2022年2022年集合中的题型归类解析 .pdf
集合中的题型归类解析江苏李洪洋集合问题为每年必考题型之一,特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题,这些试题涉及的知识面广,灵活性较强.实际上,这方面问题的本质是以集合为载体,将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中,只不过是在语言形式方面做了些变通罢了,而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此,在集合题型上应引起我们的足够重视 . 集合中的题型题型 1:集合相等问题集合相等问题, 主要是利用集合中元素的互异性,集合中元素的互异性是集合的重要属性,在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略,从而导致解题的失败,所以在解题中应引起足够的重视. 例 1 已知集合 ,2 Aa ab ab,2 ,Ba ac ac,若AB,求c的值分析: 要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的各个集合的元素完全相同,及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式解:根据题意,分两种情况进行讨论:(1)若2,2,abacabac,消去b,得220aacac当0a时,集合B中的三个元素均为零,与元素的互异性相矛盾,故0a2210cc,即1c,此时B中的三个元素又相同,1c此时无解 . (2)若2,2,abacabac消去b,得220acaca0a,2210cc,即(1)(21)0cc又1c,12c评注: (1)解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正 . (2)有些数学问题很难从整体着手解决,需从分解入手,把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题,通过逐一判断来解决这些问题,从而达到整体问题的解决,这种重要的数学方法就是分类讨论的方法,要学会这种思维方法. 题型 2:证明、判断两集合的关系集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的。因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去. 例 2 设集合|32,Aa annZ,集合|31,Bb bkkZ,试判断集合A、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - B的关系。分析: 先判断元素与集合的关系,再判断集合与集合的关系解: 任设aA,则323(1)1,annnZ,nZ,1nZ.aB.故AB. 又任设bB,则313(1)2,bkkkZ. kZ,1kZ.bA.故BA. 综上可知AB. 评注: 在说明aB,或bA的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理. 题型 3:集合中的参数问题所谓集合中的参数问题,是指集合|p p适合的条件 中“p适合的条件”里面含有参数的问题,解答这类问题类似于其他含有参数的问题,灵活性极强,难度也很大.因此,解决此为问题要注意思维的严谨性. 例 3 已知集合| 2Axx5,|1Bx mx21m,满足BA,则实数m的取值范围为. 解: (1)当B时,121mm,得2m,满足BA. (2)当B时,121,12,215.mmmm解得2m3. 综合 (1)、(2)得m的取值范围是m3. 评注:有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论,特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在BA中,含有B这种可能, 应注意 .在集合单元中含有丰富的分类讨论内容,所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识,掌握分类方法,培养周密的思维品质. 题型 4:利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集有的集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象,采用数形结合思想方法,往往可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解. 例 4 设全集,|UR Ax x2,|1 Bx x. (1)求AB及AB;(2)求()AB及()AB. 解: (1)如图,利用数轴可直观地得到结果:|1ABxx2;ABR. (2)()|ABx x1,或2x;()AB. 评注: 有关用不等式表示的集合的并、交、补运算,常常借助于数学轴的几何直观来帮助思考 . x2 1 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 题型 5:开放、定义型问题近几年在高考试题的帮助带动下,一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中,集合的形式被表示为|x x所适合的条件,其中的代表元素 “x的任意性”和“x所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点. 例 5 设1,2,3,4,5,6A,1,2,7,8B,定义A与B的差集为|ABx xA,且xB,则()AAB解: 由所给的新定义:差集|ABx xA,且xB,得3,4,5,6AB,从而()1,2AAB. 评注 :差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误:()1,2,7,8AABAABB. 例 6 已知(, )|,Ax yxn yanb nZ,2( , )|,315,Bx yxm ymmZ ,22( , ) |Cx yxy14,问是否存在实数,a b,使得 (1)AB,(2)( , )a bC同时成立 . 分析: 假设存在,a b使得 (1)成立,得到a与b的关系后与22xy14联立,然后讨论联立的不等式组. 解 : 假 设 存 在 实 数,a b, 使 得AB,( , )a bC同 时 成 立 , 则 集 合(,)|,Ax yxn yanb nZ 与集合2(, ) |,315,Bx yxm ymmZ 分别对应集合1(, )|,Ax yyaxb xZ与21( , ) |315,Bx yyxxZ,1A与1B对应的直线yaxb与抛物线2315yx至少有一个公共点,所以方程组2315yaxbyx有解,即方程2315xaxb必有解 . 因此212(15)ab20a12180b,又22ab14由相加,得2b1236b,即2(6)b0.6b. 将6b代入得2a108,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 再将6b代入得2a108,因此6 3a,将6 3a,6b代入方程2315xaxb得236 390 xx,解得3xZ. 所以不存在实数,a b,使得 (1),(2)同时成立 . 评注:对于存在性探索性问题,首先要假设这样的问题存在,以此出发, 依据已知条件、公理、定理进行推理论证,推出一个较为明显的结论,最后根据这样的结论有无矛盾,得出问题的结论 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -