2022年最新人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试试题(含解析).docx

人教版九年级数学下册第二十七章-相似单元测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在矩形中，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，按此规律继续下去，则矩形的周长为（ ）ABCD2、在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的两个点，并且DEBC，AD：BD3：2，则ADE与四边形BCED的面积之比为（）A3：5B4：25C9：16D9：253、如图，与位似，点为位似中心已知，则与的面积比为（ ）ABCD4、如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A2：3B4：9C：D16：815、已知点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，若AB2，则BC的值为（ ）A3B1C1D26、如图，D是边AB上一点，过点D作交AC于点E若，则的值（ ）A2：3B4：9C2：5D4：257、如图，下列选项中不能判定ACDABC的是（）AACDBBADCACBCAC2ADABDBC2BDAB8、如图，DEBC，则下列式子正确的是（ ）ABCD9、如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB4，BC6，CE1，则CF的长为（）AB1.5CD110、在小孔成像问题中，如图所示，若点O到的距离是，点O到的距离是，则像的长与物体长的比是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，若点C是AB的黄金分割点，AB10，则AC_，BC_2、如图，中，点为上一点，连接，则的长为_3、如图，在RtABC中，ACB=90°，BC=3，AC=4，F为AB上的点，联结CF.将ACF沿直线CF翻折，点A的对称点为E，若EFCB，则FE=_4、若，则_5、如图，RtABC，ACB90°，ACBC3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，ABC内接于O，BAC的平分线AD交O于点D，交BC于点E，过点D作DFBC，交AB的延长线于点F（1）求证：BDEADB；（2）试判断直线DF与O的位置关系，并说明理由；（3）如图2，条件不变，若BC恰好是O的直径，且AB6，AC8，求DF的长2、【问题提出】已知有两个RtABC和RtA'BC'，其中CC90°，A60°，A45°（1）如图1，作线段CD，CD，分别交AB于点D，交A'B于点D，使得BCD45°，B'CD'30°，问BCD与B'CD'，ACD与ACD是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由（2）如图2，作线段AD，B'D，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若ACD与BCD、ABD与AB'D'均相似，求CAD，C'B'D的度数【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由3、如图，在等腰直角中，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：4、如图，中，为内部一点，且（1）求证：；（2）判断和数量关系，并说明理由5、如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点（1）画出以点为旋转中心，将OBC顺时针旋转90°后的三角形（2）在轴的左侧将放大到原来的两倍（即新图与原图的相似比为2：1），画出新图形O，并写出的坐标-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的周长【详解】四边形ABCD是矩形，ADDC，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为矩形AB1C1C的周长和矩形ABCD的周长的比，矩形ABCD的周长=（2+1）×2=6，矩形AB1C1C的周长=，依此类推，矩形AB2C2C1的周长和矩形AB1C1C的周长的比矩形AB2C2C1的周长=矩形AB3C3C2的周长=按此规律矩形的周长为：故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律2、C【解析】【分析】根据题意先判断ADEABC，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论【详解】解：DEBC，ADEABC，AD：BD3：2，ADE与四边形BCED的面积之比为9：16.故选：C.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方3、D【解析】【分析】根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：与位似，点为位似中心已知，与的相似比为与的面积比为故选D【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，掌握位似比等于相似比是解题的关键4、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】解：两个相似多边形的周长比是2：3，这两个相似多边形的相似比是2：3，它们的面积比是4：9，故选B【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键5、A【解析】【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长度即可【详解】解：由于点C为线段的黄金分割点，且是较长线段；则，BC=AB-AC=2-（）=3-故选：A【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算6、D【解析】【分析】由题意易得，然后根据相似三角形的性质可求解【详解】解：DEBC，；故选D【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键7、D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可【详解】解：A.AA，ACDB，ACDABC，故本选项不符合题意；B.AA，ADCACB，ACDABC，故本选项不符合题意；C.AC2ADAB，AA，ACDABC，故本选项不符合题意；D.BC2BDAB，添加AA，不能推出ACDABC，故本选项符合题意故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键8、B【解析】【分析】由题意直接根据平行线所截线段成比例进行分析判断即可.【详解】解：DEBC，,，.故选：B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键9、D【解析】【分析】过O作OMBC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BODO，CDAB4，ADBC6，根据三角形的中位线的性质得到CMCD2，OMBC3，通过CFEMOE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论【详解】解：过O作OMBC交CD于M，在ABCD中，BODO，CDAB4，ADBC6，CMCD2，OMBC3，OMCF，CFEMOE，即，CF1故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题10、B【解析】【分析】由题意可知与是相似三角形，相似比为1：3，故CD：AB=1：3【详解】由小孔成像的定义与原理可知与高的比为6：18=1：3与相似比为1：3CD：AB=1：3故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的性质，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比二、填空题1、 6.18 3.82【解析】【分析】根据黄金分割的定义求解【详解】解：点C是AB的黄金分割点，AC=AB=×106.18，BC10-6.18=3.82故答案为：6.18；3.82【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=AB0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个2、【解析】【分析】过A点作AHBC，过D点作DEBC，得到BH=CH，ABHDBE，设BC=10a，求出BE=4a、DE=6a，根据RtBDE中，BD2=DE2+BE2，求出a，故可求解【详解】过A点作AHBC，过D点作DEBCBH=CH，设BC=10aBH=CH=5a=AB，BD=AHBC，DEBCDEAHABHDBEBE=4aCE=10a-4a=6a，DEBCCDE=180°-45°-90°=45°ADE是等腰直角三角形DE=CE=6a在RtBDE中，BD2=DE2+BE2即（）2=（6a）2+（4a）2解得a=（负值舍去）BC=10a=故答案为：【点睛】此题主要考查三角形内线段求解，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理的运用3、2【解析】【分析】根据勾股定理求出，由等面积法求出，根据相似三角形判定证明，由性质建立等式求出即可【详解】解：根据题意作图如下：由勾股定理得：，根据折叠的性质得：，解得：，即，解得：，故答案是：2【点睛】本题考查了折叠问题，三角形相似、勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形4、【解析】【分析】直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案【详解】解：，2x+2y=3x，故2y=x，则，故答案为：【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键5、#【解析】【分析】在AC上截取一点M，使得CM=利用相似三角形的性质证明DM=AD，推出BD+AD=BD+DM，推出当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可解决问题；【详解】解：如图，在AC上截取一点M，使得CM=连接DM，BM CD=2，CM=，CA=3，CD2=CMCA，DCM=ACD，DCMACD，DM=AD，BD+AD=BD+DM，当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值=故答案为：【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会由转化的思想思考问题三、解答题1、（1）见解析（2）相切，理由见解析（3）的长为354【解析】【分析】（1）利用平分和CBD与CAD所对的弦都为，证明角相等，进而可以证明BDEADB（2）连接OD，利用等弧证明OD平分BC ，进而通过垂径定理证明ODBC，最后利用DFBC，即可证明直线DF与O相切（3）过点作BHAD与点，连接OD，利用角相等求证BDHBCA，得到BHBA=BDBC，利用该比例式，先后在RtABC、RtBDH、RtABH中通过勾股定理求出DH、AH的长，进而得到的长，最后通过平行、等弧对等角以及角平分线性质，证明FDBFAD，利用边长的比例关系，求出与的关系，通过的长，即可求出的长【详解】（1）证明：AD平分， BAD=CAD， CBD与CAD所对的弦都为， CBD=CAD=BAD， 又BDE=ADB，CBD=BAD，BDEADB（2）解：直线DF与O相切，证明：连接OD，BAD=DAC， BD=CD， OD平分BC， ODBC， DFBC， ODDF， 故直线DF与O相切（3）解：过点作BHAD与点，连接OD，则BHD=90°， BAC所对的弦为直径， BAC=90°， BHD=BAC=90°， 又BDH与C 所对的弦都是，BDH=C， BDHBCA，BHBA=BDBC， 又， 在RtABC中，由勾股定理可得：BC=AB2+AC2=10， OB=OD=5，故BH=BDBCBA=32，在RtBDH中，DH=BD2-BH2=42， 在RtABH中，AH=AB2-BH2=32， AD=AH+DH=72，DFBC， FDB=DBC， DBC与DAC所对的弧都为CD，且平分， DBC=DAC=FAD， FDB=FAD， F=F， FDBFAD，DFAF=BFDF=BDAD=5272， AF=75DF，BF=57DF， 故AB=AF-BF=75DF-57DF=6，解得DF=354，的长为354【点睛】本题主要是考查了圆的性质、相似三角形的判定和性质，熟练通过等弧或同弧对等角，求证角相等，进而证明三角形相似，把握等弧或同弧对等角和三角形相似之间的联系，这是求解该题的关键2、（1）相似，见详解；（2）CAD=CBD=15°；【拓展思考】可以，理由见详解.【解析】【分析】（1）由题意可知如图1中，BCD与BCD、ACD与ACD相似，理由同上；（2）由题意可知如图2中，当CAD=CBD=15°时，ACD与BCD、ABD与ABD均相似；【拓展思考】根据题意运用材料的方法结合相似三角形的判定进行分析即可.【详解】解：（1）如图1中，BCD与BCD、ACD与ACD相似，理由如下A=ACD=60°，ACD=A=45°，ACDCAD，B=BCD，BCD=B，BCDCBD（2）如图2中，当CAD=CBD=15°时，ACD与BCD、ABD与ABD均相似理由：C=C=90°，CAD=CBD=15°，ACDBCD，B=ABD=30°，DAB=A=45°，BADBAD拓展思考:可以，如下图，设,作交AB于D，作交 AB于D则ACDCAD，BCDCBD理由：A=ACD=，ACD=A=，ACDCAD，BCDCBD【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定方法，学会取特殊角解决问题3、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据题意先由等腰直角ABC得到BAC=B=45°，从而结合DAE=45°得到DAC=EAB，再由平行线的性质得到ACP=BAC=B=45°，从而得到ADCAEB；（2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合DAE=CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合ACD=45°和ACB=90°，由CD=CE得到CDE=CED=22.5°，从而得到DAC=22.5°，然后得到OCDDCA，最后即可求证【详解】解：（1）证明：是等腰直角三角形，BAC=B=45°，DAE=45°，PCAB，DAC=EAB，ACD=BAC=B=45°，ADCAEB；（2）证明：ADCAEBADAE=ACAB，即ADAC=AEAB，DAE=BAC=45°，ADEACB；（3）ACD=45°,ACB=90°，CDE+CED=180°-90°-45°=45°，CDE=CED=22.5°，ADEACB，ADE=ACB=90°，CAD=180°-ADE-CDE-ACD=180°-90°-22.5°-45°=22.5°CAD=CDE，又OCD=DCA，OCDDCA，OCCD=CDCA，【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似4、（1）见解析；（2）PA=2PC，见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等式的性质判断出PBC=PAB，进而得出结论；（2）由（1）的结论得出PAPB=PBPC=ABBC，进而得出ABBC=2，即可得出结论【详解】（1）证明：ACB=90°，AC=BC，ABC=45°=PBA+PBC，又APB=135°，PAB+PBA=45°，PBC=PAB，又APB=BPC=135°，PABPBC（2）和数量关系是PA=2PC理由如下PABPBC，PAPB=PBPC=ABBC，在RtABC中，BC=AC，AB=2BC，PAPB=PBPC=2，PA=2PB，PB=2PC，PA=2PC【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点是解题关键，综合性较强，有一定难度5、（1）见解析；（2）见解析，B2（-6，2），C2（-4，-2）【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画出B、C顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接即可；（2）根据位似的性质画出图形，利用点的位置写出坐标即可【详解】解：（1）如图所示，OBC就是所求三角形；（2）如图所示，O就是所求三角形；点B2、C2的坐标为：B2（-6，2），C2（-4，-2）【点睛】此题主要考查了位似变换和旋转作图，正确得出对应点位置是解题关键