2022年一元二次方程培优提高例题 .pdf

考点一、概念(1) 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表达式：)0(02acbxax难点： 如何理解“未知数的最高次数是2” ：该项系数不为“0” ；未知数指数为“2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题 ：例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A 12132xxB 02112xxC 02cbxaxD 1222xxx变式： 当 k 时，关于 x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则m 的值为。针对练习：1、方程782x的一次项系数是，常数项是。2、若方程021mxm是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值；写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程112? xmxm是关于 x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 4、若方程nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值；典型例题 ：例 1、已知322yy的值为 2，则1242yy的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则 a 的值为。说明： 任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例 3、已知关于x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。说明： 本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1 ”巧解代数式的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则 m 的值为。针对练习：1、已知方程0102kxx的一根是2，则 k 为，另一根是。2、已知关于x 的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。求 k 的值；方程的另一个解。3、已知 m 是方程012xx的一个根，则代数式mm2。 4、已知a是0132xx的根，则aa622。 5、方程02acxcbxba的一个根为（）A 1B 1 C cbD a 6、若?yx则yx324,0352。考点三、解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法：mxmmx,02对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题 ：例 1、解方程：;08212x216252x=0; ;09132x例 2、解关于x 的方程：02bax例 3、若2221619xx，则 x 的值为。针对练习： 下列方程无解的是（）A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx典型例题 ：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 1、3532xxx的根为（）A 25xB 3xC 3,2521xxD 52x例 2、若044342yxyx，则 4x+y 的值为。变式 1：2222222, 06b则ababa。变式 2：若142yxyx，282xxyy，则 x+y 的值为。例 3、方程062xx的解为（）A.2321，xxB.2321，xxC.3321，xxD.2221，xx例 4、解方程：04321322xx例 5、已知023222yxyx,则yxyx的值为。变式 ：已知023222yxyx,且0,0 yx,则yxyx的值为。针对练习：1、下列说法中：方程02qpxx的二根为1x，2x，则)(212xxxxqpxx)4)(2(862xxxx. )3)(2(6522aababa)()(22yxyxyxyx方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx正确的有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个2、以71与71为根的一元二次方程是（）A0622xxB0622xxC0622yyD0622yy 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y 满足023yxyx，则 x+y 的值为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - A、-1 或-2 B、-1 或 2 C、1 或-2 D 、1 或 2 5、方程：2122xx的解是。类型三、配方法002acbxax222442aacbabx在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题 ：例 1、试用配方法说明322xx的值恒大于0。例 2、已知 x、y 为实数，求代数式74222yxyx的最小值。例 3、已知， x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例 4、分解因式：31242xx针对练习： 1、试用配方法说明47102xx的值恒小于0。 2、已知041122xxxx，则xx1 . 3、若912322xxt，则 t 的最大值为，最小值为。1、关于 x 的方程20 xpxq的两根同为负数，则（）A0p 且q 0B0p 且q 0C0p 0D 0p 且q 02、如果方程022mxx有两个同号的实数根，则m的取值范围是（）A、m1 B 、0m1 C 、0m1 D 、m0 类型四、公式法条件：04,02acba且公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题 ：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132x.863 xx0142xx01432xx5211313xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 说明： 解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例 2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（ 2）1842xx. 22542yxyx说明： 对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=)(21xxxxa. 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题 ：例 1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例 2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例 3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。说明： 在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例 4、用两种不同的方法解方程组)2(. 065) 1(,6222yxyxyx说明： 解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题 . 考点四、根的判别式acb42根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它 。典型例题 ：例 1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是。例 2、关于 x 的方程0212mmxxm有实数根，则m 的取值范围是 ( ) A.10且mmB.0mC.1mD.1m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例 3、已知关于x 的方程0222kxkx(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。例 4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值 . 说明： 若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式0即： 若042acb，则二次三项式cbxax2)0(a为完全平方式；反之，若cbxax2)0(a为完全平方式，则042acb. 例 5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当 k 时，关于 x 的二次三项式92kxx是完全平方式。2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m 的值是 . 4、k为何值时，方程组.0124, 22yxykxy（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解 . 5、当k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题 ：例 1、关于 x 的方程03212mxxm有两个实数根，则m 为, 只有一个根，则m 为。例 2、不解方程，判断关于x 的方程3222kkxx根的情况。例 3、如果关于x 的方程022kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。考点六、根与系数的关系前提： 对于02cbxax而言，当满足0a、0时，才能用韦达定理。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 主要内容：acxxabxx2121,应用： 整体代入求值。典型例题 ：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3B.3 C.6 D.6说明 ：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握ba、ba、ab、22ba之间的运算关系. 例 2、解方程组：.2,10)2(;24,10) 1(22yxyxxyyx说明 ：一些含有yx、22yx、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题. 有时，后者显得更为简便. 例 3、已知关于x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21, xx，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。例 4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1 。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 5、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式 ：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例 6、已知,是方程012xx的两个根，那么34 . 针对练习：1、解方程组)2(5) 1(, 322yxyx2已知472aa，472bb)(ba，求baab的值。3、已知21,xx是方程092xx的两实数根，求663722231xxx的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -