2022版高考数学一轮复习课后限时集训34平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析.doc

课后限时集训(三十四)平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：40分钟一、选择题1(2018·全国卷)已知向量a，b满足|a|1，a·b1，则a·(2ab)()A4 B3 C2 D0Ba·(2ab)2a2a·b2(1)3，故选B.2已知平面向量a(2,3)，b(1,2)，向量ab与b垂直，则实数的值为()A B C DDa(2,3)，b(1,2)，ab(21,32)ab与b垂直， (ab)·b0，(21,32)·(1,2)0，即21640，解得.3(多选)已知向量a(1，1)，b(2，x)，设a与b的夹角为，则()A若ab，则x2B若x1，则|ba|C若x1，则a与b的夹角为60°D若a2b与a垂直，则x3ABD由ab可得x2，故A正确；若x1，则b(2,1)，|ba|(2,1)(1，1)|，故B正确；当x1时，cosa，b，故C错误；a2b(5，12x)，由5(1)(12x)0，解得x3，故D正确4(2020·武汉模拟)已知向量|a|，向量a与b夹角为，且a·b1，则|ab|()A B2 C D4A由平面向量数量积的定义可知，a·b|a|·|b|·cos ·|b|·1，|b|1，|ab|.故选A.5若O为ABC所在平面内任意一点，且满足()·(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形A()·(2)0，·()()·()0.设D为边BC的中点，则2，即·0.由此可得在ABC中，BC与BC边上的中线垂直，ABC为等腰三角形故选A.6(多选)在RtABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A|2·B|2·C|2·D|2ABD因为·|cos A|，由射影定理可得|2·，选项A正确；因为·|cos B|，由射影定理可得|2·，选项B正确；由·|cos (ACD)<0，|2>0，知选项C错误；由题图可知RtACDRtABC，所以|，结合选项A，B可得|2，选项D正确故选ABD.二、填空题7(2020·全国卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，kab与a垂直，则k_.由题意，得a·b|a|·|b|cos 45°.因为向量kab与a垂直，所以(kab)·aka2a·bk0，解得k.8已知平面向量a，b满足|a|1，|b|2，|ab|，则a在b方向上的投影等于_|a|1，|b|2，|ab|，(ab)2|a|2|b|22a·b52a·b3，a·b1，a在b方向上的投影为.9(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a，b，|a|，|b|2，且(ab)a，则向量a和b的夹角是_，a·(ab)_.6设向量a，b的夹角为，因为|a|，|b|2，且(ab)a，所以(ab)·a|a|2a·b|a|2|a|b|cos 32·cos 0，解得cos .又0，所以，所以a·(ab)|a|2|a|·|b|·cos 32×6.三、解答题10已知向量a(1，1)，b(sin ，cos )，0.(1)若向量ab，求的值；(2)若向量a·b，求.解(1)a(1，1)，b(sin ，cos )，当ab时，1×cos (1)×sin ，即cos sin .(0，)， .(2)a(1，1)，b(sin ，cos )，当a·b时，1×sin (1)×cos ，可得sin cos (sin cos )212sin cos ，sin cos .sin (sin cos )×sin cos .11(2020·徐州模拟)已知向量m(cos x，sin x)，n(sin x，sin x)，函数f(x)m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，f ，求sin 的值解向量m(cos x，sin x)，n(sin x，sin x)，函数f(x)m·nsin xcos xsin2xsin.(1)T.(2)f sinsin，cos.sin sinsincos cossin ××.1(多选)在ABC中，c，a，b，则下列说法正确的是()A若a·b>0，则ABC为锐角三角形B若a·b0，则ABC为直角三角形C若a·bc·b，则ABC为等腰三角形D若(acb)·(abc)0，则ABC为直角三角形BCD在ABC中，c，a，b.若a·b>0，则BCA是钝角，ABC是钝角三角形，A错误；若a·b0，则，ABC为直角三角形，B正确；若a·bc·b，则b·(ac)0，即·()0，·()0，取AC的中点D，则·0，所以BABC，即ABC为等腰三角形，C正确；若(acb)·(abc)0，则a2(cb)2，即b2c2a22b·c，即cos A，由余弦定理可得cos Acos A，即cos A0，即A，故ABC为直角三角形，D正确故选BCD.2(2020·广州模拟)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|80 N，则G的大小为_，F2的大小为_160 N80 N根据题意，F1F2G，如图所示：CAO90°，AOC30° ，AC80，OC160，OA80，G的大小为160 N，F2的大小为80 N3已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)若kab与akb的模相等，求的值(其中k为非零实数)解(1)a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，|a|1，同理|b|1.(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2110，因此，向量ab与ab垂直；(2)a·bcos cos sin sin cos()，|kab|akb|，|kab|2|akb|2，则k2a22ka·bb2a22ka·bk2b2，即k22ka·b112ka·bk2，整理得a·bcos()0，0，则0，0，所以，0，.1.如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，2，则·的最小值为_52法一：(几何法)设圆心为O，AB中点为D.由题意得AB2×2×sin 2，所以AC3.取AC中点M，连接PM，由题意得两式平方后相减得·222.要使·最小，就要使PM最小连接OM，OD(图略)，易知当圆弧AB的圆心与点P，M共线时，PM最小此时DM，所以OM，所以PM的最小值为2，代入求得·的最小值为52.法二：(坐标法)如图，设圆弧AB所在圆的圆心为O，则以O为坐标原点，过点O与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系连接OA，由已知得OA2，则A(1，)，B(1，)，圆O的方程为x2y24.连接OC，由2得BC1，故C(2，)，所以OC.设P(x，y)，则由题意可得1x1.易得(1x，y)，(2x，y)所以·(1x)(2x)(y)2x2y2(x2y)15(x2y)不妨设，则·5(2cos 2×2sin )52(cos 2sin )52sin().因为sin()的最大值为1，所以·的最小值为52.2已知O为ABC的外心，以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.(1)若a，b，c，h，试用a，b，c表示h；(2)证明：；(3)若ABC的A60°，B45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|. 解(1) 由平行四边形法则可得：，即habc.(2)O是ABC的外心，|，即|a|b|c|，而habc，cb，·(bc)·(cb)|c|2|b|20，.(3)在ABC中，O为ABC的外心，A60°，B45°，BOC120°，AOC90°，于是AOB150°，|h|2|abc|2a2b2c22a·b2b·c2c·a3R22|a|·|b|·cos 150°2|b|·|c|·cos 120°2|c|·|a|·cos 90°(2)R2，|h|.