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第 15 卷第 2 期数 学 教 育 学 报Vol.15, No.22006 年 5 月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONMay, 2006示意图提示条件下小学生数学问题解决的研究徐速（温州大学，浙江 温州 325015）摘要：学生对示意图提示条件普遍持肯定态度；学校教学水平影响学生非视觉化题目上的态度反应，而不影响视觉化题目上的态度反应从整体上看，示意图提示条件能显著地促进学生的解题，但是这种促进作用受题目视觉化程度、学校教学水平的制约在一定范围里，随着非视觉化题目难度增加示意图提示条件的作用在增强关键词：示意图提示；数学问题解决；非视觉化题目；视觉化题目；表征示意图（Diagram）也称为线段图、结构图等在认知心理学中，示意图研究应该归属于问题表征的研究范畴一般认为，数学解题中有两种基本的表征类型：言语分析表征与视觉空间表征视觉空间表征可分为图式表征（SchematicRepresentation）和图像表征（Pictorial Representation），图式表征促进数学问题的解决而图像表征则与解题成绩呈负相关12如果从这个角度看，在解题过程中个体借助示意图对题目达成结构性理解是一种典型的图式表征问题表征一般指问题的内部表征，即理解问题或信息的内部表达相对于内部表征，一些研究者提出外部表征（ External Representation）外部表征是指问题情境的成分和结构，能以图表照片或书写文字等多种形式来表现外部表征能够对问题解决产生实质性的影响，比如，能提供一些未经解释或形式转换就可被察觉与使用的信息，可以约束认知活动的范围，能改变问题的性质3如果从这个角度看，随着数学应用题而出现的示意图提示条件是一种良好的外部表征，促进问题的解决示意图对问题解决的促进作用受到很多因素的制约：题目的性质与难度、教师的教学引导、学生的知识基础、个人的认知风格、示意图的简明程度等目前对示意图的探讨比较常见的形式是理论探讨、经验总结、例题分析等，或者是在其它主题的实验研究中有所涉及45，却缺少直接而深入的实证研究在本研究中，采用组内与组间相结合的研究设计，探讨示意图提示条件对小学六年级学生解数学应用题的促进作用，并考察题目视觉化程度、题目难度、学校教学水平等因素的制约作用，同时了解学生对示意图提示条件的态度其中，题目视觉化程度是指题目是否涉及真实的空间关系以及解题时对表象的依赖程度，它影响个体使用视觉空间表征的倾向6，因此本研究区分了两类小学数学应用题：非视觉化题目（NVP: Nonvisual Problem）与视觉化题目（VP: Visual Problem）1 研究方法1.1 被试在教学水平相差比较大的一所乡镇小学（甲校）和一所城市小学（乙校）里，各选取六年级的 3 个班级，共 6 个班325 人，其中男生 177 人，女生 148 人1.2 研究材料自编数学练习 A 卷与 B 卷A 卷与 B 卷题目相同（数字有所变化），但 B 卷每一道题目都给出简明的示意图在 A卷的试卷纸上，左边是题目，右边是空白，指定为学生的草稿纸在 B 卷的试卷纸上，左边是题目，右边一部分空白处给出示意图，一部分空白处指定为学生的草稿纸练习卷有 6 道应用题，4 道属于非视觉化题目，2 道属于视觉化题目非视觉化题目又选取了两种题型，倍数关系问题与容斥问题这两种题型在浙江省小学数学教科书上给出示意图的机会比较多，前者一般用线段图表示，后者一般用圆圈和长方形表示一种包含与排除的关系因此，共 3 组题目，每一组题目两道问题，而且难度递增题 1、2 是倍数问题，题 3、4 是容斥问题，题 5、6 是视觉化题目同时考虑到乙校比较高的教学水平，在其 A 卷、B 卷上都增加了一道难度比较大的属于倍数关系问题的附加题预测表明，六年级的学生可以在一节课里很从容地完成一份练习卷1.3 研究程序在每一所学校里，3 个班同时接受数学测验（ ）班学生在一节课时间里完成数学练习A 卷；（ ）班学生在一节课时间里完成数学练习 B 卷，进行 A 卷与 B 卷成绩的组间比较；（ ）班学生在两节课时间里连续完成数学练习 A卷与 B 卷，进行 A 卷与 B 卷成绩的组内比较（ ）班 A卷的指导语：“ 请同学们在一节课时间里认真完成数学练习，试卷右边空白处作为草稿纸” （ ）班B 卷的指导语：“ 请同学们在一节课时间里认真完成数学练习在做每道题目时，请看右边对应的图示如果认为图示对解题有帮助，在题号下的括号里打勾，否则就打叉” 在（ ）班，告诉学生要两节课的时间里连续完成两份练习卷收回学生已经完成的A 卷之后再发B 卷，这时的指导语是：“ B 卷与刚刚完成的 A 卷内容相似，但在右边空白处给出每一道题目的图示在做每道题目时，请看右边对应的图示如果认为图示对解题有帮助，在题号下的括号里打勾，否则就打叉”每一道题目列式正确记 1 分1.4 统计手段用 SPSS11.5 统计软件包对收集的数据进行处理分析收稿日期：20051116作者简介：徐速（1969），女，浙江永嘉人，副教授，硕士，主要从事数学教育心理学研究第 2 期徐 速：示意图提示条件下小学生数学问题解决的研究652 研究结果2.1 题目基本情况分析题目基本情况分析结果如表 1 所示表 1 A 卷题目基本情况分析 NVPVP题 1题 2题 3题 4题 5题 6甲校（n=114）通过率（%）90.411.469.338.634.25.3乙校（n=104）91.3通过率（%）59.684.673.144.227.9由表 1 可见，乙校的教学水平高于甲校，进一步的 t 检验表明存在极显著的差异（非视觉化题目，t=7.073，p=0.000；视觉化题目，t=3.646，p=0.000）而且题目通过率也验证了问卷设计时关于题目难度大小的假设另外，视觉化题目的难度大于非视觉化题目2.2 学生对示意图肯定态度反应的频度分析学生对示意图肯定态度反应的频度分析结果如表 2表 2 B 卷学生对示意图肯定态度反应的频度分析（%） NVPVP甲校（n=113）32.759.344.245.169.073.5有示意图提示条件下所犯的错误类型是一致的尤其在视觉乙校（n=108）68.471.363.063.077.877.8化题目上，虽然对示意图肯定反应的比率很高，但是解题成题 1题 2题 3题 4题 5题 63 讨论3.1 学生对示意图提示条件的态度反应研究表明，不管最终是否能成功解题，学生对示意图提示条件普遍持肯定态度但是，题目视觉化程度、学校教学水平影响学生的态度反应应该说，示意图在两类题目上有不同的含义对非视觉化题目而言，示意图实际上是对题目中数量关系进行一种空间类比7，学生解题完全可以不依赖表象，而使用示意图只是一种解题策略因此，学校教学引导在很大程度上影响学生对示意图的态度反应对视觉化题目而言，示意图是对题目中空间关系的一幅简化图，是对实质内容的反映，使用示意图是理解题目的组成部分，因此题目本身对表象的依赖性决定了示意图的重要性当然，对示意图的重视和有效地利用示意图之间还是有距离的R. Booth 与M. Thomas（2000）的研究中曾经提及数学学习困难学生有一种回避使用随题给出或者他们自己的示意图或图像的倾向，而且不能积极地利用示意图来帮助解题5本研究中通过卷面分析发现，尽管示意图已经把相应的关系揭示得非常清楚，不少学生在有示意图条件下与没进一步的 t 检验表明，比较两类题目，甲校学生在视觉化题目上肯定态度反应极显著地高于非视觉化题目（t=6.818*，p=0.000）；乙校学生虽然也有这样的趋势，但是差异不大比较两所学校，非视觉化题目上达到极显著差异（t=4.922*，p=0.000）；视觉化题目上差异不显著2.3 A 卷与B 卷的解题成绩的比较组内比较对（ ）班的 A 卷与 B 卷的解题成绩进行相关样本 t 检验，结果表明 B 卷的非视觉化题目上两所学校学生解题成绩显著提高（甲校 t=3.486*，p=0.001；乙校t=3.124*，p=0.003）；视觉化题目上，乙校学生解题成绩显著提高（t=3.036*，p=0.004），甲校学生的解题成绩虽然提高了，但没有达到显著水平组间比较对（ ）班 A 卷成绩与（ ）班 B 卷成绩作独立样本 t 检验，结果表明 B 卷中非视觉化题目解题成绩显著提高（甲校 t=2.147*，p=0.034；乙校 t=2.039*， p=0.044），但视觉化题目解题成绩变化不显著2.4 非视觉化题目难度与示意图的作用不同难度非视觉化题目 A 卷与 B 卷的解题成绩相关样本 t 检验结果如表 3表 3 A 卷与B 卷的解题成绩相关样本 t 检验甲 校乙 校A 卷通过率tpA 卷通过率tp题 190.4%1.4260.15991.3%1.7660.083题 211.4%2.4270.01859.6%1.9370.058附加题38.5%4.307*0.000题 369.3%0.8300.41084.6%0.7040.485题 438.6%2.737*0.00873.1%3.256*0.002注：表中*表示 p<0.001，*表示 p<0.05由表 3 可见，随着非视觉化题目难度增加，示意图提示的作用在增强功率却不高3.2 示意图提示条件对解题的促进作用从整体上看，示意图提示条件对解题的促进作用具有统计上的显著性，但是这种促进作用受题目视觉化程度、学校教学水平的制约组内设计表明，示意图提示条件下学生两类题目解题成绩都有了提高，但是其中甲校学生视觉化题目解题成绩提高没有达到显著水平组间设计表明，示意图提示条件下，两校学生非视觉化题目解题成绩显著提高了，而视觉化题目解题成绩变化不稳定可能的解释是：第一，空间视觉化能力（Spatial Visualization）影响视觉化题目的解决以往的研究表明，图式表征的使用与空间视觉化能力有着显著的相关1，而对示意图的读图能力也与个体的空间视觉化能力有关5因此，在视觉化题目上，对于空间视觉化能力比较弱的个体仅仅是给出示意图并不能直接促进成功解题第二，相对于非视觉化题目，学生在学校接受视觉化题目的训练比较少，对这类题目感觉到陌生和困难，而示意图的促进作用还不能达到成功解题，特别是甲校学生由于低通过率而出现了地板效应3.3 非视觉化题目难度影响示意图提示条件的作用T. Lowrie 和 R. Kay 的研究表明学生在面临难题时倾向于视觉空间表征6非视觉化题目的难度往往与数量关系的复杂性、问题的陈述方式等因素有关8，而示意图能够一目了然地忽视一些无关因素而揭示题目的关键内容因此，在一定范围里，对有一定难度的非视觉化题目， 示意图是一种很好的解题策略国外一些研究表明，在教导数学学习困难学生解题时，让学生学会画出示意图是一种辅导策略93.4 本研究的教育启示以及存在的问题目前小学数学教学中，没有专门的示意图教学的目标与66数 学 教 育 学 报第 15 卷内容，因此小学生的读图与作图能力的培养远远不够在本研究中，通过比较两所学校，也说明了学校教学引导的重要性小学数学课程改革中应该重视不同性质、不同难度题目上示意图的作用；在教学实践中，要加强培养学生解题时有效地利用示意图进行图式表征的能力当然，学生是否能够有效地利用示意图，还与个人的认知类型有关克鲁捷斯基（Krutetskii）曾提出这样一个观点： 数学解题中言语分析表征是基本的，而视觉空间表征是有用的但并非必需；言语分析表征决定数学能力水平，而视觉空间表征决定思维类型10由此推论，不同类型的学生从示意图中受益的程度应该是不同的因此在以后的进一步研究中，应该把学生的认知类型作为一个重要的研究变量4 研究结论学生对示意图提示条件普遍持肯定态度；学校教学水平影响学生非视觉化题目上的态度反应，而不影响视觉化题目上的态度反应从整体上看，示意图提示条件能显著地促进学生解题，但是这种促进作用受题目视觉化程度、学校教学水平的制约在一定范围里，随着非视觉化题目难度增加，示意图提示条件的作用在增强由此得到的教育启示是：小学数学课程改革中应该重视不同性质、不同难度题目上示意图的作用；在教学实践中，要加强培养学生解题时有效地利用示意图进行图式表征的能力参 考 文 献1 Hegarty M, Kozhevnikov M. Types of Visual-spatial Representations and Mathematical Problem Solving J. Journal of Educational Psychology, 1999, 91(4): 684689.2 Kozhevnikov M, Hegarty M, Mayer R E. Revising the Visualizer-vervalizer Dimension: Evidence for Two Types of Visualizers J. Cognition and Instruction, 2002, 20(1): 4777.3 邓铸，余嘉元问题解决中对问题的外部表征和内部表征J心理学动态，2001，9（3）：1932004 姚飞，张大均应用题结构分析训练对提高小学生解题能力的实验研究J心理学报，1999，31（1）：53585 Booth R, Thomas M. Visualization in Mathematics Learning: Arithmetic Problem-solving and Student Difficulties J. Journal of Mathematical Behavior, 2000, 18(2): 169190.6 Lowrie T, Kay R. Relationship between Visual and Nonvisual Solution Methods and Difficulty in Elementary Mathematics J. The Journal of Educational Research, 2001, 94(4): 248255.7 杨晓冬，方格非空间问题中运用空间表征策略的研究综述J心理科学，2001，24（1）：78808 周新林，张梅玲加减文字题解决研究概述J心理科学进展，2003，11（6）：6426509 Mary Anne, Gallagher Landi. Helping Students with Learning Disabilities Make Sense of Word Problems J. Intervention in School and Clinic, 2001, 37(1): 1318.10 Presmeg N C, Balderas-Cañas P E. Visualization and Affect in Nonroutine Problem Solving J. Mathematical Thinking and Learning, 2001, 3(4): 289313.Study on Mathematical Word Problem Solving with Diagram- presentation among Primary School StudentsXU Su(Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325015, China)Abstract: This study investigated the effect of diagram-presentation on mathematical word problem solving. 325 sixth-grade students in six groups, from two primary schools with different instructional level, participated in this study. The results showed that: The students positive attitude toward diagram-presentation was found popularly, while school-instructional level affected the attitude in nonvisual problems (NVP) but not in visual problems (VP). In whole, diagram-presentation promoted problem-solving success significantly, while the extent of promotion was associated with the visuality of a problem and school-instructional level. Within a certain range of mathematics task difficulty, the effect of diagram-presentation on NVP problem solving increased with mathematics task difficulty. Therefore, the implications of these results for primary school mathematics curriculum reforming and teaching were discussed.Key words: diagram-presentation; mathematical word problem solving; nonvisual problems, visual problems; representation责任编校：陈汉君5