【科学备考】（新课标）2021高考数学二轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 函数模型及综合问题 理（含2021试题）.doc

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数I 函数模型及综合问题 理（含2014试题）理数1. (2014湖南,10,5分)已知函数f(x)=x2+ex-(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.B.(-,)C.D.答案 1.B解析 1.设函数f(x)图象上一点A(x0,y0)(x0<0)关于y轴的对称点B(-x0,y0)在函数g(x)的图象上,则即+-=+ln(a-x0),得a=+x0.令(x)=+x(x<0),则a=(x)在(-,0)上有解.因为'(x)=·ex+1>0,故(x)在(-,0)上为增函数,则(x)<(0)=,从而有a<,故选B.2.(2012陕西,7,5分)设函数f(x)=xex,则()A. x=1为f(x)的极大值点B. x=1为f(x)的极小值点C. x=-1为f(x)的极大值点D. x=-1为f(x)的极小值点答案 2.D解析 2.f '(x)=(x+1)ex,当x<-1时,f '(x)<0,当x>-1时f '(x)>0,所以x=-1为f(x)的极小值点,故选D. 3.(2012重庆,8,5分)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D. 函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)答案 3. D解析 3.当x<-2时,1-x>0. (1-x)f '(x)>0,f '(x)>0,即f(x)在(-,-2)上是增函数. 当-2<x<1时,1-x>0. (1-x)f '(x)<0,f '(x)<0,即f(x)在(-2,1)上是减函数. 当1<x<2时,1-x<0. (1-x)f '(x)>0,f '(x)<0,即f(x)在(1,2)上是减函数. 当x>2时,1-x<0. (1-x)f '(x)<0,f '(x)>0,即f(x)在(2,+)上是增函数. 综上:f(-2)为极大值, f(2)为极小值. 4. (2013山东青岛高三三月质量检测，11,5分) 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则()A BC D答案 4.C 解析 4.由=可知关于直线对称，由可知，即当时，函数是增函数；当时，函数是减函数，由，可知，故可知.5. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，15) 已知, 有且仅有一个零点时，则的取值范围是            . 答案 5.  或解析 5.  令，因为是定义域的减函数，而是定义域的增函数，所以当时为减函数，其值域为；，欲使函数只有一个零点，只需使函数的图像与函数的图像有一个交点即可，因此可得或.6.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，21）已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时, 判断的单调性, 并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.答案 6.查看解析解析 6.易知的定义域为，且为偶函数.（1）时,       时最小值为2.      -3分（2）时, 时，  递增；    时，递减； -5分为偶函数. 所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时， 递增； -8分（3），从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有-10分当时，在上单调递增，由得，从而； 当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而；当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而； 当时，在上单调递减， 由得，从而；综上，. -14分7. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一种商品，两个市场的需求函数分别是, , 其中和分别表示该产品在两个市场上的价格（单位：万元/吨），和分别表示该产品在两个市场上的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即    （）试用和表示总利润，确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；    () 在两地价格差别满足的条件下，推算该企业可能获得的最大利润（取一位小数）答案 7.查看解析解析 7.（）设总利润为，那么利润函数将利润函数变形为，当，时，即（万元），（万元）企业获得最大利润52万元.  （6分）() 由得   ，令，得，由实际意义知、都为正数得，又得即，化简得：，  （8分）圆的圆心到的距离，所以，即，实际上取一位小数49.9(万元).           （13分）(利用直线与椭圆相切同样可得分)8.(2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，18) 某种特色水果每年的上式时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间. 上式初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原价格基础上继续下跌. 现有三种价格变化的模拟函数可选择：；，其中均为常数且（注：表示上式时间，表示价格，记表示4月1号，表示5月1号，依次类推，）.    （）在上述三种价格模拟函数中，哪个更能体现该种水果的价格变动态势，请你选择，并简要说明理由；    （）对（）所选的函数，若，记，经过多年的统计发现，当函数取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？答案 8.查看解析解析 8.    解析  （）根据题意，该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应选择，       （4分）    （）由，代入得，解得，即，  （8分)，当且仅当即时取等号.故明年拓展外销的事件应为6月1号.            (12分）9.(2012陕西,21,14分)设函数fn(x)=xn+bx+c(nN+,b,cR). (1)设n2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2-1,1,有|f2(x1)-f2(x2)|4,求b的取值范围;(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,xn,的增减性. 答案 9.(1)证明:b=1,c=-1,n2时,fn(x)=xn+x-1. fn·fn(1)=×1<0,fn(x)在内存在零点. 又当x时,fn'(x)=nxn-1+1>0,fn(x)在上是单调递增的,fn(x)在内存在唯一零点. (2)当n=2时, f2(x)=x2+bx+c. 对任意x1,x2-1,1都有|f2(x1)-f2(x2)|4等价于f2(x)在-1,1上的最大值与最小值之差M4. 据此分类讨论如下:(i)当>1,即|b|>2时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾. (ii)当-1-<0,即0<b2时,M=f2(1)-f2=4恒成立. (iii)当0-1,即-2b0时,M=f2(-1)-f2=4恒成立. 综上可知,-2b2. 注:(ii),(iii)也可合并证明如下:用maxa,b表示a,b中的较大者. 当-1-1,即-2b2时,M=maxf2(1), f2(-1)-f2=+-f2=1+c+|b|-=4恒成立. (3)数列x2,x3,xn,是增函数. 理由如下:证法一:设xn是fn(x)在内的唯一零点(n2), fn(xn)=+xn-1=0,fn+1(xn+1)=+xn+1-1=0,xn+1. 于是有fn(xn)=0=fn+1(xn+1)=+xn+1-1<+xn+1-1=fn(xn+1),又由(1)知fn(x)在上是递增的,故xn<xn+1(n2),所以,数列x2,x3,xn,是增函数. 证法二:设xn是fn(x)在内的唯一零点,fn+1(xn)fn+1(1)=(+xn-1)(1n+1+1-1)=+xn-1<+xn-1=0,则fn+1(x)的零点xn+1在(xn,1)内,故xn<xn+1(n2),所以,数列x2,x3,xn,是增函数. 9.10.(2012江苏,17,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3. 2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 答案 10.(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x=10,当且仅当k=1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米. (2)因为a>0,所以炮弹可击中目标存在k>0,使3. 2=ka-(1+k2)a2成立关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根判别式=(-20a)2-4a2(a2+64)0a6. 所以当a不超过6(千米)时,可击中目标. 10.11.(2012上海,21,14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图. 现假设:失事船的移动路径可视为抛物线y=x2;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t. (1)当t=0. 5时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?答案 11.(1)t=0. 5时,P的横坐标xP=7t=,代入抛物线方程y=x2,得P的纵坐标yP=3. (2分)由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时. (4分)由tanOAP=,得OAP=arctan,故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度. (6分)(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2). 由vt=,整理得v2=144+337. (10分)因为t2+2,当且仅当t=1时等号成立,所以v2144×2+337=252,即v25. 因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. (14分)11.12.(2012河南鹤壁二模,17,12分)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如下表:时间(将第x天记为x)x1101118单价(元/件)P9018而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上. (1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数;(2)在这20天中哪一天销售收入最高?此时单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)答案 12.(1)P=(xN*),Q=,x1,20,xN*,y=100QP=100,x1,20,xN*. (2)(x-10)2100-(x-10)2=2 500,当且仅当(x-10)2=100-(x-10)2,即x=10±5时,y有最大值. xN*,当x=3或17时,ymax=7004 999(元),此时,P=7(元). 答:第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P定为7元为好. 12.13.(2012北京,18,13分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-,-1上的最大值. 答案 13.(1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f '(1)=g'(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x). 当b=a2时,h(x)=x3+ax2+a2x+1,h'(x)=3x2+2ax+a2. 令h'(x)=0,得x1=-,x2=-. a>0时,h(x)与h'(x)的情况如下:x-,-,-,+h'(x)+0-0+h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和;单调递减区间为. 当-1,即0<a2时,函数h(x)在区间(-,-1上单调递增,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h(-1)=a-a2. 当-<-1,且-1,即2<a6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间上单调递减,h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1. 当-<-1,即a>6时,函数h(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间上单调递增. 又因h-h(-1)=1-a+a2=(a-2)2>0,所以h(x)在区间(-,-1上的最大值为h=1. 13.14.(2012安徽,19,13分)设函数f(x)=aex+b(a>0). (1)求f(x)在0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=x,求a,b的值. 答案 14.(1)f '(x)=aex-,当f '(x)>0,即x>-ln a时, f(x)在(-ln a,+)上递增;当f '(x)<0,即x<-ln a时, f(x)在(-,-ln a)上递减. (i)当0<a<1时,-ln a>0, f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(-ln a)=2+b;(ii)当a1时,-ln a0, f(x)在0,+)上递增,从而f(x)在0,+)上的最小值为f(0)=a+b. (2)依题意f '(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去). 所以a=,代入原函数可得2+b=3,即b=. 故a=,b=. 14.15. (2012山东聊城5月模拟,19,12分)某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的左后两侧边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?答案 15.设温室的左侧边长为x m,则后侧边长为m. 蔬菜种植面积y=(x-4)=808-2(4<X<400). span <>x+2=80,y808-2×80=648(m2). 当且仅当x=,即x=40时,y有最大值. 此时=20,y最大=648 m2. 当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为20 m时,蔬菜的种植面积最大,为648 m2. 15.16. (2012北京海淀区高三11月月考，18,13分）如图所示，已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中米，米为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上（）设米，米，将表示成的函数，求该函数的解析式及定义域；（）求矩形面积的最大值答案 16.（I）如图所示，作于，则.所以，2分在中，有，所以，4分整理得，定义域为. 6分(II) 设矩形的面积为，则有，9分所以当，函数是增函数，11分所以当米时，矩形面积取得最大值平方米. 13分16.17.（2013福建厦门高三一月质量检查,20,14分）某新兴城市拟建设污水处理厂，现有两个方案：方案一：建设两个日处理污水量分别为xl和x2（单位：万m3/d）的污水厂，且3xl5，3x25方案二：建设一个日处理污水量为xl+x2（单位：万m3/d）的污水厂经调研知：（1）污水处理厂的建设费用P（单位：万元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为P =40x2；（2）每处理1m3的污水所需运行费用Q（单位：元）与日处理污水量x（单位：万m3/d）的关系为：（I）如果仅考虑建设费用，哪个方案更经济？（）若xl +x2 =8，问：只需运行多少年，方案二的总费用就不超过方案一的总费用？注：一年以250个工作日计算；总费用=建设费用+运行费用答案 17.（I）方案一的建设费用， 方案二的建设费用， ， 如果仅考虑建设费用，方案一更经济. 5分（）由题意得，运行年后， 方案一的总费用为，方案二的总费用为，当方案二的总费用就不超过方案一的总费用时，,整理得，又xl +x2 =8， ， ， 又， ， 当或5时，即经过3年，方案二的总费用等于方案一的总费用， 当时，即只需经过4年，方案二的总费用就小于方案一的总费用. 14分17.14