【课堂新坐标】2021年高考数学二轮热点专题突破讲练 第十讲 数列求和及数列的综合应用 理（含解析）.doc

第十讲数列求和及数列的综合应用1(等差数列的前n项和)(2013·上海高考)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn_.【解析】设SnAn2Bn，则有解得故Snn2n.【答案】n2n2(裂项求和)数列an的通项公式是an，若前n项和为10，则项数n_.【解析】由an，所以a1a2an(1)()()10，即110，即11，解得n1121，n120.【答案】1203(错位相减法求和)化简Snn(n1)×2(n2)×222×2n22n1的结果是_【解析】Snn(n1)×2(n2)×222×2n22n1，2Sn2n(n1)×22(n2)×232×2n12n，两式作差Sn2n2n12n22n2n12n.【答案】2n12n4(数列的通项公式)如果数列an满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项为1，公比为3的等比数列，则an_.【解析】ana1(a2a1)(a3a2)(anan1).【答案】5(数列的实际应用)(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn2n12.由2n12100，得2n1102.由于2664,27128，则n17，即n6.【答案】6裂项相消法求和 (2013·潍坊模拟)已知数列an的各项排成如图321所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7，构成等差数列bn，Sn是bn的前n项和，且b1a11，S515.图321(1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a916，求a50的值(2)设Tn，当m1,1时，对任意nN*，不等式t22mtTn恒成立，求t的取值范围【思路点拨】(1)先求bn及公比q，再确定a50在数阵中的位置，再根据等比数列求a50.(2)先用裂项法求Tn，再利用导数求Tn的最大值，最后把问题转化为关于m的函数求解【自主解答】(1)因为bn为等差数列，设公差为d，b11，S515，所以S5510d15，d1，所以bn1(n1)×1n.设从第3行起，每行的公比是q，且q0，a9b4q2,4q216，q2，123945，故a50是数阵中第10行第5个数，则a50b10q410×24160.(2)因为Sn12n，所以Tn22.令f(x)(x1)，f(x)，当x1时，f(x)0，f(x)在1，)上为减函数，所以Tn为递减数列，Tn的最大值为T1.所以不等式变为t22mt30恒成立，设g(m)2tmt23，m1,1，则即解得t3或t3.即t的取值范围为(，3)(3，)1裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时，其关键在于裂项后系数的确定2裂项求和的几种常见类型：(1)()；(2)()；(3)()；(4)若an是公差为d的等差数列，则()变式训练1等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和【解】(1)设数列an的公比为q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由条件可知q>0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2()，2(1)()().所以数列的前n项和为.错位相减法求和 (2013·山东高考)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且Tn(为常数)，令cnb2n(nN*)，求数列cn的前n项和Rn.【思路点拨】(1)利用等差数列的通项公式，前n项和公式，建立方程组求解(2)由已知求Tn，进而求bn，cn，用错位相减法求cn的前n项和【自主解答】(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d.由S44S2，a2n2an1，得解得因此an2n1，nN*.(2)由题意知Tn，所以当n2时，bnTnTn1.故cnb2n(n1)n1，nN*.所以Rn0×01×12×23×3(n1)×n1，则Rn0×11×22×3(n1)×n.两式相减得Rn1234n1(n1)×n(n1)×nn，整理得Rn. 所以数列cn的前n项和Rn.1错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和在构造方程时，Sn的左右两边同乘以等比数列的公比2错位相减法的难点在于运算，为力求运算准确，要注意两式相减时幂指数相同的项要对齐，同时注意剩余的项3当an为等差数列，bn为等比数列时，求数列anbn的前n项和，可用错位相减法变式训练2(2013·济南模拟)已知数列an满足a13，an13an3n(nN*)，数列bn满足bn.(1)证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式(2)求数列an的前n项和Sn.【解】(1)由bn，得bn1，所以bn1bn，所以数列bn是等差数列，首项b11，公差为，所以bn1(n1)(nN*)(2)an3nbn(n2)×3n1，所以Sna1a2an3×14×3(n2)×3n1，所以3Sn3×34×32(n2)×3n.得2Sn3×13323n1(n2)×3n213323n1(n2)×3n(n2)×3n，所以Sn.数列与不等式的综合应用 (2013·宁波模拟)设公比大于零的等比数列an的前n项和为Sn，且a11，S45S2，数列bn的前n项和为Tn，满足b11，Tnn2bn，nN*.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设cn(Sn1)(nbn)，若数列cn是单调递减数列，求实数的取值范围【思路点拨】(1)求an时，先求公比q；求bn时，先根据前n项和求bn与bn1的关系，再用累乘法求bn.(2)把数列cn是单调递减数列转化为cn1cn0恒成立问题，再分离，转化为求最值问题【自主解答】(1)由S45S2，a11得，又q0，所以q2，an2n1.由得(n1)，又b11.则·········.所以n1时，bn，当n1时，b11也满足，故bn(nN*)(2)Sn2n1，所以cn2n，若数列cn是单调递减数列，则cn1cn2n0对nN*都成立，即0max，当n1或2时，max，所以.即系数的取值范围为1本例(1)中求数列bn的通项公式时利用累乘法，但需注意验证n1时，b1是否满足通项公式2数列与不等式的综合应用问题主要涉及两种题型：(1)比较大小，常采用作差比较法和放缩法；(2)证明不等式及不等式的应用，常采用比较法、分析综合法、基本不等式法、放缩法、最值法、反证法等变式训练3(2013·潍坊模拟)各项均为正数的数列an中，前n项和Sn2.(1)求数列an的通项公式(2)若k恒成立，求k的取值范围【解】(1)因为Sn2，所以Sn12，n2，两式相减得an22，n2，整理得(anan1)(anan12)0，因为数列an的各项均为正数，所以anan12，n2，所以an是公差为2的等差数列又S12，得a11，所以an2n1.(2)由题意得kmax，因为，所以，所以k.即k的取值范围为.数列求和是历年高考必考内容之一，同时数列与不等式，数列与函数、方程的综合应用也是课标区高考的热点，这类题目往往涉及面较广，运算比较复杂，方法比较灵活，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力，其中利用函数的思想求数列的最大项与最小项问题应引起高度重视利用单调性求数列问题的最值 (12分)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值【规范解答】(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.3分又an不是递减数列且a1，所以q，故等比数列an的通项公式为an×n1(1)n1·.6分(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1；9分当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.11分所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.12分【阅卷心语】易错提示(1)不会处理Sn中的(1)n，导致思维受阻，无法求解(2)不能根据Sn的范围，求Sn的范围，解答失误或无法求解防范措施(1)当an或Sn中含有(1)n时，n的奇偶性影响结果，故应分类讨论(2)把Sn看作自变量，则Sn是增函数(或减函数)，故可根据Sn的范围，求Sn的范围1已知数列an满足log3an1log3an1(nN*)，且a2a4a69，则log(a5a7a9)的值是()AB5C5D.【解析】由log3an1log3an1(nN*)，得log3an1log3an1，即log31，解得3，所以数列an是公比为3的等比数列因为a5a7a9(a2a4a6)q3，所以a5a7a99×3335.所以log(a5a7a9)log35log3355.【答案】B2在如图322的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则abc的值为_120.51abc图322【解析】由题意知2a1，所以a，第三列和第五列的公比都为，所以b右边的数字为3×3，所以2b，即b，c3×4，所以abc1.【答案】111