图1（1）BD与EF有什么关系?为什么?（2）若变为图2所示位置，结论是否仍然成立?请说明理由【难度】【答案】（1）BD与EF互相平分； （2）成立【解析】（1）提示：证 （）； （） 得：（全等三角形对应边相等） （2）同理可证，结论成立【总结】考查直角三角形全等的判定及全等三角形的判定定理的应用【例8】 在直角ABC中，AB=AC，BAC=90°，直线l为经过点A的任一直线，BDl于点D，CEl于点E，若BD>CE，试问：（1） AD与CE的大小关系如何?请说明理由；（2） 线段BD、DE、CE之间的数量关系如何?你能说明清楚吗?试一试ABCDEl【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）， ， 在和中， ， （） （全等三角形对应边相等）（2），又 ， ， 【总结】考查全等三角形的应用及线段间的等量代换【例9】 如图，在ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BDDE于D，CEDE于E（1） 若BC在DE的同侧（如图1），且AD=CE，求证：ABAC图1ABCDE图2ABCDE（2） 若BC在DE的两侧（如图2），其他的条件不变，问AB与AC仍垂直吗?若是，请予以证明，若不是，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）证明：BDDE，CEDE 在和中， ， （）， ， ，ABAC （2）ABAC同理可证： ，则可证，即ABAC【总结】考查直角三角形全等的判定及同角的余角相等相结合【例10】 如图，在ABC中，ACB=90°，CD是斜边AB上的高，在AB上截取AE=AC，过点E作EFCD、交BC边于点F，EG垂直BC于点G，求证：DE=EGABCDEFG【难度】【答案】见解析【解析】联结AE=AC ， ， ， 又， 【总结】考查等边对等角及角平分线性质定理的综合运用模块二：直角三角形的性质知识精讲2、 两个性质：（1） 直角三角形的两个锐角互余；（2） 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半如果有直角三角形，作斜边的中线这条辅助线，可达到解决问题的目的例题解析ABCD【例11】 如图，在ABC中，ACB=90°，CDAB于D： （1）若B=55°，则A=_； （2）若BA=10°，则B=_； （3）图中与A互余的角有_，与A相等的角有_【难度】【答案】（1）；（2）；（3）、；【解析】直角三角形的两个锐角互余，题目中有三个直角三角形、【总结】直角三角形性质1：直角三角形的两个锐角互余的运用ABCDMN【例12】 如图，已知，四边形ABCD中，ABC=ADC=90°，M、N分别是AC、BD中点求证：MNBD【难度】【答案】见解析【解析】联结、，M分别是AC中点 （直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， 是中点， （等腰三角形三线合一）【总结】考查直角三角形斜边中线性质及等腰三角形三线合一性质的综合运用ABCDE【例13】 如图，在RtABC中，C=90°，AB的中垂线交AB于E、AC于D，BD、CE交于F，设A=y，DFC=x，（1）求证：CDB=CEB；（2）用x的代数式表示y【难度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1） ，AB的中垂线交AB于E 、（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， 又AB的中垂线交AB于E， （垂直平分线的性质）， （2） ，又，即，【总结】主要考查：直角三角形斜边中线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和性质的综合运用ABCDPF【例14】 如图中，AD是BC边上的高，CF是AB边的中线，P是CF中点 求证：（1）；（2）【难度】【答案】略【解析】（1）联结AD是BC边上的高，CF是AB边的中线， 是直角斜边上的中线， ， ， ， 又是中点， （2） ， ， ， ， 【总结】考查等腰三角形的判定与性质，注意掌握直角三角形中，斜边中线等于斜边一半的定理应用ABCDEFOM【例15】 如图，交于点O，且BD=BO，CA=CO，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点，求证：【难度】【答案】略【解析】联结，E、F分别是OD、OA的中点是的中点（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）【总结】本题主要考查直角三角形的性质与等腰三角形性质的综合运用【例16】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别是AD、BC的中点，若B与ABCDMNEFC互余，则MN与(BCAD)的关系是什么?【难度】【答案】【解析】过点分别作，交于点、， B与C互余， ，即为直角三角形在梯形ABCD中，AD/BC，M、N分别是AD、BC的中点， ， 【总结】考查直角三角形斜边中线性质的应用【例17】 如图，已知在钝角ABC中，AC、BC边上的高分别是BE、AD，BE、AD的延长线交于点H，点F、G分别是BH、AC的中点（1）求证：FDG=90°；BEFHDAGC（2）连结FG，试问FDG能否为等腰直角三角形?若能，试确定ABC的度数，并写出你的推理过程；若不能，请简要说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）证明：AC、BC边上的高分别是BE、AD，又点F、G分别是BH、AC的中点，（斜边中线等于斜边的一半），又，即（2） 能，若为直角等腰三角形，则， （），【总结】主要考查对直角三角形性质的掌握，以及能否灵活的运用ABCDE12HF【例18】 如图，等腰直角三角形ABC中，ACB90°，AD为腰CB上的中线，CEAD交AB于E求证：CDAEDB【难度】【答案】见解析【解析】过点作于点，交于点等腰直角三角形中，又， 在和中， ， （）， 为腰上的中线， 在和中， ， （） ，即【总结】考查学生对辅助线的添加及全等三角形的构造能力【例19】 如图，点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE和BCF，连接AF、CE，取AF、CE的中点M、N，连接MB、NB、NM（1） 若ABE和FBC是等腰直角三角形，且ABE=FBC=90°，如图1所示，则MBN是_三角形；（2） 若ABE和FBC中，BA=BE，BC=BF，且ABE=FBC=，如图2所示，则MBN是_三角形，且MBN=_；ABCMEFN图2ABCNEFM图1ABCEFNM图3（3） 若（2）中的ABE绕点B旋转一定的角度，如图3，其他的条件不变那么（2）中的结论是否成立?若成立，给出你的证明，若不成立，写出正确的结论并给出证明【难度】【答案】（1）等腰直角；（2）等腰，；（3）结论仍然成立【解析】（1）易证， ，即，为等腰直角三角形（2）根据题意，可知， 即为等腰三角形，（3）， ，【总结】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定掌握等腰三角形和全等三角形的性质及判定并学会灵活运用是解题的关键【例20】 已知，如图，在ABC中，边AB上的高CF、边BC上的高AD与边CA上的高BE交于点H，连接EF，AH和BC的中点为N、MABCDEFNHM求证：MN是线段EF的中垂线【难度】【答案】见解析【解析】连接FM、EM、FN、EN，M为BC的中点， ，M为BC的中点，N为AH的中点，N为AH的中点， ，MN是线段EF的中垂线【总结】考察直角三角形的性质和线段垂直平分线性质定理逆定理的综合运用模块三：直角三角形性质的推论知识精讲3、 推论：（1） 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；（2） 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°例题解析【例21】 （1）【例22】 ABC中，AB=AC=6，B=30°，则BC边上的高AD=_； （2）ABC中，AB=AC，AB上的高CD=AB，则顶角BAC=_【难度】【答案】（1）；（2）或【解析】（1）在中，则； （2）要分两种情况考虑，可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形； 当是锐角三角形时，； 当是钝角三角形时，【总结】考查直角三角形性质的两条推论的运用以及分类讨论思想ABCDEH【例23】 如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则EBC的度数为_【难度】【答案】【解析】过点作，垂足为，则又，【总结】考查直角三角形性质的推论的运用：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°ABCDNM【例24】 已知：如图，在ABC中，BA=BC，B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：【难度】【答案】见解析【解析】连接BDBA=BC，B=120°， AB的垂直平分线MN交AC于D，B=120°，【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形性质的综合运用【例25】 已知：如图，RtABC和RtABD中，DA=DB，ADB=90°，BC=AB，ACB=90°，DEAB，联结DC，求EDC的大小【难度】【答案】75°【解析】连接CEDA=DB，DEAB，RtABC，BC=AB，RtABC，DEAB，RtABC和RtABD，【总结】考察线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质和等腰三角形性质的综合运用【例26】 已知如图，在直角ABC中，ACB=90°，A=30°，D为AB上一点，ABCDE且BD =AB求证：CDAB 【难度】【答案】见解析【解析】取AB的中点E，连接CE，BD =AB，ACB=90°，A=30°，ACB=90°，CDAB【总结】考察直角三角形的性质的应用及等腰三角形三线合一性质的运用 【例27】 已知等边ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于点F，过点B作BGAD，垂足为G，（1） 求FG：BF的值；ABCDEFG（2） 若D、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，上述结论是否仍然成立，请说明理由 【难度】【答案】（1）1：2；（2）见解析【解析】（1），AE=CD，AB=CA，BGAD，即FG：BF=1：2；（2）若D、E分别在BC、CA的延长线上，其他条件都不变，也可以用同样的方法证 明出两个三角形全等，进而得到结论【总结】考察直角三角形的性质的应用及利用三角形的外角性质求角的度数 【例28】 在ABC中，已知A=60°，BEAC于E，CFAB于F，点D是BC中点.（1）如果AB=AC，求证DEF为等边三角形；ABCDEFM（2）如果ABAC，试猜想DEF是不是等边三角形，若是，请加以证明，若不是，请说明理由；（3）如果CM=4，FM=5，求BE的长度【难度】【答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析；（3）12【解析】（1）BEAC，点D是BC中点，CFAB，点D是BC中点，A=60°，AB=AC，ABC是等边三角形，DEC是等边三角形，BFD是等边三角形，DEF为等边三角形（2）BEAC，点D是BC中点，CFAB，点D是BC中点，A=60°， ，DEF为等边三角形（3） A=60°，BEAC于E，CFAB，CM=4，FM=5，【总结】考察直角三角形性质及等边三角形性质的综合运用【例29】 已知MAN，AC平分MAN，（1）在图1中，若MAN=120°，ABC=ADC=90°，求证：AB+AD=AC. （2）在图2中，若MAN=120°，ABC+ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 ABCDMNNABCDMEF【难度】【答案】见解析【解析】(1)MAN=120°，AC平分MAN，ABC=ADC=90°，ACD=ACB=30°，；（2） 过C作CEAM，过C作CFAN，垂足分别为E、FAC平分MAN，CEAM，CFAN，ABC+ADC=180°，MDC+ADC=180°，EDC=ABCEDC=ABC，MAN=120°，AC平分MAN，ABC=ADC=90°，ACE=ACF=30°，【总结】考察角平分线的性质和直角三角形的性质的综合运用随堂检测【练习1】 下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）A、两条直角边对应相等B、斜边一个锐角对应相等C、一条直角边和一条斜边对应相等D、一条边和一个角对应相等【难度】【答案】D【解析】A的理由是；B的理由是，C的理由是【总结】考察直角三角形全等的判定【练习2】 如图在ABC中，ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC，则DCE=_【难度】【答案】45°【解析】 【总结】本题主要考查等边对等角及三角形内角和定理的综合运用【练习3】 如图在ABC中，ACB=90°，CDAB于点D，A=30°，则AD =_ABABCD【难度】【答案】【解析】， ，A=30°， ，【总结】考察直角三角形的性质的运用【练习4】 如图，在直角ABC在，ACB=90°，AB=8cm，D为AB的中点，DEAC于ABCDEE，A=30°，求BC、CD和DE的长【难度】【答案】BC=4cm，CD=4cm，DE=2cm【解析】ACB = 90°，AB = 8cm，D为AB的中点，A=30°，DEAC，A=30°，【总结】考察直角三角形的性质的运用ABCDEH【练习5】 如图，ABC中，ADBC于点D，BEAC于点E，交AD于点H，且AD=BD，AC=BH，连接CH求证：ABC=BCH【难度】【答案】见解析【解析】，AC=BH， ADBC， ，ABC=BCH【总结】考察直角三角形全等的判定和性质的运用【练习6】 如图，已知，在锐角三角形ABC中，ABC=2C，ADBC于点D，E为ACABCDEF的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F，求证：BF=BD【难度】【答案】见解析【解析】ADBC，E为AC的中点，ABC=2C，BF=BD【总结】考察直角三角形的性质和三角形外角性质的综合运用ACBEFD【练习7】 如图，在ABC中，BEAC于点E，CFAB于点F，D是边BC的中点，连接DF、EF、DE（1）求证：ED=DF；（2）若DEF是等边三角形，则ABC应满足什么条件?【难度】【答案】见解析【解析】（1）BEAC，点D是BC中点，CFAB，点D是BC中点，；（2）时，DEF是等边三角形BEAC，点D是BC中点，CFAB，点D是BC中点，A=60°， ，DEF为等边三角形【总结】考察直角三角形的性质和等边三角形判定的综合运用【练习8】 如图，ADBC，且BDCD，BD = CD，AC = BC求证：AB = BOABDOCEF【难度】【答案】见解析【解析】过A作AEBC垂足为E，过D作DFBC，垂足为FBDCD，BD = CD，DFBC，AEBC，DFBC，ADBC，四边形AEFD是长方形，AC = BC，AC = BC，BDCD，BD = CD，AB = BO【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形性质的应用ABCDEG【练习9】 已知：如图在ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE，DGCE，垂足为点G求证：AEC=3DCE【难度】【答案】见解析【解析】联结EDAD是BC边上的高，CE是AB上的中线，DC=BE，【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形的性质的综合应用【练习10】 如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的一点，且AE=CD，ABCDFEKAD与BE相交于点F，CFBE. 求AF：BF的值【难度】【答案】1:2【解析】过B作BKAD的垂线，垂足为K，AE=CD，BKAD，即，即AF：BF=1:2【总结】考察全等三角形的判定和性质以及直角三角形性质的综合运用【练习11】 如图，在直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，以AB为边向外作等边三角形ABD，AEBD于点E，AE交CD于点M.（1）线段DM与线段BC有怎样的数量关系?