2022年2022年矩阵及其运算 2.pdf

线性代数第二章矩阵及其运算 1 第二章矩 阵 及 其 运 算矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是英国数学家西勒维斯特 在 1850 年首先使用的，但历史非常久远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的九章算术，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法就是矩阵的初等变换。矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849 年英国数学家 凯莱 介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱 毕业于剑桥三一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡献，一生发表近千篇论文。本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧矩阵分块法。本章要求掌握矩阵的运算，会求可逆阵的逆矩阵。1 矩 阵一. 矩阵的定义1、 引例10求解线性方程组是一个重要问题，但仅仅写方程组就很麻烦，我们的想法是能否找到与线性方程组一一对应的等价形式，从而化减线性方程组的求解运算。设含个 m 方程、 n 个未知数的线性方程组为mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 (1) (1) 的系数共有mn 个数，可排成一个m 行 n 列的矩形的数阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211mnmmnnaaaaaaaaa212222111211且这个数阵与(1) 式左端构成一一对应，称为线性方程组(1) 的系数矩阵 。20列昂杰夫投入产出模型从经济角度来看，每个部门都有双重身份：作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要产出作为消费者又消费着其他部门生产的产品 投入设某国民经济( 或某地区的经济) 有 n 个经济部门。为简单起见，假定每部门只生产一类产品。为便于比较，用货币来表示各部门所生产的产品与消耗的商品: ija表示每生产1 万元第 j 类商品要消耗掉ija万元的第 i 类商品，称为 投入系数 ，显然0ija。例如45.034a：表示每生产1 万元第四类商品要消耗掉0.45 万元的第三类商品。所有的投入系数共n n 个，可排成一个n 行、 n 列的数表，将数表用一括号括起来，即有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 2 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211称为 投入产出矩阵。例如06.022.031.021.021.04. 05. 018.025.0A 运行正常！但效益最好的是生产第2类产品的部门。A:第一列元素分别表示生产第一类商品所消耗的第一类商品、第二类商品及第三类商品的价值（用货币表示）；同理，第二（三）列的元素则分别表示生产第二（三）类商品所消耗的各类商品的值。若ija1，则表明每生产1 万元的第 i 类产品就要消耗掉1 万多元的第j 类产品 亏损！ ！若 A 的某列元素的和 1意味着每生产1 万元此类产品消耗了1 万多元 亏损！ ！ ！这种由 m 行 n 列个数构成的数表在数学上就被抽象成矩阵的概念。定义由 mn 个数ija排成的 m 行 n 列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为 m 行 n 列矩阵 ，简称 m n 矩阵 ，记为AmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211. 这 m n 个数称为矩阵A 的元素 ，也简称为元，元素ija位于矩阵的第i 行第 j 列，称为矩阵的( i, j) 元，矩阵 A 也常简记为 (ija) ，m n 矩阵 A 也记为nmA或nmija )(. 注矩阵和行列式不一样！ ！ ！矩阵是一个数表，而行列式是一个实数！实矩阵 元素均为实数的矩阵。复矩阵 元素中有复数的矩阵。注我们只研究实矩阵，如不特别申明，今后所提到的矩阵均为实矩阵。方阵 行数与列数都等于的矩阵称为n 阶矩阵 ，或强调称为n 阶方阵 ，常记为nA. 行矩阵 只有一行的矩阵AB)(21naaaA，又称 行向量 ，也记为),(21naaa. 列矩阵 只有一列的矩阵nbbbB21，又称 列向量 。同型矩阵 行数相等，列数也相等的矩阵。