2022年高中数学椭圆的知识总结 3.pdf
高中数学椭圆知识总结一、选择题1(09浙江 )已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P，若AP2PB，则椭圆的离心率是( ) A.32B.22C.13D.12 答案 D 解析 由题意知：F( c,0) ，A(a,0) BFx轴，APPBac. 又AP2PB，ac2，eca12. 故选 D. 2已知P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点， 若PF1PF20，tan PF1F212，则椭圆的离心率为( ) A.12 B.23 C.13 D.53 答案 D 解析 由PF1PF2 0 知F1PF2为直角，设|PF1| x，由 tan PF1F212知， |PF2| 2x，a32x，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得c52x，eca53. 3( 文)( 北京西城区 )已知圆 (x2)2y236 的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0) ，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( ) A圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 答案 B 解析 点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA| |PN| ，又AM是圆的半径，|PM| |PN| |PM| |PA| |AM| 6|MN| ，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆( 理)( 浙江台州 ) 已知点M(3，0) ，椭圆x24y21 与直线yk(x3) 交于点A、B，则ABM的周长为( ) A4 B 8 C 12 D16 答案 B 解析 直线yk(x3) 过定点N( 3，0) ，而M、N恰为椭圆x24y21 的两个焦点，由椭圆定义知ABM的周长为4a42 8. 4已知椭圆x2a2y2b21(ab0) 与双曲线x2m2y2n21(m0，n0) 有相同的焦点( c，0) 和(c,0)(c0)若c是a、m的等比中项，n2是 2m2与c2的等差中项， 则椭圆的离心率是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页A.33B.22C.14D.12 答案 D 解析 由题意得c2am(1)2n22m2c2(2)c2m2n2(3)，由 (2)(3)可得mc2，代入 (1) 得椭圆的离心率eca12. 故选 D. 5( 文) 椭圆x2100y2641 的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足F1PF260，则F1PF2的面积是( ) A.6433B.9133C.1633D.643 答案 A 解析 由余弦定理：|PF1|2|PF2|22|PF1| |PF2| cos60 |F1F2|2. 又|PF1| |PF2| 20，代入化简得|PF1| |PF2| 2563，SF1PF212|PF1| |PF2| sin60 6433. ( 理) 已知F是椭圆x225y291 的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则ABF的面积最大值为( ) A6 B15 C20 D12 答案 D 解析 S12|OF| |y1y2| 12|OF| 2b12. 6(2 010山东济南 ) 设F1、F2分别为椭圆x2a2y2b21 的左、右焦点，ca2b2，若直线xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.0，22B.33，1C.22，1D. 0，33 答案 B 解析 直线xa2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过F2，|F1F2| |PF2| ，设直线xa2c与x轴交于Q点，则易知 |PF2| |QF2| ，即 |F1F2| |QF2| ，2ca2cc，ca2b20，3c2a2，即e213，e33，33eb0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以 |OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页A.32B.12C.22D.31 答案 D 解析 连结AF1，由圆的性质知，F1AF290，又F2AB是等边三角形， AF2F130，AF1c，AF23c， eca2c2a2cc3c31. 故选 D. 8( 文)( 辽宁沈阳 ) 过椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.14，49B.23，1C.12，23D. 0，12 答案 C 解析 点B的横坐标是c，故B的坐标c，b2a，已知k13，12，B c，b2a. 斜率kb2acab2aca2a2c2aca21e2e1. 由13k12，解得12ec0) 静放在点A的小球 ( 小球的半径不计) ，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是( ) A2(ac) B2(ac) C4aD 以上答案均有可能 答案 D 解析 如图所示，本题应分三种情况讨论：当光线沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是 2(ac) ；当光线沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(ac ) ；在其它情况下，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a. 