2021-2022年收藏的精品资料高考微点九 空间位置关系与空间向量.doc

高考微点九空间位置关系与空间向量牢记概念公式，避免卡壳1.空间两直线的位置关系(1)相交；(2)平行；(3)异面(不同在任何一个平面内).2.空间平行关系的判定(1)线线平行：线面平行性质；面面平行性质；公理4；线面垂直性质.(2)线面平行：判定定理；面面平行性质.(3)面面平行：判定定理；线面垂直性质；面面平行传递性.3.空间垂直关系的判定(1)线面垂直：判定定理；面面垂直性质；ab，且ab.(2)面面垂直：判定定理；面面垂直定义.4.空间向量的模与夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)|a|，|b|.(2)cosa，b.活用结论规律，快速抢分1.用平移法求异面直线所成角的一般步骤(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角转化为求一个三角形的内角；(3)结论设由(2)求出的角的大小为，若0°<90°，则即为所求，若90°<<180°，则180°即为所求.2.向量法求空间角(1)直线l1，l2夹角有cos |cosl1，l2|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).(2)直线l与平面的夹角有sin |cosl，n|(其中l是直线l的方向向量，n是平面的法向量).(3)若cos |cosn1，n2|，则l二面角的平面角为或(其中n1，n2分别是平面，的法向量).高效微点训练，完美升级1.已知两条相交直线a，b，且a平面，则b与平面的位置关系是()A.相交或平行 B.平行C.b在平面内 D.平行或b在平面内解析结合长方体模型，易知b或b与相交.答案A2.(2019·郑州调研)已知直线m，n和平面，则使m成立的一个充分条件是()A.mn，n B.mn，nC.mn，n D.m，解析mn，nm，B项满足.答案B3.已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A.ABm B.ACmC.AB D.AC解析因为直线m，m，l，所以ml，所以ABm，ACm，选项A、B正确；根据线面平行的判定定理可得AB，选项C正确；当直线AC不在平面内时，尽管ACl，AC与平面可以平行，也可以相交(不垂直)，所以AC不一定成立.答案D4.如图所示，点P在正方形ABCD所在的平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A.90° B.60°C.45° D.30°解析将其放入正方体ABCDPQRS中，连接SC，AS，则PBSC，ACS(或其补角)是PB与AC所成的角.ACS为等边三角形，ACS60°，PB与AC所成的角是60°.答案B5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.AC平面ABB1A1C.AEB1C1D.A1C1平面AB1E解析对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AEBC，AECC1，且CC1BCC，所以AE平面CBB1C1，又B1C1平面CBB1C1，所以AEB1C1，C项正确.又ACA1C1，且AC平面AB1EA，A1C1与平面AB1E相交，D项错误.答案C6.在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高为.若点P是A1B1C1的中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角的大小是()A.30° B.45° C.60° D.120°解析如图，设底面正三角形ABC的边长为a，过点P作PO平面ABC，垂足为O，则点O为底面三角形ABC的中心，故PAO即为PA与平面ABC所成的角.因为OA×aa，高hOP.则V棱柱ABCA1B1C1a2×，解得a.tanPAO，所以PAO60°，即PA与平面ABC所成的角为60°.答案C7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是上底面A1B1C1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，则线段PQ的长的最小值为()A.1 B. C. D.解析由PQ平面AA1B1B知Q在过点P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知点Q在A1D1，B1C1中点的连线MN上，故PQ的最小值为PMAA11.答案A8.如图，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M，N分别是AB，CD的中点，且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN的长度为_.解析如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则PMBD，PNAC，PNAC4，PMBD3.MPN即为异面直线AC与BD所成的角，MPN90°，MN5.答案59.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可).解析连接AC，BD，则ACBD，因为PA底面ABCD，所以PABD.又PAACA，所以BD平面PAC，所以BDPC.所以当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，所以平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC)10.(2019·大连预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.所以(0，1，0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45°.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.答案45°11.如图，平面PAC平面ABC，ACBC，PEBC，M是AE的中点，N是PA上一点.(1)若N是PA的中点，求证：MN平面PAC；(2)若MN平面ABC，求证：N是PA的中点.证明(1)平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，ACBC，BC平面ABC，BC平面PAC.M是AE的中点，N是PA的中点，MNPE.又PEBC，MNBC，MN平面PAC.(2)设平面PAE平面ABCl.MN平面ABC，MN平面PAE，MNl.PEBC，BC平面ABC，PE平面ABC，PE平面ABC.又平面PAE平面ABCl，PE平面PAE，PEl，从而MNPE.在APE中，M是AE的中点，N是PA的中点.12.如图，在四棱锥EABCD中，ABCD，ABC90°，CD2AB2CE4，BCE120°，DE2.(1)证明：平面BCE平面CDE；(2)若BC4，求二面角EADB的余弦值.(1)证明ABCD，ABC90°，CDBC.由CD4，CE2，DE2，知CD2CE2DE2，则CDCE，又BCCEC，所以CD平面BCE，由于CD平面CDE，故平面BCE平面CDE.(2)解由(1)知，CD平面BCE，故以点C为坐标原点，分别以，的方向为x轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.所以A(4，0，2)，B(4，0，0)，E(1，0)，D(0，0，4).所以(4，0，2)，(5，2)，设平面ADE的法向量n(x，y，z)，则所以取x1，则y3，z2，所以n(1，3，2)为平面ADE的一个法向量，又平面ABD的一个法向量为m(0，1，0)，所以cosn，m，由图知二面角EADB为锐角，所以二面角EADB的余弦值为.13.(2019·湖北重点中学协作体联考)等边ABC的边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足(如图(1)，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB成直二面角，连接A1B，A1C(如图(2).(1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.(1)证明题图(1)中，由已知可得：AE2，AD1，A60°.从而DE.故得AD2DE2AE2，ADDE，BDDE.题图(2)中，A1DDE，BDDE，A1DB为二面角A1DEB的平面角， 又二面角A1DEB为直二面角，A1DB90°，即A1DDB，DEDBD且DE，DB平面BCED，A1D平面BCED.(2)解存在.由(1)知EDDB，A1D平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，过P作PHDE交BD于点H，设PB2a(02a3)，则BHa，PHa，DH2a，易知A1(0，0，1)，P(2a，a，0)，E(0，0)，所以(a2，a，1).因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0).因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，所以sin 60°，解得a.PB2a，满足02a3，符合题意.所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB.