2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测试试卷(无超纲).docx

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测试北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合测试考试时间：90 分钟；命题人：数学教研组考生注意：考生注意：1、本卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟2、答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第第 I I 卷（选择题卷（选择题3030 分）分）一、单选题（一、单选题（1010 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共计分，共计 3030 分）分）1、如图，在RtABC中，C=90，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC于 N、M两点，则BCM的周长为（）A18B16C17D无法确定2、如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于12AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点M，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD若AC6，AB8，BC4，则BEC的周长（）A10B12C8D143、如图，ABDF，ACCE于点C，BC与DF交于点E，若20A ，则CED等于（）A20B50C70D1104、如图，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，则EBC的度数是（）A30B40C70D805、如图， ABC是等边三角形，D是BC边上一点，DEAC于点E若3EC ，则DC的长为（）A4B5C6D76、如图，在等腰ABC中，AB=BC，ABC=108，点D为AB的中点，DEAB交AC于点E，若AB=6，则CE的长为（）A4B6C8D107、一个三角形三个内角的度数分别是x，y，z若2| ()0 xyxyz，则这个三角形是（）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D不存在8、 一副三角板如图放置， 点A在DF的延长线上， DBAC90， E30， C45， 若BC/DA，则ABF的度数为（）A15B20C25D309、下列事件中，属于必然事件的是（）A13 人中至少有 2 个人生日在同月B任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上C从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃AD以长度分别是 3cm，4cm，6cm 的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形10、如图，RtABC中，B90，点P在边AB上，CP平分ACB，PB3cm，AC10cm，则APC的面积是（）A15cm2B22.5cm2C30cm2D45cm2第第卷（非选择题卷（非选择题7070 分）分）二、填空题（二、填空题（5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共计分，共计 2020 分）分）1、一个直角三角形房梁如图所示，其中BCAC，30A，10mAB ，CDAB，垂足为D，那么BD _2、同学们，我们在今后的学习中会学到这个定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半即：如图，在 RtABC中，ACB90，若ABC30，则12ACAB问题：在RtABC，ACB90，ABC30，AC3，点D是边BC的中点，点E是斜边AB上的动点，连接DE，把BDE沿直线DE折叠，点B的对应点为点F当直线DFAB时，AE的长为 _3、以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 _4、如图， ABC中，边AC的垂直平分线与边BC交于点D将 ADC沿AD折叠后，使点C与点E重合，且DEAB，若50B，则BAE_度5、如图，ADBC，1B，C=65，BAC_三、解答题（三、解答题（5 5 小题，每小题小题，每小题 1010 分，共计分，共计 5050 分）分）1、数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知MAN45，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使ACB2A下面是小路设计的尺规作图过程作法：作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD，BC，直线l为线段AB的垂直平分线，DA，()（填推理的依据）AABD，BDCAABD2ABCBD，ACB，()（填推理的依据）ACB2A2、如图，在平面直角坐标系xoy中， OAB的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，OAB = 90且OA = AB，OB = 6，点C是直线OC上一点，且在第一象限，OB，OC满足关系式OB +10OC = 26（1）请直接写出点A的坐标；（2） 点P是线段OB上的一个动点 （点P不与点O重合） ， 过点P的直线l与x轴垂直， 直线l交边OA或边AB于点Q，交OC于点R设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m当t = 6时，直线l恰好过点C求直线OC的函数表达式；当34m 时，请直接写出点P的坐标；当直线RQ与直线OC所组成的角被射线RA平分时，请直接写出t的值3、如图，已知在平面直角坐标系中，点A（0，n）是y轴上的一点，且n使得n4 +4n有意义，以OA为边在第一象限内作等边三角形OAB（1）求点B的坐标；（2）若点C是在射线BO上第三象限内的一点，连接AC，以AC为边在y轴右侧画等边三角形ACD，连接BD，OD请先依题意补全图形后，求ABD的度数；当OD最小时，求ACD的边长4、 几何原本是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法小牧在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形”（1）请你用尺规作图，在图中作出线段AB的中点D，并连接CD （保留作图痕迹）（2）请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证已知：_求证： ABC为直角三角形（3）补全上述猜想的证明过程证明：点D是线段AB的中点，AD = BD，又CD =12AB，AD = BD = CD，在 ACD中，AD = CD，DCAA ， （_） （填推理的依据） ，同理，在 BCD中，DCB = B在 ABC中DCA+ A + DCB+ B = 180_= 90，在 ABC中，ACB = 90， ABC为直角三角形5、教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第 94 页的部分内容请根据教材中的分析（1）结合图，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程（2）定理应用：如图，在 ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M连接MB，若AB=8cm， MBC的周长是 14cm求BC的长；点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的 PBC的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求 PBC的周长最小值；若不存在，说明理由- -参考答案参考答案- -一、单选题1、C【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可【详解】解：在RtABC中，C=90，AC=12，AB=13，由勾股定理得，225BCABAC，MN是AB的垂直平分线，MB=MA，BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，故选 C【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键2、A【分析】由垂直平分线的性质得AEBE，故BEC的周长为BEECBCACBC，计算即可得出答案【详解】由题可知：MN为AB的垂直平分线，AEBE，6AC ，6ACAEECBEEC，6410BECCBEECBC故选：A【点睛】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键3、C【分析】由ACCE与20A ，即可求得ABC的度数，又由ABDF，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED的度数【详解】解：ACCE，90C，20A ，70ABC，ABDF，70CEDABC 故选：C【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键4、A【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，则ABE=A=40，再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到1180=702ABCCA ，由此即可得到答案【详解】解：AB的垂直平分线DE交AC于点E，AE=BE，ABE=A=40，AB=AC，1180=702ABCCA ，EBC=ABCABE=30故选 A【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键5、C【分析】先求解60 ,30 ,CEDC靶=可得2,CDCE=从而可得答案.【详解】解：ABC是等边三角形，60 ,CDEAC，90 ,906030 ,DECEDC 靶=3,CE 26.CDCE=故选 C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含30的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.6、B【分析】由等腰三角形的等边对等角性质即可得出CAB=BCA=36，再由垂直平分线定理可知CAB=ABE=36，再由三角形内角和为 180即可推出CEB=EBC，故CE=BC=AB=6【详解】AB=BC，ABC=108CAB=BCA=36又点D为AB的中点，DEAB交AC于点EAE=BE36CABABE 1801803636108AEBABECAB 18018010872CEBAEB 180180723672EBCCEBBCA CEBEBC BC=CECE=AB=6故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和的性质，熟悉使用有关性质是解题的关键7、C【分析】根据绝对值及平方的非负性可得xy，xyz，再由三角形内角和定理将两个式子代入求解可得45x ，290 x ，即可确定三角形的形状【详解】解：20 xyxyz，0 xy且0 xyz，xy，xyz，2zx，180 xyz，2180 xxx，解得：45x ，290 x ，三角形为等腰直角三角形，故选：C【点睛】题目主要考查绝对值及平方的非负性，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，理解题意，列出式子求解是解题关键8、A【分析】先求出EFD=60，ABC=45，由BCAD，得到EFD=FBC=60，则ABF=FBC-ABC=15【详解】解：DBAC90，E30，C45，EFD=60，ABC=45，BCAD，EFD=FBC=60，ABF=FBC-ABC=15，故选 A【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键9、A【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件【详解】解：A. 13 人中至少有 2 个人生日在同月，是必然事件，故该选项符合题意；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；C. 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A，是随机事件，故该选项不符合题意；D. 因为2222223425,636,346，则以长度分别是 3cm，4cm，6cm 的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形，是不可能事件，故该选项不符合题意；故选 A【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键10、A【分析】过点P作PDAC于D，由角平分线的性质可得PD=PB=3cm，然后利用三角形面积公式求解即可【详解】解：如图所示，过点P作PDAC于D，CP平分ACB，B=90，PDAC，PD=PB=3cm，2115cm2ACPSAC PD，故选 A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键二、填空题1、2.5m【分析】利用直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解【详解】解：BCAC，30A，10mAB ，11105m22BCAB，60B，CDAB，90BDC，30BCD，1152.5m22BDBC 故答案为：2.5m【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键2、3 32或【分析】如图 1 所示， 设DF与AB交点为G， 先求出2 3AB ，=3BC， 由D是BC的中点， 可以得到1322BDBC，由折叠的性质可知F=B=30，BE=EF，即可得到1324DGBD，1122EGEFBE，223 34BGBDDG，由此即可求出AE的长；如图 2 所示，同理可得1324DGBD，223 34BGBDDG，1122EGEFBE，则39 328BEBGGEBG，7 38AEABBE。【详解】解：如图 1 所示，设DF与AB交点为G，ABC=30，ACB=90，22 3ABAC，22=3BCABAC，D是BC的中点，1322BDBC，由折叠的性质可知F=B=30，BE=EF，DFAB，DGB=FGB=90，1324DGBD，1122EGEFBE，223 34BGBDDG，2332BEBG，3 32AEABBE如图 2 所示，延长FD与AB交于点G，同理可求出1324DGBD，223 34BGBDDG，1122EGEFBE，3 322BEBGGEBG，32AEABBE，故答案为：3 32或32【点睛】本题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含 30 度角的直角三角形的性质是解题的关键3、线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）【分析】满足MNC以线段MN为底边且CMCN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件） 【详解】解：MNC以线段MN为底边，CMCN，点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件） ，以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） 故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） 【点睛】此题主要考查垂直平分线的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的判定定理4、35【分析】先利用垂直求出BDE的度数， 再根据折叠求出ADC的度数， 利用等腰三角形的性质求出C和E，再利用三角形内角和可求BAE【详解】解：DEAB，90BFDAFE ，50B，9040BDFB，180140EDCBDE，由折叠可知，70ADEADC ，EC ，边AC的垂直平分线与边BC交于点DADDC，18070552DACC ，55EC ，9035BAEE故答案为：35【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出角的度数5、70【分析】先根据ADBC可知ADBADC90，再根据直角三角形的性质求出1 与DAC的度数，由BAC1+DAC即可得出结论【详解】ADBC，ADBADC90，DAC906525，1B45，BAC1+DAC45+2570【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于 180是解答此题的关键三、解答题1、 （1）见解析； （2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD，BC，直线l为线段AB的垂直平分线，DADB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）AABD，BDCAABD2ABCBD，ACBBDC，(等边对等角)（填推理的依据）ACB2A【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键2、 （1） （3，3） ； （2）直线OC的函数表达式为13yx；点P坐标为（8116，0）或（6316，0） ；t的值为33105，或33105【分析】（1）过A作ADx轴于点D，根据等腰直角三角形的性质得出OD=OA=3，即可得到A坐标为（3，3） ， ；（2）由6OB ，且1026OBOC，可得 OC=2 10，在Rt BOC中，利用勾股定理求得BC的值，即可得到点C坐标，设出直线OC的函数表达式为y=kx，把（6，2）代入 求出k的值，即可得到直线OC的函数表达式；先求出直线AB的解析式，由题意点得P（t，0） ，Q（t，t）或（t，6t ） ，R（t，13t） ， 列出方程， 即可求得点P坐标； 先求出点H的坐标为 （92，32） ， 再根据面积法求出3 105AN ，最后分两种情况讨论即可.【详解】（1）过A作ADx轴于点D，OB=6，OA=AB，OAB=90，AD平分OAB，且OD=BD=3，OAD=AOD=45，OD=DA=3，A坐标为（3，3） ，故答案为： （3，3） ；（2）6OB ，且1026OBOC，OC=2 10，当6t 时，点P坐标为（6，0） ，直线l恰好过点C，222OBBCOC，2226(2 10)BC，2BC，点C坐标为（6，2） ，设直线OC的函数表达式为y=kx，把（6，2）代入，得：6k=2，解得13k ，故直线OC的函数表达式为13yx；设直线OC与直线AB交于点H，直线AB的解析式为11yk xb，11113360kbkb，1116kb ，直线AB的解析式为6yx ，点P的横坐标为t，点R在直线13yx上，点P（t，0） ，Q（t，t）或（t，6t ） ，R（t，13t） ，线段QR的长度为m，13ttm或163ttm当34m 时，1334tt或13634tt解得：98t 或8116或6316故点P坐标为（98，0）或（8116，0）或（6316，0） ；直线AB的解析式为6yx ，联立613yxyx ，解得9232xy，点H的坐标为（92，32） ，22933 233222AH，22933 10222OH，22333 2OA ，11=22AOHSOA AHAN OH，3 105OA AHANOH，过点A作AM直线l，AN直线OC，如图：或则：AM=3t，直线RQ与直线OC所组成的角被射线RA平分，AM=AN，即3t=3105，解得33105t 或33105t ，故t的值为33105或33105【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、求一次函数函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、勾股定理的应用.作出相应的图形，分类讨论是解答此题的关键.3、 （1）B的坐标为(2 3,2)； （2）见解析，120ABD；ACD的边长为2 7【详解】（1）利用非负数的性质求解即可（2）根据要求作出图形即可证明AOCABD（SAS） ，可得结论由图可知， 点D在与AB夹角为 120的直线上运动， 推出当ODBD时OD最短， 此时点D在x轴上【解答】解： （1）44nn有意义4040nn，n4，等边OAB的边长为 4，过点B作BCx轴，垂足为点C，BOC30，122BCOB，OC =OB2BC2= 2 3，点B的坐标为(2 3,2)（2）ACD如图所画：AOB与ACD是等边三角形，CADOABAOB60，ACAD，ABAO，CAO60OADDAB，AOCABD（SAS） ，ABDAOC180AOB120ABD120，由图可知，点D在与AB夹角为 120的直线上运动，当ODBD时OD最短，此时点D在x轴上，点B的坐标为(2 3,2)，2 3OD ，在RtAOD中，根据勾股定理222 7ADAOOD，等边ACD的边长为2 7【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题4、（1） 见详解；（2） 在ABC中，CD是ABC的中线， 且12CDAB；（3） 等边对等角；90DCACDB或90AB 【分析】（1）根据作出AB的垂直平分线，交AB于D，连接CD，问题得解；（2）根据题意将文字语言结合图形转化为符号语言，问题得解；（3）根据题意得到DCAA ，DCBB，根据三角形内角和定理得到180DCAADCBB ，即可得到90ACB，问题得证【详解】（1）解：如图，CD即为所求作的线段，证明：点E、F分别到A、B的距离相等，点E、F分别在AB的垂直平分线上，点D为AB中点，CD即为所求作的线段；（2）已知：在ABC中，CD是ABC的中线，且12CDAB求证：ABC为直角三角形故答案为：在ABC中，CD是ABC的中线，且12CDAB；（3）证明：点D是线段AB的中点，ADBD，又12CDABADBDCD，在ACD中，ADCDDCAA ， （等边对等角） （填推理的依据）同理，在BCD中，DCBB在ABC中180DCAADCBB DCACDB90或AB 90，在ABC中，90ACB，ABC为直角三角形故答案为：等边对等角；90DCACDB或90AB ；90AB 【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的中点，几何文字语言、符号语言的转化，等腰三角形性质等知识，熟知相关知识，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键5、 （1）见解析； （2）6cm；存在，图见解析，14cm【分析】（1）根据MNAB，可得90ACPBCP ，从而证得ACPBCP，即可求证；（2）根据线段垂直平分线的性质定理，可得MB=MA，再由MBC的周长是 14cm，可得AC+BC=14cm，即可求解；根据线段垂直平分线的性质定理，可得PB=PA，从而得到PB+CP=PA+PCAC，进而得到当点P与点M重合时，PB CP的值最小，即可求解【详解】（1）证明：MNAB，90ACPBCP ，在ACP与BCP中，ACBCACPBCPPCPC ，ACPBCP，PA=PB；（2）MN垂直平分ABMB=MA，又MBC的周长是 14cm，AC+BC=14cm，AC=AB=8cm，BC=6cm如图，当点P与点M重合时，PB CP的值最小，MN垂直平分ABPB=PA，PB+CP=PA+PCAC，当点P与点M重合时，PB CP的值最小，为AC的长PBC的周长最小值是 8+6=14cm【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键