学年高中数学第章导数及其应用.生活中的优化问题举例练习新人教A版选修-.doc

3.4生活中的优化问题举例课时跟踪检测一、选择题1某箱子的容积与底面边长的关系为V(x)x2(0x60)，那么当箱子的容积最大时，箱子底面边长为()A30 B40C50 D以上都不正确解析：V(x)x230x2，V(x)60xx2.令V(x)0，得x40，当0x40时，V(x)0；当40x60时，V(x)0，当x40时，V(x)取得最大值应选B.答案：B2某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y117x2；生产总本钱y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x>0)，为使利润最大，应生产()A9千台 B8千台C6千台 D3千台解析：设利润为y，那么yy1y218x22x3(x>0)，y36x6x26x(6x)令y0，得x0(舍去)或x6，当x6时，y最大应选C.答案：C3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离st32t2，那么速度为0的时刻是()A1秒末 B0秒C2秒末 D0秒或1秒末解析：由题意知t0，且s4t24t4t(t1)，令s0，得t0或t1，应选D.答案：D4三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，那么三棱锥OABC体积的最大值为()A4 B8C. D解析：由题意，得V·2x··x·yx2(3x)x2x3,0<x<3，V2xx2x(2x)，令V0，得x2，当x(0,2)时，V>0，当x(2,3)时，V<0，x2时，Vmax，应选C.答案：C5假设一球的半径为r，那么内接于球的圆柱的侧面积最大为()A2r2 Br2C4r2 Dr2解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，那么Rrcos ，l2rsin .S侧2R·l2rcos ×2rsin 4r2sin cos .S侧4r2(cos2sin2)4r2cos 2.令S侧0，得.当，即Rr时，S侧最大，且最大值为2r2.答案：A6海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，某海轮的最大航速为30千米/时，当速度为10千米/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800千米，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为()A30千米/时 B25千米/时C20千米/时 D10千米/时解析：设航速为v(0v30)，燃料费为m，那么mkv3.把v10，m25代入上式，得k.总费用y×m×40020v2，那么y40v.令y0，得v20.y只有一个极值点，v20为最小值点答案：C二、填空题7某公司生产某种产品，固定本钱为20 000元，每生产一吨产品，本钱增加100元，总收益R(元)与年产量x(吨)的关系是R(x)那么总利润最大时，每年生产的产品产量为_解析：由题意，总本钱为C20 000100x，所以总利润为PRCP令P0，当0x400时，得x300；当x>400时，P<0恒成立易知当x300时，总利润最大答案：3008当圆柱形金属饮料罐的外表积为定值S时，它的底面半径为_时，才能使饮料罐的体积最大解析：设底面半径为r，高为h，那么S2r22rh，hr.体积Vr2hr2Srr3，由VS3r20，得r .答案：9.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD中，A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，那么此矩形的面积的最大值是_解析：设CDx，那么点C坐标为，点B坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)x·x，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2 .f(x)只有一个极值点，当x时，f(x) 取最大值.答案：三、解答题10在某河段新建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？解：(1)设需新建n个桥墩，那么(n1)xm，即n1，yf(x)32n(n1)(2)x32(2)xm2m32(0<x<m)(2)当m96时，f(x)96160，f(x)96，令f(x)0，得x16，当0<x<16时，f(x)<0，f(x)为减函数，当16<x<96时，f(x)>0，f(x)为增函数，当x16时，f(x)有最小值，此时n15.故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小11某经销商方案销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：假设x不超过20，那么q(x)；假设x大于或等于180，那么销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数)(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值解：(1)当20x180时，由解得q(x)(2)设总利润f(x)x·q(x)，由(1)得f(x)当0<x20时，f(x)126 000.f(x)在(0,20上单调递增，所以x20时，f(x)有最大值120 000.当20<x180时，f(x)9 000x300·x，f(x)9 000450，令f(x)0，得x80.当20<x<80时，f(x)>0，f(x)单调递增，当80<x180时，f(x)<0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有最大值240 000.当x>180时，f(x)0.综上，当x等于80元时，总利润取得最大值240 000元12.某物流公司购置了一块长AM30 m，宽AN20 m的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x m.(1)要使仓库占地ABCD的面积不少于144 m2，AB的长度应在什么范围内？(2)假设规划建设的仓库是高度与AB长度相同的长方形建筑，问AB的长度为多少时仓库的库容量最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)解：(1)依题意知DCNAMN，即，AD20x.故矩形ABCD的面积SAD·AB20xx2(0<x<30)要使仓库占地ABCD的面积不少于144 m2，即20xx2144，化简得x230x2160，解得12x18；即AB的长度应在 12,18内(2)仓库的体积V20x2x3(0<x<30)，那么V40x2x2.令V0，得x0(舍去)或x20.当0<x<20时，V>0；当20<x<30时，V<0.x20是V的极大值点，也是最大值点故当AB为20 m时，仓库的库容量最大13内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()ARB2R CRDR解析：设圆锥高为h，底面半径为r，那么R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2，令V0得hR或h0(舍去)，当0hR时，V0；当Rh2R时，V0.因此当hR时，圆锥体积最大，应选C.答案：C