【步步高】（江苏专用）2021届高考数学二轮专题突破 专题五 第1讲 直线与圆 文.doc

第1讲直线与圆【高考考情解读】本讲考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识1 直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(2)斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(3)两点式：(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0)2 直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1l2k1k2.(2)两直线垂直l1l2k1·k21.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3 三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：AB.(2)点到直线的距离：d(其中点P(x0，y0)，直线方程为：AxByC0)(3)两平行线间的距离：d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10.l2：AxByC20)提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等4 圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)5 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.考点一直线的方程及应用例1(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是_(2)若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2间的距离为_答案(1)2xy120或2x5y0(2)解析(1)当直线过原点时方程为2x5y0，不过原点时，可设出其截距式为1，再由过点(5,2)即可解出2xy120.(2)由l1l2，知3a(a2)且2a6(a2)，2a218，求得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，两条平行直线l1与l2间的距离为d. (1)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究 (1)直线l1：kx(1k)y30和l2：(k1)x(2k3)y20互相垂直，则k_.(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x2y10的倾斜角的两倍的直线方程是_答案(1)3或1(2)4x3y40解析(1)l1l2，k(k1)(1k)(2k3)0，解得k13，k21.k3或1.(2)设直线x2y10的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.由已知得tan ，则tan 2，所以所求直线方程为y0(x1)，即4x3y40.考点二圆的方程及应用例2(1)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_(2)已知A(2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2y2kx0上两个不同点，P是圆x2y2kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是_答案(1)xy30(2)3解析(1)设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r|x01|.圆心到直线l的距离为d.由弦长为2可知2(x01)22，整理得(x01)24.x01±2，x03或x01(舍去)因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线yx1垂直的直线方程为y(x3)，即xy30.(2)依题意得圆x2y2kx0的圆心(，0)位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得AB2，直线AB的方程是1，即xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离等于，点P到直线AB的距离的最大值是1，PAB面积的最大值为×2×3. 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数 (1)已知圆C：x2(y3)24，过点A(1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若PQ2，则直线l的方程为_(2)已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且AB6，则圆C的方程为_答案(1)x1或4x3y40(2)x2(y1)210解析(1)当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，线段PQ的中点为M，由于PQ2，易得CM1.又CM1，解得k，此时直线l的方程为y(x1)故所求直线l的方程为x1或4x3y40.(2)设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d2()210，故圆C的方程是x2(y1)210.考点三直线与圆、圆与圆的位置关系例3(2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设，圆心C是直线y2x4和yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则21CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为. (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理 (1)(2013·江西改编)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_(2)(2013·重庆改编)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则PMPN的最小值为_(3)(2013·山东改编)过点P(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为_，PAB的外接圆方程为_答案(1)(2)54(3)2xy30(x2)2(y)2解析(1)SAOBOA·OB·sinAOBsinAOB.当AOB时，SAOB面积最大此时O到AB的距离d.设AB方程为yk(x)(k<0)，即kxyk0.由d得k.(也可ktanOPH)(2)设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，那么PC1PC2PC1PC2C1C25.而PMPNPC1PC2454.(3)易知点P(3,1)与圆心C连线和AB垂直，圆心为点(1,0)，点P(3,1)与圆心连线斜率k，故直线AB斜率kAB2，结合图形易知A点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.又由CAPA，CBPB知，A、P、B、C四点共圆，且CP为其直径PAB的外接圆方程为(x2)2(y)2.1 由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况2 确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称3 直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题4 过两圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.5 两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.1 若圆x2y2r2(r>0)上有且只有两个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围是_答案(1，1)解析注意到与直线xy20平行且距离为1的直线方程分别是xy20、xy20，要使圆上有且只有两个点到直线xy20的距离为1，需满足在两条直线xy20、xy20中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以<r<，即1<r<1.2 过点O(0,0)作直线与圆C：(x4)2(y8)2169相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为_答案解析已知圆C的半径为13，C(4，8)，CO12<13，O点在圆C的内部，且圆心到直线的距离d0,12，直线截圆所得的弦长AB210,26，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有189(条)，所求概率P.(推荐时间：70分钟)一、填空题1 “a0”是“直线l1：(a1)xa2y30与直线l2：2xay2a10平行”的_条件答案充要解析当a0时，l1：x30，l2：2x10，此时l1l2，所以“a0”是“直线l1与l2平行”的充分条件当l1l2时，a(a1)2a20，解得a0或a1.当a1时，l1：2xy30，l2：2xy30，此时，l1与l2重合，所以a1不满足题意，即a0.所以“a0”是“直线l1l2”的必要条件2 已知两条直线a1xb1y10和a2xb2y10都过点A(1,2)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_答案x2y10解析因为两条直线经过点A(1,2)，所以a12b110，a22b210，由于P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都适合方程x2y10，故所求直线方程为x2y10.3 (2013·广东改编)垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是_答案xy0解析与直线yx1垂直的直线设为：xyb0.则r1，所以|b|，又相切于第一象限，所以b.4 已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12，则圆C的方程为_答案x2(y±)2解析由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin 1，rcos |a|，解得r，即r2，|a|，即a±，故圆C的方程为x2(y±)2.5 设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_答案解析依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知PC的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x4y30的距离，即2，而四边形PACB的面积等于2SPAC2×(PA·AC)PA·ACPA，因此四边形PACB的面积的最小值是.6 两个圆C1：x2y22axa240(aR)与C2：x2y22by1b20(bR)恰有三条公切线，则ab的最小值为_答案3解析两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(xa)2y24，圆C2：x2(yb)21，所以C1C2213，即a2b29.由()2得(ab)218，所以3ab3，当且仅当“ab”时取“”7 已知直线l1与圆x2y22y0相切，且与直线l2：3x4y60平行，则直线l1的方程是_答案3x4y10或3x4y90解析依题意，设所求直线l1的方程是3x4yb0，则由直线l1与圆x2(y1)21相切，可得圆心(0，1)到直线3x4yb0的距离为1，即有1，解得b1或b9.因此，直线l1的方程是3x4y10或3x4y90.8 (2013·山东)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_答案2解析由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此时，点(3,1)为弦的中点，如图所示AB2BE222.9 若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为_答案5解析由题意知，圆心坐标为(2，1)，2ab10，表示点(a，b)与(2,2)的距离，的最小值为，(a2)2(b2)2的最小值为5.10(2013·湖北)已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin 1(0<<)设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k_.答案4解析圆心O到直线l的距离d1，而圆O半径为，圆O上到l的距离等于1的点有4个二、解答题11如图所示，已知以点A(1，2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程；(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由解(1)设圆A的半径为R.圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连结AQ，则AQMN.MN2，AQ1.由AQ1，得k.直线l的方程为3x4y60.所求直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，·0.·()····.当直线l与x轴垂直时，得P.则，又(1,2)，··5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.··5.综上所述，·是定值，且·5.12已知曲线C的方程：x2y24x2y5m0.(1)当m为何值时，此方程表示圆；(2)若m0，是否存在过点P(0,2)的直线l与曲线C交于A，B两点，且PAAB，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)方程可化为(x2)2(y1)255m，当55m>0，即m<1时表示圆(2)当m0时，曲线C的方程为x2y24x2y0.当直线l斜率不存在时，即直线l方程为x0，A(0,0)，B(0，2)，PAAB，符合题意当直线l斜率存在时，设直线l方程为ykx2，联立方程组有(1k2)x2(6k4)x80.依题意有4(k212k4)>0，PAAB，A为PB的中点，xB2xA.即解得k，满足>0，直线l的方程为5x12y240.综上所述，直线l的方程为x0或5x12y240.13已知点P是圆F1：(x)2y216上任意一点，点F2与F1关于原点对称线段PF2的中垂线与PF1交于M点(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴的左、右两个交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KHx轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HKKQ，连结AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系解(1)由题意得，F1(，0)，F2(，0)，圆F1的半径为4，且MF2MP，从而MF1MF2MF1MP4>F1F22.点M的轨迹是以F1、F2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a4，焦距2c2，则短半轴长b1，点M的轨迹C的方程为y21.(2)如图，设K(x0，y0)，则y1.HKKQ，Q(x0,2y0)OQ2，Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上又A(2,0)，直线AQ的方程为y(x2)令x2，得D(2，)又B(2,0)，N为DB的中点，N(2，)(x0,2y0)，(x02，)·x0(x02)2y0·x0(x02)x0(x02)x0(x02)x0(2x0)0.直线QN与圆O相切13