并证明；（2）若ABC于ABD在AB的同侧，CD的延长线与AE的延长线交于点M，请在图2中画出ABD与点M；线段DM与BC仍有（1）中的数量关系吗?并证明【难度】【答案】见解析【解析】（1）直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，等边三角形ABD，ABCDME图1ABC图2，AC=AD，AEBD，DME是等腰直角三角形等边三角形ABD，AEBD于点E，直角三角形ABC中，BAC=90°，AB=AC，（2）成立理由同（1）一样【总结】本题综合性较强，一方面考察等腰直角三角形的性质及等边三角形性质的综合运用，另一方面考查了勾股定理的运用，教师可以选择性的讲解课后作业【作业1】 下列命题中，正确的有()个腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A0B1C2D3【难度】【答案】C【解析】（1）（2）对，（3）错误，满足条件的三角形可以是锐角三角形也可以是钝角三角形【总结】考察三角形全等的判定方法【作业2】 （1）直角ABC中，C= 90°，CDAB，点E是AB的中点，ACD=25°，则ECB=_； （2）直角ABC中，C=90°，CDAB，点E是AB的中点，DCE=10°，DABCE则B=_【难度】【答案】（1）25°；（2）40°【解析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的角度之间的关系可得到答案【总结】考察直角三角形的性质ABCDE【作业3】 如图，中，则=_，=_【难度】【答案】4；2【解析】，【总结】考察等腰三角形的性质和直角三角形性质的综合运用【作业4】 （1）等腰三角形底角是75°，腰长为9，则此三角形的面积是_；（2）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数是_【难度】【答案】（1）；（2）30°或150°【解析】（1）等腰三角形底角是75°，顶角为30度，则腰上的高为，则三角形的面积为；（2）注意分锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论【总结】考察直角三角形的性质注意等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形【作业5】 已知：ABBC，DCBC，点E在BC上，且AE=AD，AB=BC，求证：CE=CDABCDEF【难度】【答案】见解析【解析】过D作DFAB，垂足为FABBC，DCBC，DFAB，四边形BCDF是长方形，AE=AD，【总结】考察直角三角形全等的判定方法的运用【作业6】 已知：如图，ABC中，B=40°，C=20°，DACA，求证：CD=2ABABCDE【难度】【答案】见解析【解析】取CD的中点E，联结AEDACA，即【总结】考察等腰三角形的判定和直角三角形的性质的综合运用【作业7】 如图，已知：ABC中，AB=AC，A=60°，BD=CD，BEAC，DEBE，ABCDE求证：4BE=AC.【难度】【答案】见解析【解析】连接AD AB=AC，A=60°， ABC是等边三角形，BC=ACAB=AC，BD=CD，BD=CD，BEAC，DEBE，即4BE=AC【总结】考察直角三角形的性质和等边三角形的性质的综合运用【作业8】 在等腰直角ABC中，D是斜边AB的中点，E、F分别在直线AC、BC上，ABCDEF且AE=CF，联结DE、DF、EF，试判断DEF的形状，并加以证明【难度】【答案】等腰直角三角形证明见解析【解析】等腰直角三角形联结CD等腰直角ABC中，D是斜边AB的中点， ，AE=CF，即，DEF是等腰直角三角形【总结】考察等腰直角三角形的性质及全等三角形性质的运用【作业9】 已知：如图，在四边形ABCD中，ABC=ADC=90°，AC、BD相交于点O，ABCDMNOM、N分别为AC、BD的中点（1）求证：MNBD；（2）当BAC=15°，AC=10，OB=OM时，求MN的长【难度】【答案】见解析【解析】（1）联结BM，MDABC=ADC=90°，M分别为AC的中点， N分别为BD的中点， MNBD；（2）BAC=15°，OB=OM，MNBD，由（1）可得：，【总结】考察直角三角形的性质和等腰三角形性质的综合运用【作业10】 已知：等腰直角ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D是线段BC上的一点，且BP=PD，过点D作AC边上的高DE，求证：PE=BOABCDPEO【难度】【答案】见解析【解析】等腰直角ABC中，O是斜边AC的中点，BP=PD，BP=PD，PE=BO【总结】考察等腰直角三角形的性质的应用【作业11】 如图1，已知点D在AC上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点（1）求证：BMD为等腰直角三角形；（2）将ADE绕点A逆时针旋转45°，如图2所示，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；图1ABCDEMABCDE图2MN（3）将ADE绕点A逆时针旋转135°，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由【难度】【答案】见解析【解析】（1）联结DM，点M为EC的中点，点M为EC的中点， BMD为等腰直角三角形；（2） 延长DM与BC交于点N，BMD为等腰直角三角形；（3） 过C作CNED交DM的延长线于NCNED，即，BMD为等腰直角三角形【总结】本题综合性较强，主要考察等腰直角三角形的性质和判定，在说理时注意认真分析，添加合适的辅助线31 / 31