2022年高中数学必修知识点归纳 .pdf

必修 2 知识点归纳第一章空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体常见的 多面体 有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（ 1） （2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（ 3） （4）物体表示的几何体。棱柱 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：正视图 ：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图 ：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图 ：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的 正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”， “高平齐”， “宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形 . 3、斜二测画法的基本步骤：建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）建立斜坐标系xO y， 使xOy=450（或 1350） ， 注意它们确定的平面表示水平平面；画对应图形 ，在已知图形平行于X轴的线段， 在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段， 在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的2 2倍，即22SS原图直观4、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积 ；lrS2侧面圆锥侧面积：lrS侧面圆台侧面积：lRlrS侧面体积公式：hSV柱体；hSV31锥体；13Vh SSSS下下台体上上球的表面积和体积：32344RVRS球球，. 一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。,Al BllAB公理 1 的作用：判断直线是否在平面内2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。若 A，B，C不共线，则A，B，C确定平面推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面若Al，则点 A和l确定平面推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面若mnA，则,m n确定平面推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面若mn，则,m n确定平面公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。,PPlPl且公理 3 作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。4、 公理 4： 也叫平行公理， 平行于同一条直线的两条直线平行.,ab cbac公理 4 作用：证明两直线平行。5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,1212aa bb且与方向相同,1212 180a a b b且与方向相反作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系：平行、相交、异面。,ababAa b异面（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；a（2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；a（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；aA8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行： （即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）/abaab证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，S侧2 r? lAB=2 rrrllABAL ? l(注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径 .提醒圆心角为弧度角，例如 603弧度，454弧度， 902弧度等等 )圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积 S扇形12弧长半径的长图中：扇形的半径长为l，圆心角为 ，弧ABlllhrBVO2O1hlrRd= R2-r2RrdO1O简单组合体lBABAClAlmAmnP Labbaba方向相反则 1+ 2 180 方向相同则 1 22121ab(1)a(2)a(3)aAbaA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页那么 这条直线和它们的交线平行；aaabb平行线的传递性：,ab cbac面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；aabb垂直于同一平面的两直线平行；aabb直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的）10、面面平行： （即两平面无任何公共点）（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。,ababAab判定定理的推论：一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行,a babAaa b ba b（2）两平面平行的性质：性质：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；aabb性质：平行于同一平面的两平面平行；性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；,A CACBDB DABCD性质：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；aaaa或11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,lmlnlmnAm n性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。aabb性质：垂直于同一直线的两平面平行ll12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。ll（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。mlllm证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”， “线斜垂”）利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。空间角及空间距离的计算1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图： PA 是平面的一条斜线， A为斜足， O为垂足， OA叫斜线 PA在平面上射影，PAO为线面角 。3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：明确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、 “二证”、 “三计算”）4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图： O为 P在平面上的射影，线段 OP的长度为点P到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC中有：SABCA SBCBSACC SABVVVV第三章直线与方程1. 直线方程的概念：一条直线l与一个二元一次方程( , )0F x yAx By C有如下两个对应：-,lOAOBlOAl OBlAOB如图：在二面角中， O 棱上一点，的平面角。且则为二面角a斜影线POA,POOAPAaPAaaOA图线线线如：是在平面上的射影 又直且即：影垂直斜垂直，反之也成立。ab如图：直线 a与b异面， b/b，直线 a与直线 b 的夹角为两异面直线与 所成的角，异面直线所成角取值范围是（0 ，90 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页直线l上任意一点的坐标( ,)x y都满足方程( , )0F x yAx By C；以方程( , )0F x yAxBy C的解为坐标的点( ,)x y都在直线l上。则称方程( , )0F x yAx By C为直线l的方程 ，直线l为方程的直线。2. 直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。3. 直线倾斜角的范围：0180，当直线与x轴平行或者是重合时，倾斜角为04. 直线斜率的定义：倾斜角不为90直线， 倾斜角的正切值叫直线的斜率。记作tan(90 )k当倾斜角为90时直线的斜率不存在。5、直线 l 过点111222(,),(,)P xyP xy，则直线的斜率为：211221()yykxxxx6、直线方程的表示形式：点斜式 ：00yykxx，当斜率不存在 时，直线与x轴垂直，倾斜角为90，此时直线方程为：0 xx，如右图，特 别地y轴所在直线方程为0 x。当直线斜率0k时，直线与x轴平行或者是重合直线方程为：0yy，x轴所在的直线方程为0y。斜截式：bkxy（b为直线在y轴上的 截距 ）当直线过y轴上一定点(0, )b时，通常设直线方程为：ykxb，例如直线l过定点(0, 2)，设:2lykx。当直线过x轴上一定点（,0a）时， ，通常设直线方程为：xmya，例如直线l过定点(2, 0)，设:2lxmy两点式 ：112121yyxxyyxx截距式 ：1(0,0)xyabab，一般地，问题中出现两个截距 时，通常设直线方程为1(0,0)xyabab。方程中,a b分别表示直线的 横截距和纵截距，一般地，在直线方程中，令0y可求得横截距a，令0 x可求得纵截距b一般式 ：0AxByC22(0)AB，所有直线方程都可化为一般式。当0B，直线的 斜率ABk，当0B时，直线 斜率不存在 ，方程可化为CAx7、两直线的位置关系的判定：当两直线倾斜角相等时，即时，两直线 平行 ；当两直线倾斜角满足|90时，两直线 垂直 ；当两直线倾斜角不相当时，两直线相交 。对于直线111222:,:lyk xblyk xb有：121212/ /kkllbb；1l和2l相交12kk；1l和2l重合1212kkbb；12121llk k. 对于直线11112222:0,:0lA xB yClA xB yC有：1221121221/ /A BA BllB CB C； （2）1l和2l相交1221A BA B；1l和2l重合12211221A BA BB CB C；1212120llA AB B. 8、交点与距离公式（1） 两直线11112222:0,:0lA xB yClA xB yC的交点坐标需将两直线方程组成方程组求解，即：11122200A xB yCA xB yC当有唯一解时， 两直线相交； 当无解时， 两直线平行； 当有无数个解时，两直线重合 。（2）过两直线11112222:0,:0lA xB yClA xB yC交点的 直线系方程 为：111222()0A xB yCA xB yC将含有一个参数的直线方程化为直线系方程的样式就可解决直线恒过定点问题 。（3）两点间距离公式：22122121PPxxyy（4）点000(,)P xy到直线:0lAxByc距离公式：0022AxByCdAB（5）两平行线间的距离公式：对于直线1122:0,:0lA xB yClA xB yC，1l与2l间的距离为：2122|CCdAB（6）线段中点坐标公式：121222xxxyyy，1122(,), (,)A xyB xy，( , )M x y是线段 AB的中点。第四章圆与方程1、圆的第一定义：到定点的距离等于定长的点的集合.( , ) |PM x yMOr圆的第二定义：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合。2、圆的标准方程：222xaybr，圆心为( , )a b，半径为r。3、圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF。圆心为(,)22DE，半径22142rDEF。当2240DEF时，方程220 xyDxEyF表示点(,)22DE当2240DEF时，方程220 xyDxEyF不表示任何图形。4、点000(,)Pxy与圆222xaybr的位置关系的判定：（1）当000(,)P xy满足22200 xaybr时点 P在圆上；（2）当000(,)P xy满足22200 xaybr时点 P在圆内；（3）当000(,)P xy满足22200 xaybr时点 P在圆外；5、求圆方程的方法，主要有两种：（1）待定系数法 ：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：根据提设，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于a、b、r 或 D、E、F 的方程组；解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。（2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标；三角形 外心 的定义：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；垂径定理 ：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必经过圆心，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写出圆的标准方程。6、直线与圆的位置关系的判定：几何法 （1）相切 ：圆心到直线的距离dr；（2）相交 ：圆心到直线的距离dr；（3）相离 ：圆心到直线的距离dr。相切： d=r圆C:（x-a)2+(y-b)2=r2d=|Ax0+By0+C|A2+B2l:Ax+By+C=0rdC(a,b)相切： dr圆C:（x-a)2+(y-b)2=r2d=|Ax0+By0+C|A2+B2l:Ax+By+C=0rdC(a,b)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页代数法 ：将直线方程与圆的方程联立组成方程组220ykxbxyDxEyF（1）若方程有 唯一 一个解， 直与圆相切 ；（2）若方程有唯 两个 不等实数个解， 直线与圆相交 ；（3） ）若方程有 无解 ，直线与圆相离。特别地，当直线l与圆C相离时，P为圆上的动点，| PH为点P到直线l的距离，设d为圆心到直线l的距离，则.min| ,max|rdPHrdPH线圆圆线圆线径来直与相切，求的切方程：一般用心到直的距离等于半求解2220020012()kkkxaybrxyxaxaybybr过圆外一点的切线：不存在，验证是否成立；存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离半径，求解，得到直线方程【一定有两解】过圆上一点的切线方程：圆，圆上一点为，则过此点的切线方程为注意解决直线与圆位置关系问题时，经常需要设定直线方程，设直线方程的技巧：若直线l过轴上的定点( ,0)a则可设直线:lxmya若直线过定点为(0,)b,则一般设直线:lykxb；若直线过点00(,)xy，则设直线00:()lyyk xx。7、两圆位置关系的判定：设圆心距12dC C几何法相离：dRr； 外切：dRr；相交：|RrdRr内切：|dRr；内含：|dRr. 代数法 ; 将两圆的方程组成方程组221112222200 xyD xE yFxyD xE yF（1）若方程有 一个 解，两圆 相切（内切或外切） ；（2）若方程有 两个 不同解， 两圆相交；（3）若方程有 无解 ，两 圆外离或内含特别地，方程222211122()0 xyD xE yFxyD xE yF表示过两圆交点的圆系方程。在这个方程组中221112222200 xyD xE yFxyD xE yF用消去平方项后得一个直线方程，该直线方程过两圆的交点，因此该直线方程也叫两圆的公共弦所在的直线方程。若圆心1C到公共弦的距离等于 半径1r，或者是圆心2C到公共弦的距离等于 半径2r，则两圆相切（外切或者内切） ；若圆心1C到公共弦的距离等于小于1r，或者是圆心2C到公共弦的距离小于 半径2r，则两圆相交 ；8、坐标法是解决几何问题的重要方法，其步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论9、 空间直角坐标系确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点:1. 空间直角坐标系：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox,Oy Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴 . 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面 . 请注意：在写空间中点的坐标遇到困难时，通常先写出该点在xOy平面上的射影点的的坐标，然后加上相应的竖坐标即可。2. 右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手 拇指 指向x轴的正方向， 食指 指向y轴的正方向，若 中指 指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3. 空间直角坐标系中的坐标：对于空间任一点M ，作出 M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的 射影 ，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把 有序实数组 (x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中 x 叫做点 M的横坐标 ，y 叫做点 M的纵坐标 ，z 叫做点 M的竖坐标 . 4. 坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x轴上的点的坐标的特点：( , 0, 0)P a，纵坐标和竖坐标都为零y轴上的点的坐标的特点：(0, 0)Pa，横坐标和竖坐标都为零z轴上的点的坐标的特点：(0, 0,)Pa，横坐标和纵坐标都为零xOy坐标平面内的点的特点：( , ,0)P a b） ，竖坐标为零xOz坐标平面内的点的特点：( ,0,)P ab，纵坐标为零yOz坐标平面内的点的特点：(0, )Pa b，横坐标为零211212111222,(),)222,zzxxyyA xB xy zy z（）点标设则线点标为5.中坐公式 ：段AB 的中坐( 6 、空间中两点间距离公式：22212212121PPxxyyzz相离 :无共点，圆心距C1C2r1+r2r2r1圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2C1外切 :有一个公共点，圆心距 C1C2 r1+r2r2r1圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2C1相交 :有两个公共点，圆心距|r1-r2| C1C2 r1+r2r2r1圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0C2C1如图：边长为2 的正方体各顶点坐标分别为：(0, 0, 0)D(2, 0, 0)A(2, 2, 0)B(0, 2, 0)C( 2, 0, 2)1A( 2, 2, 2)1B( 0, 2, 2)1C( 0, 0, 2)1D精选学习资料 - 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