2022年高中数学11-函数的奇偶性与对称性 .pdf
精品资料欢迎下载题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为 0 是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断【例 1】判断下列函数的奇偶性：1yx；422yxx；3yxx；31yx【例 2】判断下列函数的奇偶性：4( )f xx ；5( )f xx ；1( )f xxx；21( )f xx【例 3】判断下列函数的奇偶性并说明理由：221( )1xxaf xa(0a且1)a；( )11f xxx；2( )5|f xxx典例分析板块二 .函数的奇偶性与对称性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 4】判别下列函数的奇偶性：（1）31( )f xxx； （2）( )|1|1|f xxx； （3）23( )fxxx. 【例 5】判断函数 f(x)=22x1x-1x1x+1的奇偶性2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论：在公共定义域内（1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数【例 6】判断下列函数的奇偶性：1( )(1)1xf xxx11( )( )()12xf xF xa，其中0a且1a，( )F x为奇函数【例 7】若函数 f(x)= 3(xx)g(x)是偶函数， 且 f(x)不恒为零， 判断函数 g(x)的奇偶性【例 8】函 数( )yf x与( )yg x有 相 同 的 定 义 域 ， 对 定 义 域 中 任 何x， 有()()0fxfx，( )()1g x gx，则2 ( )( )( )( )1f xF xf xg x是（）A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 9】已知21( )|2|2xf xx，2( )lg1g xxx则乘积函数( )( )( )F xf x g x在公共定义域上的奇偶性为（） A是奇函数而不是偶函数B是偶函数而不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既非奇函数又非偶函数【例 10】已知函数( )f x是奇函数；2( )(1)( )21xF xf x（x0 ）是偶函数，且( )f x不恒为 0，判断( )f x的奇偶性题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式【例 11】函数22( )|axf xxaa为奇函数，则a的取值范围是（） A10a或01aB1a或1aC0aD0a【例 12】设( )f x是 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 0 ,)x时 ，3()(1)fxxx， 那 么 当(, 0 )x时，( )f x=_【例 13】已知偶函数 f(x)的定义域为R，当 x0 时，f(x)=2x3x-1，求 f(x)的解析式设 x0，则 x0 【例 14】已知函数( )f x为 R 上的奇函数，且当0 x时( )(1)f xxx求函数( )f x的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 15】已知函数22( )(1)(1)2f xmxmxn，当,m n为何值时，( )f x是奇函数？【例 16】已知( )f x是偶函数，0 x时，2( )24f xxx，求0 x时( )f x的解析式 . 【例 17】已知( )f x是定义域为R的奇函数，当0 x时，2( )2f xxx，求( )f x的解析式 . 【例 18】( )yf x图象关于1x对称，当1x 时，2( )1f xx，求当1x时( )f x的表达式【例 19】已知函数21( )( , ,)axf xa b cZbxc是奇函数 , 且(1)2,(2)3ff, 求, ,a b c的值 .2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和即 f(x)=12F(x)+G(x) 其中 F(x) =f(x)+f(-x),G(x) = f(x)f(-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题【例 20】定义在 R 上的函数 f(x)=22xxx1，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和 ,求 g(x)，h(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 21】已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数并且( )( )1f xg xx，则求( )f x与( )g x的表达式【例 22】已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，且1( )( )1f xg xx，求( )f x、( )g x3.利用函数奇偶性求函数值【例 23】已知 f（x）,.10)2(832fbxaxx且求 f(2). 【例 24】已 知23()l n (1 )4fxa xbxcxx（a、 b 、c为 实 数 ）， 且3(lglog10)5f则(lg lg3)f的值是（） A5B-3 C3 D随 a、b、 c 而变【例 25】 若( )f x是定义在 R 上的奇函数，则(0)f=_； 若( )f x是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ，( 3)2f， 且 对 一 切 实 数x都 有(4 )()fxfx，则(25)f=_； 设 函 数( )yf x(Rx且0 x） 对 任 意 非 零 实 数12,x x满 足1212()()()fxxfxfx，则函数( )yf x是_（指明函数的奇偶性）【例 26】已 知 函 数3()2fxxx 若1x、2x、3xR且120 xx，230 xx，310 xx则123()()()f xf xf x（） A大于零B小于零C等于零D大于零或小于零【例 27】设函数322|2( )2|xxxxf xxx的最大值为M ，最小值为m，则 M 与m满足（） A2MmB4MmC2MmD4Mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 28】函 数( )f x在 R 上 有 定 义 ， 且 满 足 ( )f x是 偶 函 数 ； (0)2005f；( )(1)g xf x是奇函数；求(2005)f的值题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例 29】已知函数( )f x是偶函数， 而且在(0,)上是减函数， 判断( )f x在(,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断对奇函数有没有相应的结论【例 30】已设函数( )f x是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)上是减函数，实数a满足不等式22(33)(32 )faafaa，求实数 a 的取值范围 . 【例 31】已知( )yf x为()，上的奇函数，且在(0)，上是增函数求证：( )yf x在(0)，上也是增函数；若1()12f，解不等式41(log)0fx，【例 32】已知函数( )f x，当,Rx y时恒有()( )( )f xyf xfy求证：函数( )f x是奇函数；若( 3)fa，试用a表示(24)f如果Rx时( )0f x，且(1)0.5f试判断( )f x的单调性，并求它在区间 2,6上的最大值与最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 33】设 函 数( )yf x（ xR 且0)x对 任 意 非 零 实 数12,xx， 恒 有1212()()()f x xf xf x，求证：(1)( 1)0ff；求证：( )yf x是偶函数；已知( )yf x为(0，)上的增函数，求适合1( )()02f xf x的x的取值范围【例 34】知( ),( )f xg x都 是奇 函 数 ，()0f x的 解 集是2(,)ab，( )0g x的 解 集 是2,22ab，22ba，那么求( ) ( )0f x g x的解集2.函数对称性【例 35】设函数( )f x对于一切实数x都有(2)(2)fxfx， 如果方程( )0f x有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_【例 36】当实数 k 取何值时，方程组1, 1|)1(224yxyxxk有惟一实数解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载【例 37】设 a 是正数，而|2|),(,1|),(22ayxyxByxyxA是 XOY平面内的点集，则BA的一个充分必要条件是5a（1986 年上海中学生竞赛题） . 【例 38】试证1991)19911()19911(19901990是整数 . 上例可推广为：设m、n 为自然数，证明mmmnn)1()1(是整数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
