2022年高中数学必修5--第三章《不等式》复习知识点总结与练习 .pdf

高中数学必修5_第三章不等式复习知识点总结与练习一第一节不等关系与不等式知识能否忆起 1实数大小顺序与运算性质之间的关系ab0? a b；ab0? ab；a b0? ab. 2不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ab? bb，bc? ac ?可加性ab? acbc ?可乘性abc0? acbcc 的符号abc0? acbcd? acbd ?同向同正可乘性ab0cd0? acbd ?可乘方性ab0? anbn(nN，n 2) 同正可开方性ab0?nanb(nN， n2) 1.使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时， 一定要搞清它们成立的前提条件不可强化或弱化成立的条件如“ 同向不等式 ”才可相加， “同向且两边同正的不等式” 才可相乘；可乘性中“c 的符号 ”等也需要注意2作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用高频考点1.比较两个数 (式)的大小例 1已知等比数列 an中， a10， q0，前 n 项和为 Sn，试比较S3a3与S5a5的大小自主解答 当 q1 时，S3a3 3，S5a55，所以S3a3S5a5；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页当 q0 且 q1 时，S3a3S5a5a11q3a1q21qa11q5a1q41qq21q3 1q5q41 qq1q40，所以S3a3S5a5. 综上可知S3a3S5a5. 由题悟法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤是：作商；变形；判断商与1 的大小；结论(3)特值法：假设是选择题、填空题可以用特值法比较大小；假设是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断注意 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论以题试法1(2012 吉林联考 )已知实数a、b、c 满足 bc64a3a2，cb44aa2，则 a、b、c 的大小关系是() AcbaBa cbCcbaDa cb解析： 选 Acb4 4aa2(2a)2 0， cb.将题中两式作差得2b 22a2，即 b1a2. 1a2a a122340，1a2a. b1a2a. cba. 2.不等式的性质(2012 包头模拟 )假设a0b a， cd0，则以下结论：adbc；adbc0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页acbd； a (dc) b(dc)中成立的个数是() A1 B2 C3 D 4 (2)a0b，c d0，ad0，bc0， adbc，故错误 a0b a，a b0， cd0，c d0， a(c) (b)( d)， ac bd0，adbcacbdcd0，故正确 cd，c d， ab，a(c)b(d)，acbd，故正确 ab，d c0，a(dc)b(dc)，故正确，故选C. 由题悟法1判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比方对数函数、指数函数的性质2特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题以题试法2假设 a、 b、c 为实数，则以下命题正确的选项是() A假设 ab， cd，则 ac bdB假设 ab 0，则 a2abb2C假设 ab 0，则1a1b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页D假设 ab 0，则baab解析： 选 BA 中，只有ab0，cd0 时，才成立； B 中，由 a b0，得 a2ab b2成立； C，D 通过取 a 2， b 1 验证均不正确3.不等式性质的应用典题导入例 3已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2，2 f(1)4.求 f(2)的取值范围自主解答 f(1)ab，f(1)ab. f(2)4a2b. 设 m(ab)n(ab)4a2b. 则mn4，mn 2，解得m1，n3. f(2)(ab) 3(ab)f(1)3f( 1) 1f(1)2,2f(1)4， 5f(2)10.即 f(2)的取值范围为5,10由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： 一是必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围以题试法3假设 ，满足1 1，1 2 3，试求 3的取值范围解： 设 3 x( )y( 2 )(xy) (x2y) . 则xy1，x2y3，解得x 1，y2.1( )1,22( 2 ) 6，两式相加，得1 3 7. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页 3的取值范围为 1,7 第二节一元二次不等式及其解法知识能否忆起 一元二次不等式的解集二次函数yax2bxc 的图象、一元二次方程ax2bx c0 的根与一元二次不等式ax2bxc0 与 ax2bxc0 0 0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根xx1或 xx2有两相同实根x x1无实根一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0) x|xx2 x|xx1 Rax2bxc0) x|x1xx2?假设 a0 的解集为 (， )，则实数 a的取值范围是 _；假设关于x 的不等式x2axa 3 的解集不是空集，则实数a的取值范围是 _解析： 由 10，即 a24( a)0，得 4a0，a0，则 xy 的值 () A大于 0B等于 0 C小于 0 D不确定解析： 选 A由 a0 知 y0，所以 x0.故 xy0. 4.121_31(填“ ”或“”)解析：12 12131. 答案： b，则 ac2bc2；假设ac2bc2，则 ab；假设 ab，则 a 2cb 2c. 其中正确的选项是_(请把正确命题的序号都填上)解析： 假设 c0 则命题不成立正确中由2c0 知成立答案： 4假设 x y, ab，则在 axb y， axby， axby， xbya，aybx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_解析： 令 x 2，y 3，a3，b 2，符合题设条件xy，ab， ax3(2)5，by2(3) 5， axby，因此不成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页又ax 6， by 6，axby，因此也不正确又ay33 1，bx22 1，aybx，因此不正确由不等式的性质可推出成立答案 ：小题能否全取 1(教材习题改编)不等式 x(12x)0 的解集是 () A.，12B.0，12C(， 0)12，D.12，答案： B 2不等式9x26x1 0 的解集是 () A. x x13B.13C. x13x13DR答案： B3(2011 福建高考 )假设关于x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数 m的取值范围是 () A(1,1) B(2,2) C(， 2) (2， ) D(， 1)(1， ) 解析： 选 C由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 0，即 m240，解得 m 2 或 m2. 4(2012 天津高考 )已知集合A xR|x2|3 ，集合 BxR|(xm)(x2)0 ，且AB(1，n)，则 m_， n_. 解析： 因为 |x2|3，即 5x1，所以 A(5,1)，又 A B?，所以 m1，B (m,2)，由 AB(1，n)得 m 1，n 1. 答案： 11 5不等式1x11 的解集为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页解析： 由1x11 得 11x10，即x2x10，解得 x1，或 x2. 答案： x|x1，或 x2 1(2012 重庆高考 )不等式x1x20 的解集为 () A(1， )B(， 2) C(2,1) D(， 2)(1， ) 解析： 选 C原不等式化为 (x1)(x2) 0，解得 2x1，故原不等式的解集为(2,1)2(2013 湘潭月考 )不等式4x2x2 的解集是 () A(， 0 (2,4 B0,2)4， ) C2,4) D(， 2(4， ) 解析： 选 B当 x 20 即 x2 时，原不等式等价于(x 2)24，解得 x4. 当 x2 0 即 x2 时，原不等式等价于(x2)24，解得 0 x 2. 3 关于 x 的不等式 x2(a1)x a0 的解集中，恰有 3 个整数，则 a 的取值范围是() A(4,5) B(3， 2)(4,5) C(4,5 D3， 2)(4,5 解析： 选 D原不等式可能为(x1)(xa)0，当 a1 时得 1xa，此时解集中的整数为 2,3,4，则 4 a5，当 a1 时得 ax1，则 3 a 2，故 a3， 2)(4,5 4假设 (m1)x2(m1)x3(m1)0 对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是() A(1， )B(， 1) C.，1311D.，1311 (1， ) 解析： 选 C m 1 时，不等式为2x60，即 x3，不合题意m1 时，m 10， 0，解得 m1311. 6(2012 长沙模拟 )已知二次函数f(x)ax2(a2)x1(aZ)，且函数f(x)在(2，1)上恰有一个零点，则不等式f(x)1 的解集为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页A(， 1)(0， )B(， 0)(1， ) C(1,0) D(0,1) 解析： 选 C f(x)ax2(a2)x1， (a 2)24aa240，函数 f(x)ax2(a2)x1 必有两个不同的零点，又 f(x)在(2， 1)上有一个零点，则f(2)f(1)0，(6a5)(2a3)0，解得32a56. 又 aZ， a 1. 不等式 f(x)1，即 x2x0，解得 1x0. 7假设不等式k3x31 的解集为 x|1x 3，则实数k_. 解析 ：k3x31，得 1k3x3 0，即xkx30， (xk)(x 3)0，由题意得k1. 答案 ：1 8不等式 x22x3 a22a1 在 R 上的解集是 ?，则实数 a 的取值范围是_解析： 原不等式即x22xa22a40，在 R 上解集为 ?， 44(a22a4) 0，即 a22a30，解得 1a 3. 答案 ：(1,3) 9(2012 陕西师大附中模拟)假设函数f(x)x5， x3，2xm，x3，且 f(f(3)6，则 m 的取值范围为 _解析： 由已知得f(3)6 m，当 m3 时， 6m3，则 f(f(3)2(6m)m123m6，解得 m2；当 m3 时， 6m3，则 f(f(3)6m5 6，解得 3m 5.综上知， m2 或 3m5. 答案 ：(， 2)(3,5) 10解以下不等式：(1)8x116x2；(2)x22ax3a20(a0)解： (1)原不等式转化为16x28x1 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页即(4x1)20，则 xR，故原不等式的解集为R. (2)原不等式转化为(xa)(x3a)0， a0， 3a a，得 3ax a. 故原不等式的解集为x|3ax a11一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p 1602x，生产 x 件的成本R50030 x(元)(1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300 元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解： (1)由题意知，月利润ypxR，即 y(1602x)x(50030 x) 2x2 130 x500. 由月利润不少于1 300 元，得 2x2130 x5001 300. 即 x265x9000，解得 20 x45. 故该厂月产量在2045 件时，月利润不少于1 300 元(2)由 (1)得， y 2x2130 x500 2 x65223 2252，由题意知， x 为正整数故当 x32 或 33 时， y 最大为 1 612. 所以当月产量为32 或 33 件时，可获最大利润，最大利润为1 612 元12设二次函数f(x) ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为m， n(mn)(1)假设 m 1，n2，求不等式F(x)0 的解集；(2)假设 a0，且 0 xmn1a，比较 f(x)与 m 的大小解： 由题意知， F(x)f(x)xa(xm) (xn)，当 m 1，n 2 时，不等式F(x)0，即 a(x 1)(x 2)0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页当 a0 时，不等式F(x)0 的解集为 x|x 1，或 x2；当 a0 时，不等式F(x)0 的解集为 x|1 x2(2)f(x) ma(xm)(x n) xm(xm)(axan1)， a0，且 0 xm n1a， xm0,1 anax0. f(x)m0，即 f(x)m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页