故选 D. 9( 杭州五校 )椭圆x2my21 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页A.14B.12C 2 D4 答案 A 解析 由题意y21mx21，且1m2，m14. 故选 A. 10(宁波余姚 ) 如果AB是椭圆x2a2y2b21 的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kABkOM的值为( ) Ae1 B 1e C e2 1 D 1e2 答案 C 解析 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，中点M(x0，y0) ，由点差法，x21a2y21b21，x22a2y22b21，作差得(x1x2)(x1x2)a2(y2y1)(y2y1)b2，kABkOMy2y1x2x1y1y2x1x2b2a2c2a2a2e21. 故选 C. 二、填空题11(文) 已知F1、F2为椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且F1MF260，则椭圆的离心率为_ 答案 33 解析 令xc，c2a2y2b21. yb2a. |F1M| b2a. F1MF260，|MF2| 2|MF1| 2b2a. 又|MF1| |MF2| 2a，3b2a2a. a23c2. e213，0eb0) 的焦距为2c. 以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点Pa2c，0 作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_ 答案 22 解析 设切点为Q、B，如图所示切线QP、PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以OPQ为等腰直角三角形，可得2aa2c，eca22. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页12在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A( 4,0) 和C(4,0) ，顶点B在椭圆x225y291 上，则sinAsinCsinB_. 答案 54 解析 x225y29 1 的焦点是A( 4,0) 、C(4,0)， 点B在椭圆上， BABC2a10，AC8，由正弦定理得sinAsinCsinBBCABAC54. 13设椭圆x225y2161 上一点P到右准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足OM12(OPOF) ，则 |OM| _. 答案 3 解析 设右焦点F，由定义 |PF| |PF| 10，|PF|10e35，|PF| 6，OM12(OPOF) ，M为PF的中点，|OM| 12|PF| 3. 14若右顶点为A的椭圆x2a2y2b21(ab0)上存在点P(x，y) ，使得OPPA 0，则椭圆离心率的范围是_ 答案 22e1 解析 在椭圆x2a2y2a21 上存在点P，使OPPA 0，即以OA为直径的圆与椭圆有异于A的公共点以OA为直径的圆的方程为x2axy20 与椭圆方程b2x2a2y2a2b2联立消去y得(a2b2)x2a3xa2b20，将a2b2c2代入化为 (xa)(c2xab2) 0，xa，xab2c2，由题设ab2c2a，a2c2c222，0e1，22e0，只能x32，于是y523. 点P的坐标是32，523 . (2) 直线AP的方程是x3y60，设点M的坐标为 (m,0) ，则M到直线AP的距离是|m 6|2，于是|m 6|2|m6| ，又 6m6，解得m2. 设椭圆上的点(x，y) 到点M的距离为dd2(x2)2y249x92215，6x6，当x92时，d取最小值15. ( 理) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3，最小值为1. (1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若直线l：ykxm与椭圆C相交于A、B两点 (A、B不是左右顶点 ) ，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 解析 (1) 设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0) ，由已知得：ac3，ac1，a2，c1，b2a2c23. 椭圆的标准方程为x24y231. (2) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，由ykxmx24y231得，(3 4k2)x28mkx4(m2 3) 0，64m2k216(3 4k2)(m23)0 即 34k2m20 x1x28mk3 4k2，x1x24(m23)34k2，又y1y2(kx1m)(kx2m) k2x1x2mk(x1x2) m23(m24k2)3 4k2，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0) ，kADkBD 1，即y1x12y2x22 1. y1y2x1x22(x1x2) 40. 3(m24k2)3 4k24(m23)34k216mk34k24 0. 7m216mk4k20. 解得m1 2k，m22k7，且均满足34k2m20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页当m1 2k时，l的方程为yk(x2) ，直线过定点(2,0) ，与已知矛盾；当m22k7时，l的方程为yk x27，直线过定点27，0 . 所以，直线l过定点，定点坐标为27，0 . 16( 文) 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，求该椭圆的方程 解析 若椭圆的焦点在x轴上，则设方程为x2a2y2b21(ab0)，两焦点F1( c,0) 、F2(c,0) ，短轴的一个端点为B(0，b) ，长轴的一个端点为A(a,0)(ca2b2) 由BF1F2为正三角形知，|BF1| |BF2| |F1F2| ，所以a2c. 又焦点到椭圆上的点的最短距离为ac3. 由a2c，ac3.解得a23，c3，b3. 椭圆方程为x212y291. 同理，若椭圆的焦点在y轴上，椭圆方程为y212x291. 点评 (1) 上述求解中，利用了结论：焦点到椭圆上的点的最短距离为ac. 这是因为设P(x，y) 是椭圆上任一点，则x a，a ，所以 |PF2|2(xc)2y2 (xc)2(b2b2a2x2) c2a2(a2cx)2c2a2(a2ca)2 (ac)2，即|PF2| ac，于是 |PF2|minac. (2) 此结论还可以用焦半径证明如下：椭圆焦点F，椭圆上任一点P(x0，y0) ，离心率e，则 |PF| aex0( 左焦点取“”号，右焦点取“”号) ax0a，ac|PF| ac. 还可以用椭圆的参数方程证明从略( 理) 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0 ， 1) ，且其右焦点到直线xy220 的距离为3. (1) 求椭圆方程；(2) 是否存在斜率为k(k0)，且过定点Q(0，32) 的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且 |BM| |BN| ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 解析 (1) 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，则b1. 令右焦点F(c,0)(c0) ，则由条件得3|c022|2，得c2. 那么a2b2c23，椭圆方程为x23y21. (2) 假设存在直线l：ykx32(k0)，与椭圆x23y21 联立，消去y得(1 3k2)x29kx1540，由 (9k)24(1 3k2) 1540，得k2512；设M(x1，y1) ，N(x2，y2) ，MN的中点P(x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页y0) ，由|BM| |BN| ，则有BPMN，由韦达定理代入kBP1k，可求得k223. 满足条件k2512，所以所求直线存在，其方程为y63x32. 17(文 ) 已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3. (1) 求椭圆C的方程；(2) 设直线l与椭圆C交于A、B两点， 坐标原点O到直线l的距离为32，求AOB面积的最大值 解析 (1) 设椭圆的半焦距为c，依题意ca63a3，c2，b1，所求椭圆方程为x23y21. (2) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，当ABx轴时， |AB| 3，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm. 由已知|m|1k232，得m234(k21)，把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230. x1x26km3k21，x1x23(m21)3k21. k0，|AB|2(1 k2)(x2x1)2(1 k2)36k2m2(3k21)212(m2 1)3k2112(k21)(3k21m2)(3k21)23(k21)(9k2 1)(3k21)2312k29k46k213129k21k2631223 64. 当且仅当 9k21k2即k33时等号成立当k0 时， |AB| 3，综上所述 |AB|max2. 当 |AB| 最大时，AOB面积取最大值，S12|AB|max3232. ( 理) 如图，在椭圆C中，点F1是左焦点，A(a,0)，B(0 ，b) 分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心又点P在椭圆上，且OPAB，点H是点P在x轴上的射影(1) 求证：当a取定值时，点H必为定点；(2) 如果点H落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆的离心率的取值范围；(3) 如果以OP为直径的圆与直线AB相切， 且凸四边形ABPH的面积等于32，求椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页的方程 解析 (1) 证明：由kABba，OPAB得，lOP：ybax，代入椭圆方程x2a2y2b21 得，x2a22，P22a，22b或P22a，22b. PHx轴，H22a，0 或H22a， 0 . a为定值，H为定点(2) 点H落在左顶点与左焦点之间，a22ac，0e22. (3) 以OP为直径的圆与直线AB相切等价于点O到直线AB的距离等于12|OP|. 由条件设直线AB：xayb1，则点O到直线AB的距离daba2b2，|OP| 2a22b22，aba2b22a22b24，a2b222ab. S四边形ABPHSABOS四边形OBPH12ab1222bb22a324ab32，ab4，由解得a24(21) ，b24(2 1) ，所以所求椭圆方程为x24(21)y24(21)1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