矩阵的相等 若 A、B 为同型矩阵，且对应元素相等，即),2, 1, 2, 1(njmibaijij；就称矩阵 A 与 B 相等 ，记作 A = B. 零矩阵 元素均为零的矩阵，记为O. 注意：不同型的零阵是不相等的。例 1某厂向三个商店发送四种产品的数量就可用矩阵表示A433232314223222141131211aaaaaaaaaaaa，其中ija表示工厂向第i 店发送第j 种产品的数量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 3 且这四种产品的单价和单件重量也可表示为矩阵4241323122211211bbbbbbbbB，其中1 ib为第 i 种产品的单价，2ib为第 i 种产品的单件重量。例 2四城市间的单线航线通航图如右图所示，令。市没有单向航线市到从；市有一条单向航线市到从，jijiaij01则此航线图可用矩阵表示为0101001000011110)(ijaA，000120010101010101012101155D一般地， 有限多个点之间的单向或双向通道图都可以这样用矩阵表示，它实际上就是用矩阵作工具进行研究的一个数学分支图论的内容。方阵A 称为图的邻接矩阵。例 3若个 n 变量nxxx,21与 m 个变量myyy,21之间有变换关系nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111， (2) 称(2) 为一个从n 个变量nxxx,21到 m 个变量myyy,21的线性变换 ，其中ija为常数，显然 (2)的系数可构成一矩阵nmijaA)(，称为线性变换(2) 的系数矩阵 。给定线性变换(2) ，其系数矩阵就可被唯一确定；反过来，给定一矩阵作为线性变换的系数矩阵，则就唯一确定一个线性变换。这表明线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系，这使得我们可将对线性变换的研究转化到对矩阵的研究上，或说通过研究矩阵理论达到研究线性变换理论的目的，体现了矩阵理论的一个应用。因此对一些特殊线性变换对应的矩阵应有足够的认识是重要的。例如1000010000100001nEnnxyxyxy2211n00000000000021diag),(21nnnnxyxyxy2221110001011yxxcossinsincosyxyyxxcossinsincos11sincosryrx)(sin)sincoscos(sin)(cos)sinsincos(cos11rryrrx.n阶单位阵 ：ijija恒等变换对 角 阵两个变量到两个变量的线性变换可给出几何解释：平面上( x, y)到(11, yx) 的坐标变换投影变换旋转变换单价单位重量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 4 这表明这个线性变换将平面上的点)sin,cos(rrP变为) )(sin),(cos(1rrP， 或说将极坐标系中坐标为( r,) 的点 P 变为极坐标为 (r,+ ) 的点 P1，从几何上看就是将向量PO的幅角增加长度保持不变，即这是一个以原点为中心旋转角的变换，称为旋转变换 。2 矩阵的运算只有赋予数四则运算，数才有了生命力一样，也只有赋予矩阵运算，它才能有生命力，才能得到更好的应用。我们从最简单运算入手：一、矩阵的加法定义 2设有两个m n 矩阵)(),(ijijbBaA，矩阵mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA称为矩阵A 与 B 的和，记为A+B. 即有注同型阵之间才能进行加法运算。称矩阵 - A =)(ija为矩阵 A 的负阵 ，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法 运算：)( BABA. 矩阵的加法实际上是转化为实数的加法来定义的，故其运算性质同于实数加法的运算性质。运算规律 ： 交换律ABBA； 结合律)()(CBACBA；OAA)(； A+ O = A. 二、数与矩阵相乘定义 3矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211AA称为数与矩阵 A 的乘积，记为A ，或 A. 即有运算规律 ： 结合律)()()(AAA； 矩阵关于数加法的分配律AAA)(； 数关于矩阵加法的分配律BABA)(. 注利用数乘也可以定义负阵和减法。三、矩阵与矩阵相乘我们回到矩阵的一个抽象背景线性变换，看其一个实际问题：请自己给出证明即用数遍乘矩阵 A的每一个元素也是转化为数的相乘即对应元素相加请自己给出证明名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 5 设有两个线性变换32322212123132121111xaxaxayxaxaxay (3)，232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx (4)，要求从变量21,tt到变量21, yy的线性变换，只需将(4) 代入 (3) ：232232222122113123212211212232132212121113113211211111)()()()(tbababatbababaytbababatbababay, (5) 线性变换 (5) 是先作线性变换(4) ，再作线性变换 (3) 的结果， 在线性变换里称线性变换(5) 是(3) 与 (4)的乘积 ，从矩阵的角度分析看：线性变换 (5) 的矩阵 C 是由 (3) 的矩阵 A 与(4) 的矩阵 B 按一定的运算规律得到的：乘积矩阵的元素ijc= 左矩阵的第i 行元素与右矩阵的第j 列对应元素 乘积之和 ：323122211211232221131211bbbbbbaaaaaa322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa. 将这个现象在矩阵理论里反应出来，即从中抽象出矩阵乘法的一般定义。但首先要注意：要想做出左矩阵的第i 行元素与右矩阵的第j 列对应元素 乘积之和 必须要求左矩阵的列数 =右矩阵的行数。定义 4设是 A 一个 m s矩阵， B 是一个 s n矩阵，记矩阵A 与 B 的乘积 为)(ijcCAB，其中 C 是一个 m n 矩阵，skjkikj ssijijiijbabababac12211),2,1;,2,1(njmi，注矩阵乘法定义相当复杂，能否简单些，比如定义成对应元素相乘岂不很容易接受，从而更方便吗？历史上确有人给出过这种形式的定义阿达玛定义，但由于它毫无实际意义，从而没有研究价值，自然消亡了。我们的乘法定义是源于实践，具使用价值。虽然复杂点，但多练习一样应用自如。回头看引例，所谓求两个线性变换的乘积，实际上只需求它们对应矩阵的乘积：C=AB.类似与矩阵的加减法，并非任两个矩阵都能相乘，能相乘的关键是：左矩阵的列数= 右矩阵的列数 。例如例 4求矩阵431130021114,20121301BA的乘积。解1199129803060122018430030011604AB. 注意两个特殊矩阵的乘积结果，一个1 s 的行矩阵与一个s 1 的列矩阵的乘积是一个1 1 的一阶矩阵，即是一个实数：11211211111211111211)(ssssbabababbbaaa；)(1121112111ssaaabbbssssssababababababababab111211111211221112111112111111.类似于数的运算，利用矩阵的乘法可定义矩阵的乘方运算矩阵的幂 ：定义设 A 是 n 阶方阵，定义AkkkAAAAAAAAAAAAA个1111121,，k 为正整数。显然只有方阵的幂才有意义，矩阵乘法与实数乘法有不同的地方：10矩阵乘法不满足交换律，即BAAB交换相乘顺序可导致不同的结果(注) ，或交换后无法相乘。即便是很特殊的情形也未必可交换：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 6 例 5矩阵6342,2142BA的乘积 AB 与 BAOBABA1683216. 20有非零的零因子上例 A, BO，但 BA = O. 30不满足消去律1101,1241,6342CBA，ACABACAB6946,6946，但CB. 请记住：这就是矩阵与数的不同之处。但它仍有不少相同之处：运算规律 ： 结合律)()(BCACAB； 数乘结合律)()()(BABAAB； 分配律左分配律：ACABCBA)(；右分配律：CABAACB)(. 乘单位阵不变nmnnmnmnmmAEAAAE,. 乘方的性质lklkAAA；lklkAA )(. 注有了以上定义的所有运算即其性质，在运算可运行的条件下，矩阵就可以类似代数运算进行了，如22223108?32128)4()32(BABABABBAABABA，但要注意乘法无交换律。例 6证明旋转变换的乘方nnnnncossinsincoscossinsincos.证用数学归纳法。显然当n =1 时结论成立。假设当n = k 时结论成立，往证n = k+1 时结论也成立：cossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincos1kkkkkk) 1(cos) 1(sin)1(sin)1(coskkkk. 注从几何角度看：nnnncossinsincos是将向量PO一次旋转角 n， 而nc o ss i ns i nc o s是将向量PO连续旋转n 次角，效果一致，故等式的成立是毫无问题的。我们也回头看一下矩阵的乘法在其它实际中的应用：上节例 1 中向三个店发送 四种产品 的数量构成了矩阵A，四种产品的单价与单件重量构成了矩阵 B，作它们的乘积：AB433232314223222141131211aaaaaaaaaaaa4241323122211211bbbbbbbb23)(ijcC412341134122411241214111kkkkkkkkkkkkkkkkkkbabababababa，第一列的元素1ic分别表示 向三个店发送 产品的总值；第二列的元素2ic分别表示 向三个店所发送产品的总重量 。上节例 2 四城市间的单线航线通航图可用矩阵A 表示，11200001111001122A)(ijb请自己给出证明总值总重量从几何直观上看： 将向量连续转动n 次角等同于将其一次转动角n理解为什么叫单位阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 7 41kjkikijaab，因为jkikaa,分别表示i (k)市到 k(j) 市有无单向航线，即jkikaa,非 0 即 1，故它们的乘积非0 即 1，且仅当j kikaa,都为 1 时其乘积才为1，即有jkikaa所以ijb表示 从 i 市经一次中转到j 市的所有单向航线的总条数；ji时，iib表示 i 市与 其它 3 个市双向航线的条数。如123b表明从市经一次中转到市的单向航线只有一条：；242b表明从市经一次中转到市的单向航线有两条：和 ；211b表明市与其它市的双向航线有两条： 和 ；033b表明市于其它市无双向航线。上节例 3 中的线性变换 (2) 中记系数矩阵A)(ija，n 个变量 Xnxxx21，m 个变量 Ymyyy21，则线性变换 (2) 可用矩阵的乘法简单地表示为AXY. 也就是说，线性变换(2) 把变量X 变成 Y，相当于用矩阵A 去左乘向量X 得到向量 Y.类似地，线性变换(3) 与(4) 的乘积变换 (5) 可用矩阵表示为ABTAXY，其中 X321xxx，Y21yy，T21tt，A232221131211aaaaaa, B323122211211bbbbbb，BTXAXY，. 投影变换可表示为yxyx000121， 其中POyx,121POyx， 旋转变换则可表示为yxyxcossinsincos21.四、矩阵的转置类似于行列式转置的定义，可以给出矩阵转置的概念。定义 5把矩阵 A 的行换成同序号的列得到的新矩阵叫做A 的转置矩阵，记为AT. 例如，113021A的转置矩阵为101231TA。矩阵的转置实际是关于矩阵的一种运算，它满足的运算规律 ： ( 转置再转置 ) AATT)(； ( 和的转置 ) TTTBABA)(； ( 数乘的转置 ) TTAA)(； ( 乘积的转置 ) TTTABAB)(. 注乘积的转置等于转置的交换乘积，这个等式给出了求乘积的转置的两种方法，看例7：例 7(P.50) 请自读。利用转置概念可得到对称阵的概念：定义若 n 阶方阵 A 满足AAT，即),2,1,(njiaajij i，则称 A 为对称阵。例 8设列矩阵XTnxxx),(21满足1XXT，E 为 n 阶单位阵，TXXEH2证明 H 是对称阵，且EHHT. 证HXXEXXEXXEHTTTTTTT2)(2)2(， H 为对称阵。0 i 市到 k 市或 k 市到 j 市无单向航线；1i 市到 k 市和 k 市到 j 市都有单向航线，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 8 EXXXXEXXXXXXEXXEHHHTTTTTTT44)()(44)2(22. 注TTTAAAA)(，AAAATTT)(，TTTAAAA)(，即 任一方阵 A 与它的转值TA的乘积与和都是对称阵。问题TAA？)()(TTTTAAAAAA. 注类似地可给出 反对称阵 的定义：若n 阶方阵 A 满足AAT，或ijijaa. 如018102820，关于反对称阵有两个有用的结论：10 任一方阵A都可以分解成对称阵与反对称阵的和，)(21)(21TTAAAAA. 20 奇数阶反对称阵的行列式为零( 请自证 ) 。即0018102820. 注方阵是很重要的一类矩阵，有它独特的概念与性质。关于方阵，我们已介绍了乘方运算、对称阵和反对称阵的概念，本节的最后继续再介绍几个与方阵关联的概念。五、方阵的行列式定义 6 方阵 A 的元素位置不变构成的行列式称为方阵 A 的行列式 ，记为A 或detA. 注设042121321010101821BA，则0,7BA. 实际上，方阵的行列式若按其值分类就两类：0, 或非 0. 若方阵的行列式0，则称其为 非奇异方阵 ，否则称为 奇异方阵 。你能举一些非奇异和奇异矩阵的例子吗？01E，单位阵都是非奇异阵，对角线元素均不为零的对角阵和三角阵也都是非奇异阵。运算规律 ( 转置阵的行列式) AAT； ( 数乘的行列式 ) AAn； ( 乘积的行列式 ) BAAB. 注性质就是行列式的性质1 转置性质。强调AA，A 只是用去乘行列式A 的某一行或列，A则是用遍乘 A 的每一行或列 ！ ！ ！关于性质强调几点：10 只有两个同阶方阵相乘时，性质猜成立，即BABAnssn，因为后者就不存在；20 虽然BAAB，但ABBAAB；30 由性质立即可得乘方的行列式性质：nnAA. 证设 A)(ija, B)(ijb，令二阶行列式BEOADn2，由第一章例10 知BAD；另一方面通过行列式的运算，还可将D 变成一个分块的副三角行列式OECADn2，即要将 D右下角的矩阵B 变为零矩阵O ：分块下三角行列式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 9 nnnnnnbbbbbbbbb2122221112111000010000100001，要将 B 的第 1 列元素变成0，只需作运算nnncbcbcbc12211111，要将 B 的第 2 列元素变成0，只需作运算nnncbcbcbc22221122，, 要将 B 的第 n 列元素变成0，只需作运算nnnnnnncbcbcbc2211，即作行列式运算：),2, 1(2211njcbcbcbcnjnjjjn，相应地就有)(ijcC，jninjijiinjnijijijbababaabababc22112211，这表明ABC，又CAOEDn)1(，所以ABCCEDnnn)1() 1()1(，故结论成立。例9 由行列式A 各元素的代数余子式ijA构成的矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为 A 的伴随矩阵 。试证：EAAAAA. () 证设 A)(ija，记AA(bij) ，即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnAAAAAAAAA212221212111( bij)AAAA000000000000. 即ijjninjijiijAAaAaAab2211，所以EAAAAAijij)()(；同理可证nkikAAA1(akj )EAAAijij)()(. 注在下节中会看到伴随矩阵是一个与方阵相关的重要概念，()式称为伴随矩阵的重要公式。3 逆 矩 阵实数有四则运算： ，除加、减、乘之外还有除法，且可利用乘法定义除法：对任一非零的实数a，都存在唯一的实数1a，满足111aaaa，称1a为 a 的逆元，并定义1abab. 在矩阵理论中，我们已定义了加、减、乘法，且也有单位元的概念单位阵，那么我们能不能模仿实数运算，给出矩阵的逆元概念，即对于任一矩阵A，有没有矩阵使得EBAAB。先看个引例。1、 引例即将ijA放在),(ij位上展开定理最后的重要结论注意 E 不可缺少名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 10 设有一个 n 个变量到n 个变量的线性变换nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111， (1) 其系数矩阵为一n 阶方阵 A， 记 Xnxxx21，Ymyyy21， 则(1) 可用矩阵乘法表示为AXY， 若0A，由克莱姆法则知，)(12211nniiiiyAyAyAAx. 记ijbAAji，即有nnnnnnnnnnybybybxybybybxybybybx22112222121212121111， (2) (2) 式表明，变量nxxx,21可用变量nyyy,21线性表示，且这个表示式是唯一的。称线性变换(2) 是(1) 的逆变换 ，记逆变换 (2) 的系数矩阵为B，则(2) 可用矩阵乘法表示为BYX. 我们知道线性变换与其系数矩阵构成一一对应。下面的关键是看看线性变换(1) 与它逆变换 (2) 的系数矩阵之间有什么关系？ 首先提醒一下：一组变量自身到自身的线性变换是恒等变换，它的系数矩阵是单位阵。因为YABAXY)(EAB；另一方面，又因为XBABYX)(EBA，EBAAB（AAB1） . 但应注意，得到这个等式是有限制条件的： A 必须是方阵；A0. 除去其实际背景，由此抽象出逆阵的概念：2、 定义定义 7对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B，使得EBAAB，则称矩阵A 是可逆的 ，称矩阵 B 是 A 的逆矩阵 。注 ( 唯一性 ) 若 A 可逆，则 A 的逆阵是唯一的。因为若B, C 都是 A 的逆阵，即ECAACEBAAB,，则CECCBAACBBEB)()(. 所以逆阵是唯一的。既然唯一，就用一个符号记，记A 的逆阵为1A. 并非每个方阵都是可逆的，如A0001，若 A 可逆，设 A-1dcba，则有1001000001badcba0=1，故 A 不可逆。问题 ： ( 存在性 ) 方阵 A 满足什么条件时可逆? ( 如何求 ) 可逆时，怎样求逆阵？3、 可逆的等价条件定理n 阶方阵 A 可逆的充要条件是0A，且可逆时AAA11. 证“” ：若 A 可逆EAA111EAAA0. 对iA应用展开定理BYX，其中AAB1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 11 “” ：若 A0，由伴随矩阵重要公式EAAAAA知EAAAAAA11，由可逆阵定义知AAA11. 注定理不仅解决了逆阵的存在问题，而且给出了一个求逆阵的方法：AAA11. 推论若存在 B，使得EAB( 或EBA) ，则 A 可逆，且 B =1A. 证由条件可得1EBAA0，由定理知A 可逆，且有1111)()(AEAABABAAEBB，同理可证EBA的情形。注推论实际上是定义的简化形式，今后它完全替代了可逆的定义，再验证可逆时，只需验证满足推论的条件：EAB( 或EBA). 注意积累可逆的等价条件：A 可逆EBAABB,EABB,( 或EBA) A0 A 是非奇异阵。4、 逆矩阵的运算性质 可逆阵 A 的逆矩阵仍可逆，且AA11)(；0 时，可逆阵的数乘A仍可逆，且111)(AA数的逆元与A 的逆阵的乘积； 若 A、 B 为同阶可逆矩阵，则AB 仍可逆，且111)(ABAB逆阵的交换积； 可逆阵 A 的乘方仍可逆， 且mmAA)()(11 乘方的逆阵等于逆阵的乘方，记为mA； 可逆阵 A 的转置仍可逆，且TTAA)()(11 求逆运算与转置运算可交换； 可逆阵 A 的逆阵的行列式AA11 逆阵的行列式等于原阵行列式的倒置。证 即证1A的逆阵是 A：按定义的简化形式只需证EAA1，这是显然成立的。 同上只需证：EAA)1()(1. 由数乘结合律知：EEAAAA11)1()(11，故结论成立。同理也应用定义简化形式即可证得、和. A 可逆，A0，且EAA1AA11. 5、逆阵的求法举例例 1求矩阵 Adcba的逆阵)0(bcad. 解AAA11acbdbcad1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 12 例2 求对角阵n1的逆矩阵。解对角阵只有乘对角阵才能等于对角阵，故猜n1111，直接用简化定义验证：n1n111E ，n1111. 注例 1 和例 2可作为公式用， 如1113,1201BA， 则 A， B 可逆，且311141,120111BA. 关于对角阵的运算有它自己特殊的性质，例如：对角阵与对角阵的乘积是对角元素对应乘积构成的对角阵。习题中也有介绍，应注意总结积累。例 3 求343122321A的逆矩阵。解P.56 例 10 自读 。注三阶以上矩阵用伴随阵方法求逆阵除非有较多的元素为零，否则计算量很大，要计算n2个 n-1 阶行列式和一个n 阶行列式。所以实际应用价值不大，以后必须另找办法解决逆阵的求法。小结 求逆矩阵方法，现有两种方法：方法一用伴随阵求。主要应用于二阶矩阵和一些含零较多的矩阵中。方法二 ：用定义 ( 简化形式 ) ，如例 2，主要用于与抽象矩阵的相关题目中。例如：例 4 设方阵 A 满足OEAA22，证明 A 可逆，并求1A. 证EAA22EEAA)(21A 可逆，且)(211EAA. 利用逆阵，还可以解某些矩阵方程，例如例 5(P.57 例 11)设343122321A，3512B，130231C，求矩阵X 使满足AXB = C .解（分析：若A, B 可逆，则用1A左乘上式，1B右乘上式，有1111CBABBXAA）02A，01B， A, B 可逆，且111323125231A，25131B，11BCAX111323125231302312513202011251340140112. 例 6（编码应用）A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15P Q R S T U V W X Y Z ! 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 13 Welcome!shanshida： 23 5 12 3 15 13 5 27 28 19 8 1 14 19 8 9 4 1将发送数字排成 6 3 的矩阵 : 149891411891287253151321532C。为增加破译难度，收发双方可约定一个保密矩阵：500031521A，则10051151231A.发送者将CA 的 18 个数字按序发出， 接收者将收到的数字排成63 矩阵 CA， 再右乘 A-1：CAA-1 = C.6、伴随矩阵的性质：A可逆A 可逆，且)(1)(11AAAA；1AAA；1nAA；AkkAn 1)(；AAAn 2)(. 课后可自己试着证明。 4矩 阵 的 分 块作用：简化高阶矩阵运算；简化矩阵运算的表达形式。一、分块矩阵的概念将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块 ( 或子阵 ) ，以子块为元素形成的矩阵称为 分块矩阵 。例如A343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa22211211AAAA， 或232221131211AAAAAAA. 并也可称j iA为矩阵 A 的 ( i, j) 块。注分块的方式不唯一。二、分块矩阵的运算1、线性运算 ( 加法与数乘 ) 设矩阵 A, B 为同型阵，且分块方式相同，,为数，则j iijBABA，即对应子块作相应的线性运算。分开说就是：加法是对应子块相加，数乘实用数遍乘。2、乘法运算设 A 为 ml 矩阵， B 为 ln 矩阵，并分块成ststAAAAA1111，rttrBBBBB1111名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 14 其中 A 每行子块的列数等于B 每列子块的行数，则rssrCCCCAB1111tkjkikBA1，注分块阵能进行乘法运算要求两条：A 的列数= B 的行数；A 第 i 行子块的列数= B 第 i列子块的行数。实际上更麻烦。3、转置运算ststAAAAA1111，则TstTsTtTTAAAAA1111，即大块小块一起转。注分块矩阵的运算实际上自然地就要求两条：将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求，相应的子块间也应符合运算的要求。现在根本看不到简化的作用，好像更麻烦。 实际上分块的简化作用是体现在特殊的分块阵上。三、特殊的分块阵1、分块对角阵设 A 为 n 阶( 方) 阵，若 A 可分块为sAOOAA1，称 A 为分块对角阵。则 (1) msmmAOOAA1；(2)sAAAA21；(3) A 可逆sAA,1可逆，且1111sAOOAA. 注实际上， 分块对角阵的运算(加减、数乘、乘法、乘方、转置、行列式和逆阵) 就是对其对角线子块做相应运算！ ！ ！分块副对角阵？请看 P.69 22. 求逆阵的第三种方法：将矩阵分块分块法！即求逆阵有三种方法了。类似的可考虑 分块三角阵分块上、下三角阵或准上、下三角阵的求逆阵运算问题。例1 设120130005A，求1A. 解21120130005AOOAA，3211,1213,51,)5(122111AAAA32011000511A. 还有一种矩阵的分块形式非常重要，由它可以给出一个线性方程组的多种表达形式，理解掌握不好这些表达形式，会对后面理论的学习造成很大的障碍。这就是2、按行 ( 列) 分块及应用任一个矩阵nmA都可按行分块为TmTA1，其中TiniiTiaaa),(21称为 A 的第 i 个行向量；类似地，nmA也可按列分块为A=),(21naaa，其中jamjjaa1称为 A 的第 j 个列向量。应用 1：我们曾表示线性方程组也简称为 A 的行阵也简称为 A 的列阵表示列向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 线性代数第二章矩阵及其运算 15 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111bAx，其中 Amnmmnnaaaaaaaaa212222111211, bmbbb21, xnxx1，记 Bmmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211称为方程组的增广矩阵 ，它才能与非齐次线性方程组构成一一对应。在上述记号下：),()(21baaabABn，bAxxxATmTT21b xTibi ),2,1(mi；),(21naaanxx1b baaann2211. 应用 2：在矩阵的乘法表达式中，设A 为 ms 矩阵， B 为 s n 矩阵，并将A 按行、 B 按列分块，ststAAAAA1111，r ttrBBBBB1111则nTmTbbAB,11jTib)(j ic，其中ijcjTibnkjkikmjjinibabbaa111),(. 应用 3：与对角阵相乘的作用。设为对角 ( 方)阵，则nmmAm1TmT1TmT1即用对角阵左乘 A 用对角元素分别乘A 的行向量。nnmA),(21naaan1),(2211nnaaa即用对角阵右乘A 用对角元素分别乘A 的列向量。是列向量naa,1的一个线性运算，运算结果为列向量b，或说naa,1可由b线性表出可用行阵的运算表示线性方程组运算结果是实数可用列阵的运算表示线性方程组今后常用的形式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -