学年高中数学第章指数函数和对数函数正整数指数函数学案北师大版必修.doc

§1正整数指数函数学 习 目 标核 心 素 养1.了解正整数指数函数模型的实际背景2了解正整数指数函数的概念(重点)3理解具体的指数函数的图像特征(重点)4会用正整数指数函数解决某些实际问题(难点)1.通过学习正整数指数函数的概念，提升数学抽象能力2通过利用正整数指数函数解决某些实际问题，培养数学运算素养.正整数指数函数的概念阅读教材P61P63整节有关内容，完成以下问题(1)一般地，函数yax(a>0，a1，xN)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N.(2)正整数指数函数的图像特点前面我们学习过的一次函数与二次函数，它们的图像是连续不间断的，而正整数指数函数的图像是在第一象限内的一群孤立的点(3)当0<a<1时，yax(xN)是减函数，当a>1时，yax(xN)是增函数思考：(1)y3×2x，xN是正整数指数函数吗？(2)比拟，的大小，你有什么发现？提示(1)不是.2x的系数是3，不是1.(2)>>，发现：y，xN是减函数1函数f(x) (xN)，那么f(2)()A. BC. DDf(2).2给出以下函数：yx；y4x；y()x；yx2，当xN时，是正整数指数函数的个数为()A1 B2C3 D4B只有不是正整数指数函数，应选B.3假设2x64，那么x_.6由2x64，得2x26，x6.4函数y2x，x1,2,3,4的值域是_2,4,8,16212,224,238,2416，故其值域为2,4,8,16正整数指数函数的定义【例1】(1)以下函数中是正整数指数函数的是()Ay10x1，(xN) By(2)x，(xN)Cy5·2x，(xN) Dyx，(xN)(2)函数y(a23a3)ax是正整数指数函数，那么a_.(1)D(2)2(1)A中y10x1的指数为x1，而不是x，故不是正整数指数函数；B中y(2)x的底数2<0，故不是正整数指数函数；C中y5·2x的系数为5，不是1，故不是正整数指数函数；D中y符合正整数指数函数的定义(2)由正整数指数函数定义知解得a2.1正整数指数函数解析式的根本特征：ax前面的系数必须是1，自变量xN，且x在指数的位置上，底数a是大于零且不等于1的常数2要注意正整数指数函数yax(a>0，a1，xN)与幂函数yx的区别1正整数指数函数的图像经过点，那么此函数的解析式为y_，定义域为_yxN把代入yax(a>0，且a1)，得a2，所以a，y，xN.正整数指数函数的图像与性质【例2】(1)画出函数y (xN)的图像，并说明函数的单调性；(2)画出函数y3x(xN)的图像，并说明函数的单调性思路探究使用描点法画图像，但因为函数的定义域是N，所以图像应是一些孤立的点，画图像时就没有“连线步骤了解(1)函数y (xN)的图像如图所示，从图像可知，函数y(xN)是单调递减的(2)函数y3x(xN)的图像如图所示，从图像可知，函数y3x(xN)是单调递增的1正整数指数函数是函数的一个特例，它的定义域是由一些正整数组成的集合，它的图像是由一些孤立的点组成的2当0<a<1时，yax(xN)是减函数；当a>1时，yax(xN)是增函数2(1)函数y，xN的图像是()A一条上升的曲线 B一条下降的曲线C一系列上升的点 D一系列下降的点(2)函数f(x)ax(a>0，a1，xN)在1,3上是增加的，且最大值与最小值的差为a，那么a_.(1)D(2)(1)由于xN且底数为，所以函数yx，xN的图像是一系列下降的点(2)因为f(x)在1,3上是增加的，所以a>1，所以f(x)minf(1)a，f(x)maxf(3)a3.所以a3aa，即a(a22)0.又因为a>0，且a1，所以a.正整数指数函数的应用探究问题1某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一直分裂下去，你能用列表法表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5时，得到的细胞个数吗？用图像表示呢？提示：分裂次数(n)12345细胞个数(y)24816322请你写出探究1中得到的细胞个数y与分裂次数n之间的函数关系式提示：细胞个数y与分裂次数n之间的关系式为y2n，nN.【例3】某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份t(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数解(1)1年后该城市的人口总数为x100100×1.2%100×(11.2%)(万人)，2年后该城市的人口总数为x100×(11.2%)100×(11.2%)×1.2%100×(11.2%)2(万人)，那么t年后该城市的人口总数为x100×(11.2%)t(万人)，tN.(2)10年后该城市的人口总数为x100×(11.2%)10100×1.01210(万人)1由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段2在实际问题中，对于平均增长率的问题，如果原来产值的根底数为N，平均增长率为p，那么对于时间x的总产值或总产量y，可以用公式yN(1p)x表示3日本福岛核电站爆炸中释放的碘­131不断衰变，每经过8天(周期)剩留的这种物质是原来的50%，写出这种物质的剩留量y随时间x(周期)变化的函数解析式解设这种物质最初的质量是1，经过x个周期，剩留量是y.经过1个周期，剩留量y1×50%0.51；经过2个周期，剩留量y(1×50%)×50%0.52；经过x个周期，剩留量y0.5x(xN)1正整数指数函数的特征(1)ax的系数为1；(2)底数a>0且a1；(3)指数为自变量x；(4)xN.2实际生活中与指数函数有关的函数模型(1)指数增长模型：在yN(1p)x型函数中N为原产值，p为平均增长率，y为总产值，x为时间(2)复利计算公式：ya(1r)x(a为本金，r为每期利率，x为期数，y为本利和)，我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计算.1思考辨析(1)假设yax为正整数指数函数，那么a为大于零且不等于1的常数，xN.()(2)正整数指数函数的图像只能是第一象限内的一些孤立点()(3)正整数指数函数的图像与直线xT(T为常数且T>0)最多只有一个交点()(4)指数型函数ykax(kR，a>0，且a1)，当k1且xN时即为正整数指数函数()答案(1)(2)(3)(4)2经过点(2,9)的正整数指数函数的解析式为_y3x，xN设yax，xN，那么a29，又a>0且a1，那么a3.所以，y3x，xN.3假设Ay|y2x，xN，Bx|xR，且x100，那么AB_.2,4,8,16,32,64由2x100，得x6，又xN，那么x1,2,3,4,5,6，所以，AB2,4,8,16,32,644画出函数y，xN的图像，并说明函数的单调性解函数y，xN的图像如下图由图像可知，y，xN是单调递减的