【最高考】2021届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第6讲 导数及其应用.doc

第6讲导数及其应用 1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等1. 已知m为实数，函数f(x)x2(xm)，若f(1)1，则f(x)的单调递减区间为_答案：解析： f(x)3x22mx，f(1)32m1，m2， f(x)3x24x0，x0.2. 已知某生产厂家的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件答案：9解析：yx2810，解得0x9；令导数yx2810，解得x9.所以函数yx381x234在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，所以在x9处取极大值，也是最大值3. 若函数f(x)2x2lnx在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_答案：解析：因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x)0，得x.据题意得解得1k.4. 若曲线f(x)ax2lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_. 答案：a0解析：由题意知该函数的定义域为(0，)，由f(x)2ax.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为在x0范围内，导函数f(x)2ax存在零点等价于方程2ax0在(0，)内有解，显然可得a(，0)题型一 利用导数求曲线的切线方程例1 (2013·浙江卷)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.(1) 若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2) 若|a|>1，求f(x)在闭区间0，|2a|上的最小值解：(1) 当a1时，f(x)2x36x26x， f(2)1624124. f(x)6x212x6， f(2)242466， yf(x)在(2，f(2)处的切线方程为y46(x2)6xy80.(2) f(x)6x26(a1)x6a6x2(a1)xa6(x1)(xa)， 当a>1时，x(，1a，)时，yf(x)递增，x(1，a)时，yf(x)递减， 当x0，2|a|时，且2|a|>2，x0，1a，2|a|时，yf(x)递增，x(1，a)时，yf(x)递减， 最小值是f(a)2a33(a1)a26a23a2a3；再比较f(0)0与f(a)的大小， 当a>3时，f(x)min3a2a3，当1<a3时，f(x)min0. 当a<1时，且2|a|>2，在x0，2|a|时，x(0，1)时，yf(x)递减，x1，2|a|时，yf(x)递增， 最小值是f(1)3a1.综上所述：f(x)在0，|2a|上的最小值g(a)已知函数f(x)ax3x2ax，其中aR，xR.(1) 当a1时，求函数f(x)在x1处的切线方程；(2) 若函数f(x)在区间(1，2)上不是单调函数，试求a的取值范围；(3) 已知b>1，如果存在a(，1，使得函数h(x)f(x)f(x)(x1，b)在x1处取得最小值，试求b的最大值解：(1) 当a1时，f(x)x3x2x，则f(x)3x22x1，故kf(1)4.又切点为(1，1)，故所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.(2) 由题意知，f(x)3ax22xa在区间(1，2)上有不重复的零点，由f(x)3ax22xa0，得(3x21)a2x.因为3x210，所以a.令y，则y>0，故y在区间(1，2)上是增函数，所以其值域为，从而a的取值范围是.(3) h(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(2a)xa，由题意知h(x)h(1)对x1，b恒成立，即ax3(3a1)x2(2a)xa2a1对x1，b恒成立，即(x1)ax2(2a1)x(13a)0对x1，b恒成立当x1时，式显然成立；当x(1，b时，式可化为ax2(2a1)x(13a)0，令(x)ax2(2a1)x(13a)，则其图象是开口向下的抛物线，所以即其等价于.因为在a(，1时有解，所以1，解得1<b，从而b的最大值为.题型二 利用导数研究函数的性质例2 设函数f(x)x(ex1)ax2.(1) 若a，求f(x)的单调区间；(2) 若当x0时，f(x)0，求a的取值范围解：(1) a时，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)当x(，1)时，f(x)>0；当x(1，0)时，f(x)<0；当x(0，)时，f(x)>0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1，0)上单调递减(2) f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.若a>1，则当x(0，ln a)时，g(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0.综上，a的取值范围为(，1 已知a>0，bR，函数f(x)x3ax，g(x)x2bx，f(x)、g(x)是f(x)、g(x)的导函数若f(x)g(x)0在区间1，)上恒成立(1) 求实数b的取值范围；(2) 当b取最小值时，讨论函数h(x)f(x)g(x)在1，)上的单调性解：(1) f(x)x3ax，g(x)x2bx， f(x)3x2a，g(x)2xb.x1，)，f(x)g(x)0，即x1，)，(3x2a)(2xb)0. a0， 3x2a0， x1，)，2xb0，即x1，)，b2x， b2，故所求实数b的取值范围是2，)(2) b的最小值为2，h(x)x3x2ax2x，h(x)3x22xa23a.当a时，h(x)3x22xa20对x1，)恒成立，h(x)在1，)上单调递增；当0a时，由h(x)3x22xa20，得x1， h(x)在1，上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增题型三 利用导数解应用题例3 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件： 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加； 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%； 报销的医疗费用不得超过8万元(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y0.05(x24x8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型yx2lnxa(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln20.69，ln102.3)解：(1) 函数y0.05(x24x8)在2，10上是增函数，满足条件；当x10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件；但当x3时，y<，即y不恒成立，不满足条件.故该函数模型不符合该单位报销方案(2) 对于函数模型yx2lnxa，设f(x)x2lnxa，则f(x)10. f(x)在2，10上是增函数，满足条件，由条件，得x2lnxa，即a2lnx在x2，10上恒成立，令g(x)2lnx，则g(x)，由g(x)>0得x<4， g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数 ag(4)2ln424ln22.由条件，得f(10)102ln10a8，解得a2ln102.另一方面，由x2lnxax，得a2lnx在x2，10上恒成立， a2ln2.综上所述，a的取值范围为4ln22，2ln2， 满足条件的整数a的值为1.两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1) 将y表示成x的函数；(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由解：(1) 如图，由题意知：ACBC，BC2400x2，y(0x20)，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，垃圾处理厂到A、B的距离都相等，且为10 km，所以有0.065，解得k9，所以y(0x20)(2)因为y，令y0，得x4640x2128 0000，解得x2160，即x4.又0x20，所以函数y在x(0，4)上是减函数，在x(4，20)上是增函数，所以当x4时，y取得最小值，所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为4 km，使建在此处的垃圾处理厂对城市A、B的总影响度最小题型四 导数的综合应用例4 已知函数f(x)ax(x>0且x1)(1) 若函数f(x)在(1，)上为减函数，求实数a的最小值；(2) 若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围解：(1) 因为f(x)在(1，)上为减函数，故f(x)a0在(1，)上恒成立，所以当x(1，)时，f(x)max0. 又f(x)a2a2a, 故当，即xe2时，f(x)maxa.所以a0，于是a，故a的最小值为 (2) (解法1)命题“若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“当xe，e2时，有f(x)minf(x)maxa”由(1)，当xe，e2时，f(x)maxa， f(x)maxa.问题等价于“当xe，e2时，有f(x)min” 当a时，由(1)，f(x)在e，e2上为减函数， 则f(x)minf(e2)ae2，故a. 当a<时，由于f(x)2a在e，e2上为增函数， 故f(x)的值域为f(e)，f(e2)，即. (i) 若a0，即a0，f(x)0在e，e2恒成立，故f(x)在e，e2上为增函数， 于是，f(x)minf(e)eaee>，不合题意(ii) 若a<0，即0<a<，由f(x)的单调性和值域知，唯一x0(e，e2)，使f(x0)0，且满足： 当x(e，x0)时，f(x)<0，f(x)为减函数；当x(x0，e2)时，f(x)>0，f(x)为增函数； 所以，f(x)minf(x0)ax0，x0(e，e2). 所以，a>>，与0<a<矛盾，不合题意综上，得a .(解法2)命题“若x1、x2e，e2，使f(x1)f(x2)a成立”等价于“x1e，e2，使f(x1)f(x)maxa”由(1)，当xe，e2时，f(x)maxa，于是f(x)maxa.故x1e，e2，使f(x1)ax1，即x1e，e2，使a. 所以当xe，e2时，amin. 记g(x)，xe，e2，则g(x). 因为xe，e2，故4x4e，4e2，(lnx)21，4，于是g(x)<0，xe，e2恒成立. 所以，g(x)在e，e2上为减函数，所以，g(x)min. 所以，a. 已知函数f(x)axx2xlna(a>0，a1)(1) 求函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1(e是自然对数的底数)，求实数a的取值范围解：(1) 因为函数f(x)axx2xlna(a>0，a1), 所以f(x)axlna2xlna，f(0)0.因为f(0)1，所以函数f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2) 由(1)，f(x)axlna2xlna2x(ax1)lna. 因为当a>0，a1时，总有f(x)在R上是增函数， 又f(0)0，所以不等式f(x)>0的解集为(0，)，故函数f(x)的单调增区间为(0，)(3) 因为存在x1、x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1成立， 而当x1，1时，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min, 所以只要f(x)maxf(x)mine1即可因为x，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)在1，0上是减函数，在0，1上是增函数，所以当x1，1时，f(x)的最小值f(x)minf(0)1，f(x)的最大值f(x)max为f(1)和f(1)中的最大值. 因为f(1)f(1)(a1lna)a2lna, 令g(a)a2lna(a>0)，因为g(a)12>0, 所以g(a)a2lna在a(0，)上是增函数. 而g(1)0，故当a>1时，g(a)>0，即f(1)>f(1); 当0<a<1时，g(a)<0，即f(1)<f(1) .所以，当a>1时，f(1)f(0)e1，即alnae1，函数yalna在a(1，)上是增函数，解得ae；当0<a<1时，f(1)f(0)e1，即lnae1，函数ylna在a(0，1)上是减函数，解得0<a. 综上可知，a的取值范围为ae，) .1. (2013·广东卷)若曲线yax2lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_答案：解析：y2ax，由题知，2a10，a.2. (2013·江西卷)若曲线yx1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则_答案：2解析：yx1，在点(1，2)处的切线方程为y2(x1)，点(0，0)代入得2，2.3. (2014·全国卷)若函数f(x)kxlnx在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_答案：1，)解析：f(x)k，由已知得f(x)0在x(1，)上恒成立，故k.因为x>1，所以0<<1，故k的取值范围是1，)4. (2013·湖北卷)已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案：解析：由题知，x>0，f(x)lnx12ax，由于f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，即函数ylnx1与y2ax(x>0)的图象有两个不同的交点，则a>0；设函数ylnx1图象上任一点(x0，1lnx0)处的切线为l，则k，当l过坐标原点时，x01，令2a1得a，结合图形可知0<a<.5. (2014·北京卷)已知函数f(x)xcosxsinx，x.(1) 求证：f(x)0；(2) 若a<<b在上恒成立，求a的最大值与b的最小值(1) 证明：由f(x)xcosxsinx得 f(x)cosxxsinxcosxxsinx.因为在区间上f(x)xsinx0，所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2) 解：当x>0时，“>a”等价于“sinxax>0”“<b”等价于“sinxbx<0”令g(x)sinxcx，则g(x)cosxc，当c0时，g(x)0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cosxc0，所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0<c<1时，存在唯一的x0使得g(x0)cosx0c0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下：x(0，x0)x0g(x)0g(x)极大值因为g(x)在区间0，x0上是增函数，所以g(x0)>g(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即0c.综上所述，当且仅当c时，g(x)>0对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)<0对任意x恒成立所以，若a<<b对任意x恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.6. (2013·福建卷)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1) 若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2) 求函数f(x)的极值；(3) 当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值解：(1) 由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2) f(x)1， 当a0时，f(x)>0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值 当a>0时，令f(x)0，得exa，xlna.x(，lna)，f(x)<0；x(lna，)，f(x)>0.所以f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增，故f(x)在xlna处取得极小值，且极小值为f(lna)lna，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在xlna处取得极小值lna，无极大值(3) (解法1)当a1时，f(x)x1，令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，则“直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点”等价于“方程g(x)0在R上没有实数解”假设k>1，此时g(0)1>0，g1<0，又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)0在R上至少有一解，与“方程g(x)0在R上没有实数解”矛盾，故k1.又k1时，g(x)>0，知方程g(x)0在R上没有实数解所以k的最大值为1.(解法2) 当a1时，f(x)x1.“直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点”等价于“关于x的方程kx1x1在R上没有实数解”，即“关于x的方程(k1)x(*)在R上没有实数解” 当k1时，方程(*)可化为0，在R上没有实数解； 当k1时，方程(*)化为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，当x变化时，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，同时当x趋于时，g(x)趋于，从而g(x)的取值范围为.所以当时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是(1e，1)综上，得k的最大值为1.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2013·宿迁、徐州三模)已知函数f(x)lnxax2x，aR.(1) 若函数yf(x)在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；(2) 设函数yf(x)的图象被点P(2，f(2)分成的两部分为c1、c2(点P除外)，该函数图象在点P处的切线为l，且c1、c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值解：(1) f(x)2ax1(x>0)，(2分)只需要2ax2x10，即2a，所以a.(4分)(2) 因为f(x)2ax1，所以切线l的方程为y(x2)ln24a2.令g(x)lnxax2x(4a)(x2)ln24a2，则g(2)0.g(x)2ax4a.(6分)若a0，则g(x)，当x(0，2)时，g(x)>0；当x(2，)时，g(x)<0，所以g(x)g(2)0，c1、c2在直线l同侧，不合题意；(8分)若a0，g(x)，若a，g(x)0，g(x)是单调增函数，当x(2，)时，g(x)>g(2)0；当x(0，2)时，g(x)<g(2)0，符合题意；(10分)若a<，当x时，g(x)<0，g(x)>g(2)0，当x(2，)时，g(x)>0，g(x)>g(2)0，不合题意；(12分)若<a<0，当x时，g(x)<0，g(x)<g(2)0，当x(0，2)时，g(x)>0，g(x)<g(2)0，不合题意；(14分)若a>0，当x(0，2)时，g(x)>0，g(x)<g(2)0，当x(2，)时，g(x)<0，g(x)<g(2)0，不合题意故只有a符合题意(16分)1. 函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_答案：(1，11)解析： f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0得单调减区间为(1，11)亦可填写闭区间或半开半闭区间2. 已知函数f(x)ax3bx2x3，其中a、bR，a0.(1) 当a、b满足什么条件时，f(x)取得极值？(2) 已知a0，且f(x)在区间(0，1上单调递增，试用a表示出b的取值范围解： (1)由已知得f(x)ax22bx1，令f(x)0，得ax22bx10，f(x)要取得极值，方程ax22bx10必须有两个不同解，所以4b24a0，即b2a, 此时方程ax22bx10的根为x1，x2，所以f(x)a(xx1)(xx2)当a0时，x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在x1、x2处分别取得极大值和极小值当a0时，x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f (x)极小值极大值所以f(x)在x1、x2处分别取得极大值和极小值综上，当a、b满足b2a时，f(x)取得极值(2) 要使f(x)在区间(0，1上单调递增，需使f(x)ax22bx10在(0，1上恒成立，即b，x(0，1恒成立， 所以b.设g(x)，g(x)，令g(x)0得x或x(舍去)，当a1时，01，当x时，g(x)0，g(x)单调递增；当x时，g(x)0，g(x)单调递减，所以当x时，g(x)取得极大值g.所以b.当0a1时，1，此时g(x)0在区间(0，1上恒成立，所以g(x)在区间(0，1上单调递增，当x1时，g(x)最大，最大值为g(1)，所以b.综上，当a1时，b；当0a1时，b.点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值，运用函数与方程的思想、化归思想和分类讨论的思想解答问题3. 已知函数f(x)x32x23x(xR)的图象为曲线C.(1) 求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；(2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解： (1) f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是1，)(2) 由(1)可知解得1k0或k1，由1x24x30或x24x31，得x(，2(1，3)2，)，即为所求取值范围- 11 -