2022年高考数学真题和模拟题分类汇编专题19不等式选讲含解析.docx

专题19 不等式选讲解答题1.(2021高考全国甲卷理T23)函数1画出和的图像；2假设，求a的取值范围【解析】1可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：2，如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，那么要使，需将向左平移，即，当过时，解得或舍去，那么数形结合可得需至少将向左平移个单位，.2.(2021高考全国乙卷文T23)函数1当时，求不等式解集;2假设，求a的取值范围【解析】1当时，表示数轴上的点到和的距离之和，那么表示数轴上的点到和的距离之和不小于，故或，所以的解集为.2依题意，即恒成立，故，所以或，解得.所以的取值范围是.3.(2021河南郑州三模理T23)函数fx|x+1|2x4|在平面直角坐标系中画出函数fx的图象；假设对xR，fxt恒成立，t的最小值为m，且正实数a，b，c满足a+2b+3cm，求的最小值【解析】，图象如下图，由知，fxmax3，那么t3，故m3，即a+2b+3c3，由柯西不等式有，的最小值为3，当且仅当a+cb+c1时等号成立4.(2021河南开封三模文理T23)函数，gx|x1|1求函数yfx+gx的最小值；20，2，求关于的不等式的解集【解析】1由可得，当且仅当即时等号成立，所以函数yfx+gx的最小值为2由，原不等式可化为，当时，原不等式化为sincos2，此时无解，当时，原不等式化为sin+cos1，即，所以，综上所述，不等式的解集为，5.(2021河南焦作三模理T23) 函数fx|x+1|+|2x5|7在如下图的网格中画出yfx的图象；假设当x1时，fxfx+a恒成立，求a的取值范围【解析】当x1时，fxx12x+573x3，当1x时，fxx+12x+57x1，当x时，fxx+1+2x573x11，综上fx，那么对应的图象如图：当a0时，不等式不成立，当a0时，yfx的图象向右平移a个单位得到yfx+a的图象，此时对任意x1时，yfx+a总在yfx的上方，不满足条件当a0时，yfx+a的图象最多平移到与yfx的图象交于点1，2的位置，此时a2，此时a的取值范围是0，2.6.(2021四川内江三模理T23)a0，b0，4a+b2ab1求a+b的最小值；2假设a+b|2x1|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，求实数x的取值范围【解析】1因为a0，b0，所以，所以a+ba+b4+，当且仅当且，即a，a+b的最小值；2假设a+b|2x2|+|3x+2|对满足题中条件的a，b恒成立，那么，当x时，原不等式可化为2x1+4x+2，所以；当时，原不等式可化为2x+4+3x+2，所以，当x时，原不等式可化为2x+83x2，所以，综上，x的取值范围7.(2021安徽蚌埠三模文T23)函数fxm|x|x1|，mR，且fx的最大值为1，1求实数m的值；2假设a0，b0，a+bm，求证：【解析】1解：|x|+|x1|xx1|1，当xx10时取到等号，fxmaxm11，m22证明：由a0，b0，a+b22，ab1，+4，当且仅当ab1时取等号8.(2021贵州毕节三模文T23)函数fx|x+1|+|x2|解不等式fxx+4；假设k是fx的最小值，m0，n0，且k+1m+n1，求证：k2mnm+n【解析】fx|x+1|+|x2|，故当x2时，fxx+42x1x+4，解得：x5，2x5当1x2时，fxx+43x+4，解得x1，1x2当x1时，fxx+42x+1x+4，解得x1，此时x无解综上，fxx+4的解集为x|1x5；证明：由知，fx3，k3由k+1m+n1，得4m+n1，要证k2mnm+n，即9mnm+n，即证，就是证，又m0，n0，当且仅当，即时取“，k2mnm+n成立9.(2021河南济源平顶山许昌三模文T23)函数fx|x+2|m|x+1|1假设m2，求不等式fx8的解集；2假设关于x的不等式fxm|x+3|对于任意实数x恒成立，求实数m的取值范围【解析】1当m2时，fx|x+2|+2|x+1|，当x2时，3x48，解得x4；当2x1时，不等式无解；当x1时，3x+48，解得x综上，不等式的解集为4，+2关于x的不等式fxm|x+3|对于任意实数x恒成立，即为|x+2|m|x+1|+|x+3|，由于|x+1|+|x+3|x+1x3|2，当且仅当3x1时，等号成立，所以m，记gx，当x1时，gx；当x3时，gx那么gx，所以gx0，所以m，所以实数m的取值范围为，+10.(2021四川泸州三模理T23)函数fx|x+6|x22x+2|求不等式fx6的解集；设函数fx的最大值为m，正数a，b，c满足a+b+c+，求证：【解析】x22x+2x12+10，fx|x+6|x2+2x2，不等式fx6等价于|x+6|x2+2x26，即或，解得1x2或，不等式fx6的解集为1，2；证明：由可知，当时，又a，b，c为正实数，a+b+c4，当且仅当时等号成立，原命题得证11.(2021宁夏中卫三模理T23)设函数fx|12x|3|x+1|，fx的最大值为M，正数a，b满足+Mab求M；是否存在a，b，使得a6+b6？并说明理由【解析】1分三类讨论如下：当x1时，fxx+4，单调递增，fx3；当1x时，fx5x2，单调递减，fxmaxf13，当x时，fxx4，单调递减，fxf，综合以上讨论得，fx的最大值M3；2假设存在正数a，b，使得a6+b622a3b3，所以，又因为+Mab3ab2，所以，显然相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b612.(2021江西南昌三模理T23)函数fx|x3|+2|x1|求fx的最小值m；a0，b0，假设a+2bm时，正常数t使得ta+ab的最大值为2，求t的值【解析】因为，所以当x1时，fxminm2，因为m2，所以a+2b2，那么a+2b+t2t+2，又因为，所以，那么，所以，那么t1或t3舍，当且仅当a2b+1，即a2，b0时，等号成立13.(2021江西上饶三模理T23)函数fx|x+2|x2|1解不等式fx2；2假设_，求a的最小值不等式fxa2+3a有解；不等式fxa2+5a恒成立请从上述两种情形中任选一种作答【解析】1fx，因为fx2，当x2时，42不成立，解得x；当2x2时，由2x2，得1x2；当x2时，由42恒成立，解得当x2；综上，fx2解集为1，+；2假设选不等式fxa2+3a有解，那么fxmaxa2+3a，由1知，fxmax4，所以a2+3a40，解得4a1；所以amin4；假设选不等式fxa2+5a恒成立，那么fxmina2+3a，由1知，fxmin4，所以a2+5a+40，解得4a1；所以amin414.(2021安徽宿州三模文理T23)函数fx|x2|x+1|求不等式fx1的解集；假设函数fx的最大值为m，且正实数a，b满足2a+bm，求证：a2+4b2【解析】|x2|与|x+1|的零点分别是x2，x1，整个定义域被划分成3个区间，分别讨论如下：1当x1时，fxx+2+x+13，fx1的解集为空集，2当1x2时，fxx+2x12x+1，2x2x+11，x0，取交集得fx1的解集为0，2，3当2x时，fxx2x13，fx1的解集为2，+，对以上三种情况的结果取并集，不等式fx1的解集为0，+，II证明：分段函数的最值在分段点处取得，由此可以比拟函数在三个分段区间上的最大值，取最大者得m3由2a+b3，原不等式等价于，即17a2+4b242a+b2，做差比拟证明a8b20，这是显然的15.(2021安徽马鞍山三模文理T23)函数fx|2x+3|1解不等式fx+fx38；2关于x的不等式fx+|x+a|x+5，在x1，1上有解，求实数a的取值范围【解析】1函数fx|2x+3|不等式fx5fx3，即|3x+3|+|3x3|5，等价于或或，解得：2x2，所以原不等式的解集为x|2x2；2当x1，1时，不等式fx+|x+a|x+5，即|x+a|2x，所以|x+a|2x在1，1上有解，即2a22x在1，1上有解，所以2a4实数a的取值范围：2，416.(2021江西九江二模理T23)函数fx|x+2|ax2|aR当a2时，解不等式fx1；当x2，2时，求证：fx+fx0【解析】当a2时，fx1即|x+2|2x2|1等价为或或，解得x或x1或1x3，所以原不等式的解集为，3；证明：当x2，2时，fx|x+2|ax2|x+2|ax2|，fx2x|ax+2|，fx+fx4|ax2|+|ax+2|，因为|ax2|+|ax+2|ax2ax+2|4，当ax2ax+20时，取得等号，所以4|ax2|+|ax+2|0，即fx+fx017.(2021江西上饶二模理T23)设函数fx|2x1|x+1|+2ax，aR1假设，求不等式fx0的解集；2假设函数fx恰有三个零点，求实数a的取值范围【解析】1当a时，不等式fx0，即|2x1|x+1|+x0，那么或或，解得x1或1x0或x1，不等式fx0的解集为，01，+；2由fx|2x1|x+1|+2ax0，得|2x1|x+1|2ax，设gx|2x1|x+1|，hx2ax，如图，要使ygx与y2ax有3个不同交点，那么32a1，即a实数a的取值范围是，18.(2021江西鹰潭二模理T23)设x，y，zR，zx+2ym1假设x2+2y2+3z2的最小值为4，求m的值；2假设，证明：m1或m1【解析】1x2+2y2+3z2x2+z2+2y2+z22xz+4yz2xy+2yz，当且仅当xyz，上式取得等号，由题意可得2xy+2yz2m4，m22证明：a2+b22|ab|，2a2+b2a+b2，|m|1，可得m1或m119.(2021吉林长春一模文T23) (I)求证:;()求证:.【解析】(1)证明:因为, 所以,(当且仅当时取等号)(5分)(2)因为,所以所以,当且仅当时取等号(10分)20.(2021新疆乌鲁木齐二模文T23)a，bR+，ab2ab3，a+b2ab求证：a+b2ab；求a与b的值【解析】证明：a，bR+，ab2ab3，a+b2ab2+4abab3+4ab，那么a+b2ab；由知，a+b2ab，又a+b2ab，a+b2ab，又取等号时，ab34ab，即ab2，联立，解得或21.(2021安徽淮北二模文T23)设函数fx|2xa|+|x+|a0证明：fx2；假设f14，求实数a的取值范围【解析】证明：fx|2xa|+|x+|，fx在，单调递减，在，单调递减，在，+上单调递减，fxminf+2，当且仅当x且a2时取最小值，fx2；f1|2a|+|1+|4a0，|2a|3，30，解得：a，当a2时，有2a3，a2或a1，结合得：1a2，当a2时，有a23，2a，综上：实数a的取值范围是1，22.(2021宁夏银川二模文T 23)函数fx|x+a|2|xb|a0，b01当ab1时，解不等式fx0；2假设函数gxfx+|xb|的最大值为2，求的最小值【解析】1当ab1时，fx|x+1|2|x1|，当x1时，fxx+1+2x1x30，x3，无解，当1x1时，fxx+1+2x13x10，x1，当x1时，fxx+12x1x+30，1x3，综上所述：不等式fx0的解集为，32gx|x+a|2|xb|+|xb|x+a|xb|，|x+a|xb|x+axb|a+b|，gxmax|a+b|2，a0，b0，a+b2，+a+b×+5×2+5×，当且仅当，即b2a时取等号，+的最小值为23.(2021山西调研二模文T23)(1)证明：a2+1a+12；(2)假设a>0，b>0，求ab+ba2+b2+1的最大值.【解析】(1)证明：a2+b22a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，令b=1，那么有a2+12a+12，当且仅当a=1时，等号成立，即a2+1a+12；(2)解：由(1)得a2+1a+12，即a2+1(a+1)22，当且仅当a=1时，等号成立，ab+ba2+b2+1=(a+1)b(a2+1)+b2(a+1)b(a+1)22+b2，又(a+1)22+b22(a+1)22b2=2(a+1)b，当且仅当(a+1)22=b时，等号成立，即a+1=2b，即a=1b=2时，等号成立，(a+1)b(a+1)22+b2(a+1)b2(a+1)b=22，即ab+ba2+b2+122，当a=1b=2时，ab+ba2+b2+1取得最大值，且最大值为22.【解析】(1)由a2+b22a+b2，令b=1即可得证；(2)利用(1)的结论可得ab+ba2+b2+122，由此求得最大值此题考查不等式的证明，考查最值的求解，考查逻辑推理能力，属于中档题24.(2021河南郑州二模文T23)函数fx|2x4|+|x+a|a0假设a1，求不等式fx5的解集；假设fxa22a+4恒成立，求实数a的取值范围【解析】假设a1，不等式fx5即为|2x4|+|x+15，等价为或或，解得x1或1x0或x4，所以原不等式的解集为，04，+：假设fxa22a+4恒成立，即为|2x4|+|x+a|mina22a+4，a0，而|2x4|+|x+a|x2|+|x2|+|x+a|22|+|x2xa|a+2|a+2，当x2时，上式取得等号，所以a22a+4a+2，即a23a+20，解得1a2，即a的取值范围是1，2