【走向高考】2021届高三数学一轮基础巩固 第3章 第1节 导数的概念及运算（含解析）新人教B版.doc

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第3章 第1节 导数的概念及运算 新人教B版一、选择题1(文)(2015·广州执行中学期中)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a等于()A2B.CD2答案D解析f (x)，f (3)，由条件知，×(a)1，a2.(理)(2014·吉林长春期末)已知函数f(x)在R上满足f(2x)2x27x6，则曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1ByxCy3x2Dy2x3答案C解析方法一：令x1得f(1)1，令2xt，可得x2t，代入f(2x)2x27x6得f(t)2(2t)27(2t)6，化简整理得f(t)2t2t，即f(x)2x2x，f (x)4x1，f (1)3.所求切线方程为y13(x1)，即y3x2.方法二：令x1得f(1)1，由f(2x)2x27x6，两边求导可得f (2x)·(2x)4x7，令x1可得f (1)3，即f (1)3.所求切线方程为y13(x1)，即y3x2.2若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第二象限，则函数f (x)的图象是()答案C解析由题意可知在第二象限，b>0，又f (x)2xb，故选C.3(文)(2013·济南质检)若函数f(x)excosx，则此函数图象在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为()A0B锐角C直角D钝角答案D解析由已知得：f (x)excosxexsinxex(cosxsinx)f (1)e(cos1sin1)>1>，而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.f (1)<0.即f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率k<0.切线的倾斜角是钝角(理)(2014·山东烟台期末)若点P是函数yexex3x(x)图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为钝角，则的最小值是()A.B.C.D答案B解析由导数的几何意义，kyexex3231，当且仅当x0时等号成立即tan1，因为(，)，所以的最小值是，故选B.4(2014·河南郑州市质量检测)已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x)2xf (e)lnx，则f (e)()A1B1Ce1De答案C解析f (x)2f (e)，f (e)2f (e)，f (e)，故选C.5(文)(2014·河南商丘调研)等比数列an中，a12，a84，f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f (x)为函数f(x)的导函数，则f (0)()A0B26C29D212答案D解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，f (x)(xa1)(xa2)(xa8)x·(xa1)(xa2)(xa8)，f (0)a1a2a8(a1a8)484212.(理)(2013·海口模拟)下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()Af(x)exBf(x)x3Cf(x)lnxDf(x)sinx答案D解析对于f(x)ex，有f (x)ex>0恒成立；对于f(x)x3，有f (x)3x20；对于f(x)lnx，x>0，f (x)>0.因此在f(x)ex，f(x)x3，f(x)lnx的曲线上，都不存在x1，x2使f (x1)·f (x2)1，对于f(x)sinx，f (x)cosx，若f (x1)·f (x2)1，即cosx1cosx21，则只需x12k，x2(2k1)，kZ即可，故选D.6(文)(2013·河北质检)已知直线ykx是曲线ylnx的切线，则k的值是()AeBeC.D答案C解析依题意，设直线ykx与曲线ylnx切于点(x0，kx0)，则有由此得lnx01，x0e，k，选C.(理)(2015·成都七中期中)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或B1或C或D或7答案A解析设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切可得a；当x0时，由yx与yax2x9相切可得a1，所以选A.本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出判断，直接由yx3，得出y|x13，再由yax2x9，得y|x12a3求出a，错选B.二、填空题7(文)(2015·石家庄五校联合体摸底)函数f(x)xex在点(1，f(1)处的切线的斜率是_答案2e解析f (x)ex(x1)，f (1)2e.(理)(2014·广东广州市调研)若直线y2xm是曲线yxlnx的切线，则实数m的值为_答案e解析设切点为(x0，x0lnx0)，由y(xlnx)lnxx·lnx1，得切线的斜率klnx01，故切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)，整理得y(lnx01)xx0，与y2xm比较得，解得x0e，故me.8设为曲线yx33x2ax2的切线的倾斜角，且所有组成的集合为，)，则实数a的值为_答案4解析设切线的斜率为k，则ky3x26xa，又ktan，)，k1，)又k3(x1)2a3，当x1时，k取最小值为a31.a4.9(文)(2014·湖北武汉月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1log2016x2log2016x2015的值为_答案1解析f (x)(n1)xn，kf (1)n1，点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1·x2··x2015×××××，则log2016x1log2016x2log2016x2015log2016(x1·x2··x2015)log20161.(理)(2014·湖南岳阳一模)设曲线y上有一点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PRx轴于R，则RQ的长为_答案解析(数形结合法)令f(x)，f (x1)，n与m垂直，直线n的斜率为2，直线n的方程为yy12(xx1)，由题意设点Q(xQ,0)，R(xR,0)令y0，又y1，则2·(xQx1)，解得xQx1，由题意知，xRx1，|RQ|xQxR|.三、解答题10(文)(2014·高州月考)设函数yax3bx2cxd的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12xy40. 若函数在x2处取得极值0，试确定函数的解析式. 解析yax3bx2cxd的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y12x4，P点坐标适合方程，从而d4；又切线斜率k12，故在x0处的导数y|x012而y|x0c，从而c12；又函数在x2处取得极值0，所以即解得a2，b9，所以所求函数解析式为y2x39x212x4.(理)设函数f(x)ax的图象在点M(，f()处的切线方程为2x3y20.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)证明曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解析(1)因为切点在切线上，所以将点M坐标代入切线方程解得f().f(x)ax，f (x)a，根据题意，得关于a，b的方程组解得所以f(x)的解析式为f(x)x.(2)由f (x)1(x0)，令f (x)<0，解得1<x<0或0<x<1.所以f(x)的单调递减区间为(1,0)，(0,1)(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(1)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为(0，)令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为|2x0|2.一、选择题11(2014·宁夏育才中学月考)点P是曲线x2ylnx0上的任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1B.C.D答案D解析将x2ylnx0变形为yx2lnx(x>0)，则y2x，令y1，则x1或x(舍)，可知函数yx2lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x1，纵坐标为y1.故切线方程为xy0.则点P到直线yx2的最小距离即切线xy0与yx2两平行线间的距离，d.12(文)(2014·吉林长春三调)已知函数f(x)x2的图象在点A(x1，f(x1)与点B(x2，f(x2)处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A(，3)B(0，4)C(2,3)D(1，)答案D解析由题意，A(x1，x)，B(x2，x)，f (x)2x，则过A，B两点的切线斜率k12x1，k22x2，又切线互相垂直，所以k1k21，即x1x2.两条切线方程分别为l1：y2x1xx，l2：y2x2xx，联立得(x1x2)2x(x1x2)0，x1x2，x，代入l1，解得yx1x2，故选D.(理)(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数yx21(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是()A.B.C.D答案D解析yx22x(x1)21，0<x<2，1y<0，由题意知1tan<0，<，故选D.13二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数yf (x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图象的顶点在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案C解析由题意可设f(x)ax2bx，f (x)2axb，由于f (x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)a(x)2，顶点(，)在第三象限，故选C.14(2014·江西七校一联)设函数f(x)xsinxcosx的图象在点(t，f(t)处切线的斜率为k，则函数kg(t)的部分图象为()答案B解析f(x)xsinxcosx，f (x)xcosx，kg(t)tcost.g(t)为奇函数且在t0邻近，当t>0时，g(t)>0，故选B.二、填空题15(文)(2014·河北邯郸二模)曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于_答案log2e解析y，k，切线方程为y(x1)，三角形面积为S×1×log2e.(理)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案3解析由曲线yax2过点P(2，5)，得4a5.又y2ax，所以当x2时，4a，由得所以ab3.16(2013·宁波四中月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f (x)存在，且导函数f (x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f (x)(f (x).若f (x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sinxcosx；f(x)lnx2x；f(x)x32x1；f(x)xex.答案解析对于，f (x)cosxsinx，f (x)sinxcosxsin(x)<0在区间(0，)上恒成立；中，f (x)2(x>0)，f (x)<0在区间(0，)上恒成立；中，f (x)3x22，f (x)6x在区间(0，)上恒小于0.故为凸函数中，f (x)exxex，f (x)2exxexex(x2)>0在区间(0，)上恒成立，故中函数不是凸函数三、解答题17(文)(2013·河北冀州中学检测)已知函数f(x)x33x.(1)求曲线yf(x)在点x2处的切线方程；(2)若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解析(1)f (x)3x23，f (2)9，f(2)233×22，曲线yf(x)在x2处的切线方程为y29(x2)，即9xy160.(2)过点A(1，m)向曲线yf(x)作切线，设切点为(x0，y0)，则y0x3x0，kf (x0)3x3，则切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)切线过点A(1，m)，于是得2x3xm30，(*)过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，方程(*)有三个不同实数根记g(x)2x33x2m3，g(x)6x26x6x(x1)，令g(x)0，x0或1.则x，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)极大极小当x0时，g(x)有极大值m3；当x1时，g(x)有极小值m2.由g(x)的简图知，当且仅当即3<m<2时，函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线所以所求m的范围是(3，2)(理)(2015·大连二十中期中)已知函数f(x)ax3bx23x在x±1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间1,1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4；(3)若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解析(1)f (x)3ax22bx3，依题意，f (1)f (1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x.(2)f(x)x33x，f (x)3x233(x1)(x1)，当1<x<1时，f (x)<0，故f(x)在区间1,1上为减函数，fmax(x)f(1)2，fmin(x)f(1)2.对于区间1,1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|2(2)4.(3)f (x)3x233(x1)(x1), 曲线方程为yx33x，m2，点A(1，m)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0.因为f (x0)3(x1)，故切线的斜率为3(x1)，整理得2x3xm30，(*)过点A(1，m)可作曲线的三条切线，方程(*)有三个不同的实数解记g(x)2x33x2m3，g(x)6x26x6x(x1)，令g(x)0，x0或1.则x，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,1)1(1，)g(x)00g(x)极大极小当x0时，g(x)有极大值m3；当x1时，g(x)有极小值m2.由g(x)的简图知，当且仅当即3<m<2时，函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线所求m的取值范围是(3，2)18(2014·北京石景一模)设函数f(x)x2axlnx(aR)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,1上是减函数，求实数a的取值范围；(3)过坐标原点O作曲线yf(x)的切线，证明切点的横坐标为1.解析(1)a1时，f(x)x2xlnx(x>0)，f (x)2x1，当x(0，)时，f (x)<0；当x(，)时，f (x)>0.f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，)(2)f (x)2xa，f(x)在区间(0,1上是减函数，f (x)0对任意x(0,1恒成立，即2xa0对任意x(0,1恒成立a2x对任意x(0,1恒成立，令g(x)2x，ag(x)min.易知g(x)在(0,1上单调递减，g(x)ming(1)1.a1.(3)证明：设切点为M(t，f(t)，f (x)2xa，切线的斜率k2ta，又切线过原点，则k，2ta，即t2atlnt2t2at1.t21lnt0，存在性：t1满足方程t21lnt0，t1是方程t21lnt0的根再证唯一性：设(t)t21lnt，(t)2t>0，(t)在(0，)单调递增，且(1)0，方程t21lnt0有唯一解综上，切点的横坐标为1.- 9 -