2022年模糊多准则决策方法 .pdf

1 模糊集理论1 Fuzzy数(1) 区间数定义 1：设 R 是实数域，称闭区间,11ba为区间数，其中1a为区间数的下确界，1b为区间数的上确界，1111,baRba。设,222111baybay是任两个区间数，则区间数的基本运算定义为：（1）,222121bbaayy；（2）,122121babayy；（3）,212121bbaayy；（4）,122121babayy；（5）,111kbkayk；（6）1,11121aay。定义 2：设,222111baybay是两个闭区间，则它们的距离为：|)|)1(),(212121bbaayyd。其中1 ,0表示决策者的风险态度，当5.0时，称决策者是追求风险的，当5.0时，称决策者是厌恶风险的，当5.0时，称决策者是风险中性的，此时有：|)|(|21),(212121bbaayyd。定义 3：两区间数的比较名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 22,21212121bbaabbaa。22,21212121bbaabbaa。（2）Fuzzy数定义 4：一个模糊数是实数集上一个正规的凸模糊集。对模糊数 A，它的隶属函数可表示为：其它0)(1)(dxcxfcxbbxaxffRALAA其中)( xfLA为连续的单调递增函数，)( xfRA为连续的单调递减函数，分别称作左基准函数和右基准函数。为方便起见，记为),(dcbaA。模糊数A 的 -截集)(|xfxAA(1 ,0) 是 R 的闭区间，记为,RLAAA。A、B 是两个模糊数，有：,RRLLBABABA,LRRLBABABA, ,RRLLBABABA(0,0LLBA) ,LRRLBABABA(0,0LLBA), ,rArArARL，其中 r 为正实数。如果模糊数 A的左、右基准函数为线性函数，则A称为梯形模糊数，记为,dcbaA。两个梯形模糊名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 数,dcbaA、,1111dcbaB的运算如下：,1111ddccbbaaBA,1111adbccbdaBA, ,1111ddccbbaaBA(0,01aa,1111adbccbdaBA(0,01aa), ,rdrcrbrarA，其中 r 为正实数。目前，模糊数的大小比较、两模糊数的距离等没有公认的定义。模糊数的排序有许多不同的方法。定义 5：两模糊数 A 与 B 的距离定义如下：dBAdBAd),(),(10。其中1 ,0表示决策者的风险态度。从定义 5 可以看出，上述定义满足距离的3 条公理。在后文中如无特殊说明，),(BAd表示),(5.0BAd。对于较复杂的基准函数，对0，1区间 p 等分，上式积分可用下式近似：) |)1(1),(1pipiLpiRpiLpiLBABApBAd模糊数 A 与模糊数 0 的距离为：dAAAdRL|)|)1()(10对于梯形模糊数,4321aaaaA，,4321bbbbB，有2|)|(|2|)|)(|1(),(44332111babababaBAd由定义 5 得到模糊数的比较方法：对于模糊数BA,，1 ,0,BABA。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 1 ,0,RLRLBBAABA。对于梯形模糊数,4321aaaaA,4321bbbbB可以得到：22,2232324141bbaabbaaBA22,2232324141bbaabbaaBA2 直觉模糊集与区间直觉模糊集直 觉 模 糊 集 (Intuitionistic Fuzzy Sets) 最 初 由Atanassov 提出，是对传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数，能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质，因而引起众多学者的研究和关注。Atanassov 对直觉模糊集给出如下定义。定义 6：设 X 是一个给定论域，则X 上的一个直觉模糊集 A 为：|)(),(,XxxxxAAA其中，1 ,0:)(XxA和1 ,0:)(XxA分别代表 A 的隶属函数)( xA和非隶属函数)(xA,且对于A 上的所有1)()(0,xxXxAA成立。显然 ,每一个传统模糊子集对应于下列直觉模糊子集|)(1),(,XxxxxAAA。对 于X 中 的 每 一 个 直 觉 模 糊 子 集 ， 称)()(1)(xxxAAA为 A 中 x 的直觉指数， 它是x 对 A 的犹豫程度的一种测度。显然,对于每一个Xx，1)(0 xA。对于X 中的每一个传统模糊子集 A ，0)(1()(1)(,xxxXxAAA。定义在论域 X 上的直觉模糊集记作IFS ( X) 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5 定义 7：直觉模糊集基本运算。设)(,XIFSBA，则：)()()()(,xxxxXxBABABA且；)()()()(,xxxxXxBABABA且; )()()()(,xxxxXxBABABA且；|)()(),()(,XxxxxxxBABABA|)()(),()(,XxxxxxxBABABA|)(),(,XxxxxAAAAC；|)()(),()()()(,XxxxxxxxxBABABABA|)()()()(),()(,XxxxxxxxxBABABABA。定 义8 ： 设)( XI F SA，,)(),(,AxxxAAAyyyAA)(),(,，则（1）)()()()(yxyxyxAAAAA且；（2）)()()()(yxyxyxAAAAA且。yxA表示相应模糊概念下x不比y差，yxA表示相应模糊概念下中x优于y。定 义9： 设 X 是 有 n 个 元 素 的 有 限 论 域 ，|)(),(,XxxxxAjjAjAj，|)(),(,XxxxxBjjBjBj，两直觉模糊数的Hamming 距离定义为：|)()(|)()(|)()(|21),(1jBjAjBjAjBjAnjxxxxxxnBAd定义 10：设 X 是一个给定论域，则X 上的一个区间直觉模糊集 A 为：|)(),(,XxxxxAAA其中：)1 ,0int(:)(XxA和)1 ,0int(:)(XxA分别代表 A 的隶属函数)( xA和非隶属函数)(xA,且对名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6 于 A 上的所有1)(sup()(sup(0,xxXxAA成立。 其中)1 ,0int(表示1 ,0区间是所有闭子区间的集合。为 方 便 ， 我 们 将 区 间 直 觉 模 糊 集 记 为 ：|)(),(),(),( ,XxxxxxxAUALAUALA，其中0)(,0)(,1)()(0,xxxxXxLALAUAUA。 称)()(1)(xxxAAA为 A 中 x 的直觉模糊区间，)0),(xdA称为直觉模糊指数。定义在论域X 上的区间直觉模糊集记作)( XIVIFS。定 义 11：设 X 是有 n 个元 素 的 有 限论 域 ，)(,XIVIFSBA，|)(),(),(),( ,XxxxxxxAUALAUALA，|)(),(),(),( ,XxxxxxxBUBLBUBLB， 则两区间直觉模糊数的Hamming 距离定义为：)(),()(),()(),(21),(1jBjAjBjAjBjAnjxxdxxdxxdnBAd|)()(|)()(|)()(|)()(|)()(|)()(|411jUBjUAjLBjLAjUBjUAjLBjLAjUBjUAjLBjLAnjxxxxxxxxxxxxn其中)(1)(),(1)(xxxxLALAUAUAUALA，)(1)(),(1)(xxxxUBUBLBLBLBUB。Fuzzy多准则决策 VIKOR 方法VIKOR 方法与 TOPSIS 方法一样，是取折衷解的多名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 准则决策方法，该方法与TOPSIS 方法各有特色，但目前该方法应用较少，而且未见与TOPSIS 方法类似的扩展。为方便起见，只讨论梯形模糊数情形。设tCCC,21是 Fuzzy MCDM 问题的 t 个准则，maaa,21是 m 个方案，决策者给出方案ia在准则jC的值为 Fuzzy数),(ijijijijijdcbax（不妨设0ija） 。设准则jC的权重为,4321jjjjj（01 j） 。 ，要确定方案集的排序。模糊多准则 VIKOR 方法的步骤如下：（1）规范化处理为消除不同物理量纲对决策结果的影响，对各方案在每一准则下的值进行规范化处理，处理方法如下：若jC为成本型准则，则作下列变换：min,min,min,minljlljlljlljlijdcbax/ijx。若jC为效益型准则，则作下列变换：max,max,max,max/ljlljlljlljlijijdcbaxx经 上 述 处 理 并 与1 取 极 小 值 后 的 值 ， 记 为),(ijijijijijdcbax。对于梯形模糊数有：当jC为成本型准则，则作下列变换：1min,1min,min,minijljlijljlijljlijljlijadbccbdax。若jC为效益型准则，则作下列变换：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 1max,1max,max,maxljlijljlijljlijljlijijadbccbdax。变换后的梯形 Fuzzy数记为,ijijijijdcba。（2）确定每一准则的理想值和负理想值max,max, ,max,max*ijiijiijiijijdcbaa，min,min,min,minijiijiijiijijdcbaa。（3）计算iS和iR),(/)(*1jjijjjtjiaadaaS),(/)(max*jjijjjjiaadaaR由 上 述 两 式 计 算 得 到 的 值 是 模 糊 数 ， 记 为 ：,4321iiiiiSSSSS，,4321iiiiiRRRRR。（4）计算iQ),(/)(1(),(/)(*RRdRRSSdSSQiii其中：min,min,min,min4321*iiiiiiiiSSSSS，max,max,max,max4321iiiiiiiiSSSSS，min,min,min,min4321*iiiiiiiiRRRRR，max,max,max,max4321iiiiiiiiRRRRR， 表示准则多数重要程度，一般取5.0。（5）按)0,(iSd、)0,(iRd和)0,(iQd的值从小到大排序，得到三个方案排序序列，每一序列中排在前面的方案较排在后面的方案好。（6）方案集的折衷解a为：a是Q的排在最前面的方案，并满足下列条件：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 条件 1：)1/(1)(),( maQaQd,其中a是Q的排在第二位的方案；条件 2：a是S或/和R的排在最前面的方案。如果上述一个条件不满足，则： 如果条件 2 不满足，方案a和a是其折衷解。 如果条件 1 不满足，由方案)(,Maaa是其折衷解，其中)( Ma满足条件)1/(1)(),( maQaQd。例：有一个 5 个方案， 8 个准则的模糊多准则决策问题，其数据表1 所示。表 1 方案的模糊评价值及准则权系数1C2C3C4C1a3.7,3.7,4.7,4.7 5.9,5.9,6.9,6.9 8,8,10,10 30,30,40,40 2a1.5,1.5,2.5,2.5 4.7,4.7,5.7,5.7 4,4,6,6 65,65,75,75 3a3.0,3.0,4.0,4.0 4.2,4.2,5.2,5.2 4,4,6,6 60,60,70,70 4a3.5,3.5,4.5,4.5 4.5,4.5,5.5,5.5 7,7,9,9 35,35,45,45 5a2.5,2.5,3.5,3.5 5.0,5.0,6.0,6.0 6,6,8,8 50,50,60,60 权重0.0419,0.0419, 0.0491,0.0491 0.0840,0.0840, 0.0982,0.0982 0.1211,0.1211, 0.1373,0.1373 0.1211,0.1211, 0.1373,0.1373 5C6C7C8C1a3,3,5,5 90,90,100,100 3,3,5,5 6,6,8,8 2a3,3,5,5 70,70,80,80 7,7,9,9 4,4,6,6 3a7,7,9,9 80,80,90,90 7,7,9,9 5,5,7,7 4a8,8,10,10 85,85,95,95 6,6,8,8 7,7,9,9 5a5,5,7,7 85,85,95,95 4,4,6,6 8,8,10,10 权重0.1680,0.1680, 0.1818,0.1818 0.2138,0.2138, 0.2294,0.2294 0.0395,0.0395, 0.0457,0.0457 0.1588,0.1588, 0.1706,0.1706 利用 MATLAB 编程计算得：S：0.4290，0.8002，0.5225，0.3294，0.3853；R：0.1008，0.1069，0.0606，0.0692，0.0336；Q：0.4221，1.0000，0.3510，0.0683，0.1071；三个排序序列为：S：32154aaaaa；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10 R：21435aaaaa；Q：21354aaaaa；因此，5a和4a为折衷最优方案。利用模糊TOPSIS 方法得到的结果与上述结果相同。因而上述结果是合理的。直觉模糊多准则决策方法设tCCC,21是MCDM问 题 的t 个 准 则 ，maaa,21是 m 个方案， 。决策者给出方案ia在准则jC相对于模糊概念 “优秀”值为ijijia,， 这里ij和ij分别表示ia在准则jC下相对模糊概念的隶属度和 非 隶 属 度 ， 满 足10ij，10ij，10ijij。|,AaaAiijijij是一直觉模糊集。ijijij1是直觉指数。已知准则权系数，确定方案集的排序。决策者给出准则的权系数相对于模糊概念“重要”的直觉模糊集,jjjC。决策者能够通通过过减少直觉指数来改变他对ia在准则jC下相对模糊概念“优秀”的评价，因为他的评价值在闭区间,ijijijUijLij中变化，其中10UljLlj，ljljljUlj1。决策者能够通通过过减少直觉指数来改变他对ia在准则jC下相对模糊概念“重要”的评价，因为他的评价值在 闭区间,jjjUjLj中变化 ，其中jjj1，1,111UjtjLjtj。对于每一方案ia，其最优综合值由下列线性规划模名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11 型确定：1),2,1(),2,1(.max11jtjUjjLjUijijLijjijtjitjtjtsZ上式可转化为：1),2,1(.)(1max111jtjUjjLjjLijUijtjmitjtsnZ求解上式得到最优解为：),(*2*1*t。对方案ia，计算：),(),(),(*BADGADBADdiiii其中，,*1*1*jijtjjijtjiiaA，0,1 ,gG，1 ,0,bB。按id大小确定方案排序，id越大，方案越优。例:一个多准则决策问题，有三个方案321,aaa，三个准则321,CCC，决策者根据自己的知识和经验和统计数据等确定每一方案关于每一准则相对于“优秀”的隶属度和非隶属度如表1 所示。决策者给出准则相对于模糊概念“重要”的隶属度和非隶属度如下：(0.7, 0.05)， (0.8, 0.1)，(0.4,0.4)。试确定三个方案的个排序。表 1 方案的准则值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 12 1a2a3a1C(0.75,0.10) (0.8, 0.15) (0.40, 0.45) 2C(0.60, 0.25) (0.68,0.2) (0.75, 0.05) 3C(0.8,0.2) (0.45, 0.5) (0.60, 0.30) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -