2022年高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形考纲解读及热点难点试题演练.doc

专题06 三角恒等变换与解三角形-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练2014高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.4余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.5三角形面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.6三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧如1cos2sin2tan 45°等“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2)角的变换是三角变换的核心，如()，2()()，等7解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解8利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.考点1、三角变换及应用【例1】 (1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan ()，tan ，求2的值××，cos()2cos212×1.【规律方法】 (1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如()，等(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角【变式探究】 (2013·广东卷)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f.sin 22sin cos ，cos 22cos2 1，fcos 2sin 2.考点2、正、余弦定理的应用【例2】ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A.(1)求A·A；(2)若cb1，求a的值【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cos A，可求出sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论【变式探究】 (2013·山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值【解析】解(1)由余弦定理，得解三角形在实际问题中的应用【例1】如图，现有一个以AOB为圆心角，湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)，半径OC和线段CD(其中CDOA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域养殖区域和养殖区域.若OA1 km，AOB，AOC.(1)用表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围【规律方法】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案【变式探究】某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求A和C互补，且ABBC，(1)设ABx米，cos Af(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范围(2)求四边形ABCD面积的最大值【解析】解(1)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22AB·AD·cos A.同理，在CBD中，BD2CB2CD22CB·CD·cos C.因为A和C互补，所以AB2AD22AB·AD·cos ACB2CD22CB·CD·cos CCB2CD22CB·CD·cos A.即x2(9x)22x(9x)cos Ax2(5x)22x(5x)cos A.解得cos A，即f(x)，其中x(2,5)1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B45°，SABC2，则b等于_2在ABC中，A，B，C为内角，且sin Acos Asin Bcos B，则ABC是_三角形3已知R，sin 2cos ，则tan 2等于_4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于_5已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为_6在ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2c22b，且sin Acos C3cos Asin A，求b_.7若，cos ，sin ，则cos ()_.8在ABC中，AD为BC边上的高线，ADBC，角A，B，C的对边为a， b，c，则的取值范围是_9某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组，的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？ (2)由题设知dAB，得tan .10在ABC中，已知·3·.(1)求证：tan B3tan A；(2)若cos C，求A的值11(2013·新课标全国卷)ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值【解析】解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B，又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.- 11 -