2022年2022年量子力学习题汇集借鉴 .pdf

第一章习题证明下列算符等式0,BACACBCBABCACBACABCBACABBCACABACBA设粒子波函数为),(zyx，求在dxxx,范围内找到粒子的几率在球坐标中，粒子波函数为, r，试求：）在球壳 (r,r+dr)中找到粒子的几率；）在,方向的立体角d中找到粒子的几率已知力学量 F 的本征方程为nnnF求在状态波函数332211ccc下测力学量 F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数已归一或不归一的情况）第二章习题一粒子在二维势场,0),(yxV其它byax0,0中运动，求粒子的能级和波函数能级是否简并？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 由哈密顿算符2232222212222zyxmmH所描述的体系，称各向异性谐振子求其本征态和本征值利用递推关系11212)(nnnnnxdxd证明22222)2)(1()12() 1(2nnnnnnnnndxd并由此证明在n态下2,0nETP第 四 章 习 题证明)cossin(cosiA为2L和yL 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时，zL 没有确定值。对于一转动惯量为I的平面转子，其能量算符为ILHz2，求体系的能量本征态。如sin)0,(A，求),(t。量子化对称陀螺的哈密顿量可写成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 222212121zyxLILLIH试求该对称陀螺的能量本征值。一质量为 m的粒子被限制在半径为ar和br的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。求粒子的基态能量和归一化本征函数。第 五 章 习 题J为一角动量算符。 试计算xJ 、yJ 、zJ 在zJJ ,2的共同本征函数构成的表象中，21j的子空间的矩阵表示。已知体系的哈密顿量H与另一力学量B在能量表象中的表示为200020001H，100001010bB0t时体系的态矢量为11221)0(（1）求在0t及任何时刻体系能量的可能值及几率，和体系的平均能量。（2）t 时刻的态矢)(t。（3）求该体系力学量B的可能值及几率和B的平均值。（4）0t时体系在B表象中的态矢)0(。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 六 章 习 题设氢原子状态是),(23),()(2110211121YRYrR(1) 求zL 和zS 的平均值；(2) 求总磁矩SceLceM2的 z 分量的平均值（用玻尔磁子表示） 在zS 表象下求解xS 的本征值方程在xS 的本征矢测量zS 有哪些可能值？这些可能值出现的几率及平均值并求此状态在xS 表象中的表示L和S为电子的轨道角动量和自旋角动量，证明0,SLL，0,SLS如果定义总角动量SLJ，证明0,SLJ设A、B是与对易的任意矢量算符，证明)()(BAiBABA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 七 章 习 题某物理体系由两个自旋21的非全同粒子组成已知粒子1 处于211zS的本征态，粒子 2 处于212 xS的本征态， 求体系总自旋2S的可能测量值及相应的概率（取1） 一个处于中心势的粒子具有轨道角动量2L和自旋1S求和形如SLAHso的自旋轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里A是个常数两个自旋21的粒子组成的系统由等效Hamilton 量2121SSBSSAHzz描述，其中1S 、2S 是两个粒子的自旋，zS1、zS2是它们的 z 分量，A和B为常数求该 Hamilton 量的所有能级两个无相互作用的粒子，质量相同为m，处于一维无限深势阱中，势阱宽为a2，在阱中势为零，阱外势无穷大 (1) 求系统四个最低能级的值是多少？ (2) 求这些能级的简并度， 如果这两个粒子 ( ) 是全同粒子， 自旋为21； ( ) 不是全同粒子，自旋都为21； ( ) 全同粒子，自旋为1固定在 z 轴上的两个电子间存在一个磁偶极偶极相互作用能zzSSSSAH21213iiS21，i为 Pauli 矩阵，A为常数（令1） (1) 用总自旋算子21SSS表示AH (2) 求AH的本征值和简并度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数：)(xa，)(xb，)(xc，其中cbaEEE两个没有相互作用的粒子置于该势阱中对下列(1) ，(2) ，(3) 各种情形写下：两粒子体系可能达到的两个最低能级；上述两个能级各自的简并度；与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数（用表示空间部分，SMS,表示自旋部分，S是总自旋） (1) 两个自旋为21的可区分粒子(2) 两个自旋为21的全同粒子 (3) 两个自旋为 0 的全同粒子第 八 章 习 题设一粒子作简谐振动， 其哈密顿量2220212xmmpH， 受微扰作用2cxH（2mc） 。试用微扰论求能级移动，并与精确结果比较。一个二维各向同性谐振子， 质量为 m ，频率为。在加入微扰xyH（为常数）后，求基态和第一激发态的一级能量修正。设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为aEbbaE)0(2)0(1其中 a 、b为实数。求（1）用微扰公式求能量至二级修正值。（2）直接求能量，并与（ 1）所得结果比较。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 总 复 习 题1. 试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量有哪些性质. 2. 某一角动量算符满足JJi J如果定义：J+ = Jx + iJy , J- = Jx - iJy试证明： (1) ,JJJZ; (2) ,JJ203. 已知一厄密算符在正交归一基矢uuu123,张成的三维空间中取如下矩阵形式101020101求其本征值和本征矢 . 4. 实际氦原子的基态当然是非简并的。但是，考虑一假想的氦原子，其中两个带负电的，自旋为1 的全同粒子代替了原来的两个电子。对这种假想的氦原子，问其基态的简并度是多少？给出你的理由（忽略与自旋有关的作用） 。5试写出一被束缚在半径为a 的圆周上运动的粒子的能量本征方程，并求解之。6对于坐标 x 构成算符xe?(1) 证明它是厄密算符；(2) 求出它在坐标、动量表象中的表示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 有一在2221xm势作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为)(21)(23)(65xxx式中)(xn为其归一化的本征函数，相应的本征值为21nEn(1) 求这一时刻的能量平均值；(2) 求这一时刻的位置平均值；(3) 过了一秒钟后，能量平均值和位置平均值是否发生变化？为什么？8 有一三电子系统， 电子有三种可能的轨道态A，B，C和两种自旋态，。则系统的反对称波函数的数目是多少？并举出两个具体例子。9已知体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为2002002H(1) 求体系能量本征值及归一化本征矢；(2) 求将H对角化的幺正变换矩阵。10在zs 表象中，求在zs 的相应于本征值为2的本征态中，xs 的可能值及相应的几率。如果在xs 表象中求解上述问题，会得到什么结果？11试证明守恒量的平均测量值不随时间变化。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 12在轨道角动量算符2L和zL 的共同本征态),(lmY下，计算下列期望值：(1) xL 和yL ； (2) 2xL 和2yL； (3) 2xL 和2yL。13自旋0s的三个全同粒子处在某有心力场中，忽略粒子之间的相互作用。三个粒子所处单粒子定态的量子数rn 和l均相同，且1l。求体系的可能的状态数，并且用简练的形式（如Dirac 符号）表示之。14设哈密顿量在能量 (0H )表象中的矩阵为aEbbE21其中 a 、b为小量。(1) 用微扰法求能级至二级修正值；(2) 求准确的能级值，与 (1)的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件。15考虑一个具有三维态空间的物理体系。在态空间选定一组正交归一基，在这组基下，哈密顿量可用矩阵300021012H表示。(1) 当测量系统的能量时，可能的结果是什么？(2) 一个粒子处于，用这组基表示为iii31，求 H 、2H和H。16. 考虑两个粒子体系， 每个粒子都有自己的角动量1L 和2L 。证明21LLL是一个角动量算符，即满足对易关系LiLL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -