2022年高考数学 黄金易错点专题汇编 专题02 函数和反函数.doc

2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题02 函数和反函数1记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B.(1)求A；(2)若BA，求实数a的取值范围2记函数f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N求 集合M，N； 集合MNMN. 3若集合M=y|y=2-x，P=y|y=，则MP等于 ( )Ay|y1 By|y1C.y|y>0 Dy|y04已知a0，且函数f(x)=(x2-2ax)ex在-1，1上是单调函数，求a的取值范围5已知函数f(x)=ax+(a1)(1)证明：函数f(x)在(-1，+)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根6若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-，0)上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)0的x的取值范围是 ( )A(-，2)B(2，+)C(-，-2)(2，+)D(-2，2)7设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的图像关于直线x=对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_8设函数f(x)在(-，+)上满足f(2-x)=f(2+x)f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2005，2005上根的个数，并证明你的结论9 y=(1x2)的反函数是 ( )A.y=1+(-1x1)B.y=1+ (0x1)C.y=1- (-1x1)D.y=1- (0x1)10设f-1(x)是函数f(x)=(ax-a-x)(a1)的反函数，则使f-1(x)1成立的x的取值范围为 ( )A(，+) B(-，)C(,a) D(a，+)11.设函数f(x)的图像关于点(1，2)对称，且存在反函数f-1(x)，f(4)=0，f-1(4)=_ 故当BA时，实数a的取值范围是(-，-2)，1 【错解分析】 上面解答认为f(x)为单调函数,f(x)就只能为单调增函数，其实f(x)还有可能为单调减函数，因此应令f(x)0或f(x)0在-1，1上恒成立【正确解答】 设-1<x1<x2,f(x2)-f(x1)=ax2+=ax2-ax1+=ax1(ax2-x1-1)+=ax1(ax2-x1)+.x2-x1>0，又a>1，8 【错误答案】 依题意f(x)=f(4-x)f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x)，f(x)=f(x+10)f(x)是以 10为周期的函数,f(3)=0f(-3)=f(7)=0f(3)=f(-3)=-f(3)f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)由(1)知f(x)是周期为10的周期函数，又f(3)=f(1)=0，f(11)=f(13)=f(-)=f(-9)=0故f(x)在0，10上有两个解，从而可知函数y=f(x)在0，2005上有401个解-2005，0上有401个解，所以函数丁y=f(x)在-2005，2005上有802个解10【错误答案】 C y= (ax-a-x)，a2x-2y·ax-1=0ax=y+x=loga(y+)，x、y对换f-1(x)=loga(x+)(xR)又f-1(x)1，loga(x+)1x +a. a-x<x<a选C.易错起源1、函数的定义域和值域 例1对定义域Df、Dg的函数y=f(x)，y=g(x)，规定：函数h(x)=(1)若函数f(x)=,g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)中函数h(x)的值域1.对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能为空集。2.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用易错起源2、 函数单调性的应用 例2若函数f(x)=l0ga(x3-ax)(a0且a1)在区间(-，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( ) A.，1 B.，1 C.，+ D.(1，-) 1.讨论函数单调性必须在定义域内进行，因此讨论函数的单调性必须求函数定义域2函数的单调性是对区间而言的，如果f(x)在区间(a，b)与(c，d)上都是增(减)函数，不能说 f(x)在(a，b)(c，d)上一定是增(减)函数3设函数y=f(u)，u=g(x)都是单调函数，那么复合函数y=fg(x)在其定义域上也是单调函数若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=fg(x)是增函数；若y=f(u)，u=g(x)的单调性相反，则复合函数y=fg(x)是减函数列出下表以助记忆y=f(u)u=g(x)y=fg(x)上述规律可概括为“同性则增，异性则减”易错起源3、函数的奇偶性和周期性的应用 例3定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x3，4时,f(x)=x-2则 ( )Af(sin)f(cos) Bf(sin)f(cos)Cf(sin1)f(cos1) D.f(sin)f(cos)【正确解答】 C 由f(x)=f(x+2)知T=2为f(x)的一个周期，设x-1，0，知x+43，4 f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2 f(x)在-1，0上是增函数 又f(x)为偶函数，f(x)的图像关于y轴对称 f(x)在0，1上是减函数 A：sin<cosf(sin)>f(cos) B：sincosf(sin)f(cos) C：sin1>cos1f(sin1)<f(cos1)故正确答案C 1函数奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断有时需要将函数进行化简2要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性，要充分利用f(x)与f(-x)之间的转化关系和图像的对称性解决有关问题 3解题中要注意以下性质的灵活运用. (1)f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)(2)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0.易错起源4、反函数的概念和性质的应用 例4函数f(x)=x2-2ax-3在区间1，2上存在反函数的充分必要条件是 ( )Aa(-，1)Ba2，+Ca1，2 Da(-，1)2，+1.求反函数时必须注意：(1)由原解析式解出x=f-1(y)，如求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只能取一个；(2)要求反函数的定义域，即原函数的值域2分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成3若点(a，b)在原函数y=f(x)的图像上，则(b，a)在反函数y=f-1(x)的图像上 1.函数f(x)=x+,则其反函数的定义域是 ( )A(-，-1)1，+)B1，+) C-1，0D-1，0(1，+) 2. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=-f(x+4)当x2时，f(x)单调递增，如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，则f(x1)+f(x2)的值为 ( )A.可能为0 B恒大于0C.恒小于0 D可正可负 3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=()x，那么f(x)=()x，那么f-1(0)+f-1(-8)的值为 ( )A2 B-3 C3 D-2 4.符号x表示不超过x的最大整数，如=3，-108=-2，定义函数x=x-x，那么下列命题中正确的个数是 ( )函数x的定义域为R，值域为0，1；方程x=有无数解；函数x是周期函数；函数x是增函数A.1个 B2个 C3个 D4个 5. 设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)1,f(2)=，则 ( )Aa< Ba且a-1C.-1<a< Dm>或m<-1 6. 已知定义在R上的偶函数y=f(x)的一个单调递增区间是(3，5)，则函数y=f(1-x) ( )A.图像的对称轴为x=-1，且在(2，4)内是增函数B图像的对称轴为x=1，且在(2，4)内是减函数C.图像的对称轴为x=0，且在(4，6)内是增函数D图像的对称轴为x=1，且在(4，6)内是增函数 7. 函数f(x)=的定义域为A，g(x)=的定义域为B，且AB=Ø ，则实数a的取值范围是_ 8. 已知y=f-1(x)是函数f(x)=的反函数，则函数g(x)=f(x)+f-1(x)的表达式是g(x)=_ 9.已知函数f(x)在定义域上是减函数，且f(a-1)>f(1-a2)求a的取值范围； 10.若f(x)满足：在(0，+)上f(xy)=f(x)+f(y)，且对x1，f(x)>0恒成立，求证：f(x)存在反函数f-1(x)并比较f-1与 f-1(a)+f-1(b)的大小 11.已知集合A=2，log2t，集合B=x|x2-14x+240，x1tR，且AB (1)对于区间a，b，定义此区间的“长度”为b-a 若A的区间“长度”为3，试求t的值 (2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)A的概率不小于06，试确定t的取值范围 12.集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的，对任意的x0，f(x)-2，4，有f(x)在0，+8上地增函数。（1）试判断f1(x)=-2及f2(x)=4-6·（）x（x0）是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)不等式f(x)+f(x+2)<2f(x+1)是否对于任意的xD总成立？证明你的结论？13 已知函数f(x)=(x0)(1)写出函数f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间内，函数是递增的还是递减的(不必证明)(2)若不等式f(x)0对于x(0，+)恒成立，求实数a的取值范围；(3)若f(x)(x1)的反函数f-1(x)，试求f-1(a+). 14、已知函数f(x)=x3+ax+b定义在区间-1，1上，且f(0)=f(1)，又P(x1，y1)，q(x2，y2)是其图像上任意两点(x1x2)(1)求证：f(x)的图像关于点(0，b)成中心对称图形；(2)设直线PQ的斜率为k，求证：|k|2(3)若0x1<x21，求证：|y1-y2|<115已知x满足a2xa6ax2ax4(0<a<1)，函数yloga·log(ax)的值域为，求a的值16已知aR且a1，求函数f(x)在1,4上的最值17已知函数f(x)log2.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性令f(x)=uf(y)=u,则f-1(u)=x,f-1(u)=y. u+v=ff-1(u)+f-1f-1(u)=ff-1(u)f-1(u)f-1(u+v)=f-1(u) f1-(v), f-1(x)=f-12故 (3)答案：0x1<x21,且|y1-y2|=2|x1-x2|=-2(x1-x2)+2 +得2|y1-y2|<2.故|y1-y2|<1.15 解由a2xa6ax2ax4(0<a<1)(axa2)(axa4)0x2,4由yloga·log(ax)整理得y2.y，即20，2logax1.2x4,0<a<1，logax为单调减函数，loga21且loga42a.17 解(1)1<x<0或0<x<1，故f(x)的定义域为(1,0)(0,1)(2)f(x)log2f(x)f(x)是奇函数17