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复旦大学附属中学2018学年第二学期高二年级数学期中考试试卷考试时间：120分钟 满分：150分 2019.4一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为_.2. 在空间直角坐标系中，已知，则向量与的夹角为_.3. 如图，在正方体中，是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成的角为_.4. 如图，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆心，为圆锥顶点，是底面圆周上的两点，为母线的中点，则在该圆锥的侧面上，从到的最短路径的长是_.5. 设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则_.6. 已知平面，和直线，给出下列命题：，则；若，则；若，则；若，则，其中是真命题的是_（填写所有真命题的序号）.7. 如图，在棱长为1的正方体中，是平面与平面的交线，则点到的距离是_.8. 如图，已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角的大小为_.9. 已知球的表面上三点、满足：，且球心到该截面的距离为球的半径的一半，则、两点的球面距离是_.10. 如图是复且附中旦华楼的大致形状，它可看作是一个半球与两个长方体拼接而成，若半球的半径3米，米，米，米，米，米，由于年久失修，需要用涂料刷满其外表面（不计地面），则需要_平方米的涂料.11. 已知，是正常数，由直线、直线、双曲线及其一条渐近线围成如图阴影部分所示的图形，该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_.12. 如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为_.二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知，且与垂直，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 14. 过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）A. B. C. D. 15. 下列四个结论中正确的是（ ）若两个平面有无数多个公共点，则它们重合；垂直于同一条直线的两条直线平行；若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直；若，是异面直线，直线，与，都相交，则，也是异面直线；A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱，的中点，是底面内一动点，若直线与平面平行，则的面积最小值为（ ）A. B. 1C. D. 2三、解答题（本大题共5题，共76分）17. 如图，在四棱锥中中，底面，点为棱的中点.（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.18. 已知椭圆：过点，左、右顶点分别为，点是椭圆上异于，的一点，直线与轴交于点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，点在轴上，且，求证：为定值.19. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，圆的直径，圆柱的高.（1）求圆柱的表面积；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与所成的角.20. 如图，在多面体中，、均垂直于平面，分别是线段和上的点.（1）求与所成角的大小；（2）求二面角的大小；（3）求的最小值.21. 已知双曲线：，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，为双曲线的左右顶点.（1）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；（2）设过右焦点的直线交双曲线于，两点，若存在直线，使得为等边三角形，求的值；（3）若，动点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线：分别相交于点和，试问：是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，试说明理由.参考答案一、填空题l. 2. 3. 4. 5. 8 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题13-16：DCCC三、解答题17.（1）略；（2）18.（1）；（2）19.（1）；（2）；（3）20.（1）；（2）；（3）21.（1）；（2）；（3）或