2022年正弦函数、余弦函数、及函数的图像和性质资料 .pdf

正弦函数、余弦函数、及函数y=Asin(x+)的图象和性质本周教学重点会用 “ 五点作图法 ” 画出正弦函数、余弦函数及y= Asin( x+ )的图象；掌握正弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间、最小正周期；清楚y=sinx 与 y=Asin( x+)图象间的变换过程，了解振幅、频率、相位、初相的定义. 本周教学难点准确理解周期函数的定义，灵活应用正弦函数、余弦函数的性质，求解以三角式确定的函数的性质 . 内容 一、三角函数的图象和性质sinx=cosx=tanx=cotx=定义域x R x R x|x k+ ,kZ x|x k ,kZ 值域-1，1 -1， 1 (-，+) (- ， +) 图象奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性单调增区间2k -,2k +kZ 单调增区间2k - ,2k kZ 单调减区间2k ,2k + kZ 单调增区间(k -,k +), kZ 单调减区间(k ,k + )kZ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 单调减区间2k +,2k +kZ 周期性T=2 T=2 T= T= 对称性对称中心 : (k ,0) kZ 对称轴 : x=k +,k Z 对称中心 : (k +,0)k Z 对称轴 :x=k , k Z 对称中心 :(,0) 对称中心 : (,0) 最值x=2k+时， y 取最大值 1；x=2k +时，y 取最小值 -1；kZ x=2k 时， y 取最大值1；x=2k + 时， y 取最小值-1；kZ 无无二、函数y=Asin(x+)的图象和性质(A0, 0)1图象函数 y=Asin( x+)(A0, 0)x R 的图象可由y=sinx 图象按下列顺序变换得到: 相位变换 :把 y=sinx 图象上所有点向左(0)或向右 (1) 或伸长 (01) 或缩短 (0A1) 到原来的A 倍（横坐标不变）；研究正弦函数的目的，是为了揭示各种正弦函数图象的内在联系，但在作y=Asin( x+)的简图时，仍常常用“ 五点法 ” ，这五点的取法是:设 x=x+，由 x 取 0， ， ，2来求出名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 对应的 x 的值2性质定义域 :x R,值域 :y -A,A. 奇偶性 :=k+时为偶函数；=k时为奇函数，k Z. 单调性 :单调增区间: k Z 单调减区间 : kZ 周期性 :T=对称性 :对称中心 (,0)kZ 对称轴x=kZ 最值 :x=时， y 取最大值A x=时， y 取最小值 -A (kZ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 例题分析与解答例 1求函数的定义域 .分析与解答:要使函数运算有意义，必有在数轴上标出不等式组中各不等式的解集. 显然不等式解集的交集合也具有周期性. 原函数的定义域，(kZ). 说明 :利用正、余弦函数图象及周期性，是求解不等式sin( x+ )m 或 sin( x+ )m 以及n sin( x+ ) m 的常见方法（其中|m| 1, |n| 1). 例 2求下列函数的值域.x Ry=sinx+cosx+2sinxcosxx R 分析与解答:三角式确定的函数求解值域.一般可从两个途径入手.一是将三角式化为一个三角函数的形式，从而利用三角函数性质求解值域，二是将三角式化为相同形，通过换元转化为代数函数求解值域. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - (1)由 x 0, ，.由正弦函数图象可知，即时，ymax=2, , 即 x=时， ymin=-1. 所以函数值域为-1， 2. (2) x R，去分母，3y+ysinx=2-cosx, 移项整理ysinx+cos x=2-3y, 由辅助角公式得, xR, , 即.平方整理得 :8y2-12y+30, 解出，所以函数值域为. （ 3）由 (sinx+cosx)2=1+2sinxcos x 2sinxcosx=(sinx+cosx)2-1 y=sinx+cosx+2sinxcos x=(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)-1 令x R,. 则 y=t2+t-1, 当时， 当时，.所以函数值域为. 例 3已知方程.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - （ 1）若方程在0， 上有实根，求实数m 的取值范围；（ 2）若方程在0， 上有两个相异实根，求实数m 的取值范围 . 分析与解答:求解三角方程是个较困难的问题，但仅考察三角方程在所给区间上解的个数，就可以联系函数的图象求解. （ 1）由整理为若要方程在 0， 上有实根，等价于以 0，为定义域而求解函数值y 的取值范围 .由 x0，, , 当即 x=0 时， m 有最大值1. 当，即时， m 有最小值 -2.m-2,1. （ 2）由，若在 0， 上有两个相异实根，即函数在0， 上与函数y=m 的图象有两个不同的交点，如图. 当 -20)，若 f(x)的最大值是4，最小正周期T=，且. （ 1）求 ,a,b的值；（ 2）求 f(x)最小值及此时x 的取值 . 参考答案 :1.B2.B3.D4.C 5. (1)(其中), 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - , =2. 由， a2+b2=9, (2)当时，即时， ymin=-2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -