【考前三个月】（江苏专用）2021高考数学 高考必会题型 专题三 函数与导数 第12练 函数的零点 关键抓住破题题眼.doc

第12练函数的零点关键抓住破题题眼题型一函数零点所在区间问题例1函数f(x)ln 的零点所在的大致区间是(n，n1)，则n_.破题切入点确定函数在区间端点处函数值的符号是否相反，根据零点存在性定理判断零点所在区间答案2解析f(x)ln ln(x1)，函数的定义域为(1，)当1<x<2时，ln(x1)<0，>0，所以f(x)>0，故函数在(1,2)上没有零点f(2)ln 11>0，f(3)ln 2，因为22.828，所以>e，故 ln e<ln ，即1<ln 8，所以2<ln 8，即f(3)<0，根据零点存在性定理，可知函数f(x)在(2,3)上必存在零点又由复合函数的单调性判断方法可知f(x)在(1，)单调递减，故n2.题型二函数零点个数问题例2已知f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，方程f(x)0在0,1内有且只有一个根x，则f(x)0在区间0,2 014内根的个数为_破题切入点由条件推出f(x)是周期等于2的周期函数，且关于直线x1对称根据f()0，可得f()0，从而得到函数f(x)在一个周期内的零点个数，最后得到f(x)0在区间0,2 014内根的个数答案2 014解析由f(x1)f(x1)，可知f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)f(x2)，可知函数f(x)关于直线x1对称，因为函数f(x)0在0,1内有且只有一个根x，所以函数f(x)0在区间0,2 014内根的个数为2 014.题型三由函数零点求参数范围问题例3函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x2)f(x)当x0,1时，f(x)2x.若在区间2,3上方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_破题切入点由条件得出函数性质，准确画出图象，结合图象解决答案<a<解析由f(x2)f(x)得函数的周期是2.由ax2af(x)0得f(x)ax2a，设yf(x)，yax2a，作出函数yf(x)，yax2a的图象，如图，要使方程ax2af(x)0恰有四个不相等的实数根，则直线yax2aa(x2)的斜率满足kAH<a<kAG，由题意可知，G(1,2)，H(3,2)，A(2,0)，所以kAH，kAG，所以<a<.总结提高(1)确定零点所在区间主要依据就是零点存在性定理，而函数零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间两端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件而不是必要条件，所以在判断函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理(2)函数零点个数判断问题可直接解方程f(x)0，方程的根的个数就是函数零点的个数，对于无法求解的函数应根据函数的单调性与函数值的符号变化来确定其零点的个数(3)分段函数与零点的结合是比较新颖的一类问题，解决此类问题需注意两个方面：一是分段函数中的每个解析式所对应自变量的取值范围，解方程之后要注意检验根是否在所给定的取值范围中；二是灵活利用函数性质确定零点的个数，灵活利用特殊函数值的符号判断零点所在的范围1f(x)2sin xx1的零点个数为_答案5解析2sin xx10，2sin xx1，图象如图所示，由图象看出y2sin x与yx1有5个交点，f(x)2sin xx1的零点个数为5.2方程|x22x|a21(a>0)的解的个数是_答案2解析(数形结合法)a>0，a21>1.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点3定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零点之和为_答案12a解析当0x<1时，f(x)0.由F(x)f(x)a0，画出函数yf(x)与ya的图象如图函数F(x)f(x)a有5个零点当1<x<0时，0<x<1，所以f(x)log0.5(x1)log2(1x)，即f(x)log2(1x)，1<x<0.由f(x)log2(1x)a，解得x12a，因为函数f(x)为奇函数，所以函数F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零点之和为12a.4已知f(x)则函数的零点个数为_答案2解析当x>0时，由f(x)0，即ln(x2x1)0，得x2x11，解得x0(舍去)或x1.当x0时，f(x)exx2，f(x)ex10，所以函数f(x)在(，0上单调递减而f(0)e0021<0，f(2)e2(2)2e2>0，故函数f(x)在(2,0)上有且只有一个零点综上，函数f(x)有两个零点5(2013·天津改编)函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_答案2解析当0<x<1时，f(x)2xlog0.5x1，令f(x)0，则log0.5xx，由ylog0.5x，yx的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点当x>1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，综上有两个零点6已知函数f(x)则下列关于函数yf(f(x)1的零点个数的判断正确的是_当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点；当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点；无论k为何值，均有2个零点；无论k为何值，均有4个零点答案解析当k>0时，f(f(x)1，综合图(1)分析，则f(x)t1(，)或f(x)t2(0,1)对于f(x)t1，存在两个零点x1，x2；对于f(x)t2，存在两个零点x3，x4.此时共计存在4个零点当k<0时，f(f(x)1，结合图(2)分析，则f(x)t(0,1)，此时仅有1个零点x0.故正确7已知函数f(x)logaxxb(a>0，且a1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.答案2解析由于2<a<3<b<4，故f(1)loga11b1b<0，而0<loga2<1,2b(2，1)，故f(2)loga22b<0，又loga3(1,2)，3b(1,0)，故f(3)loga33b>0，因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n2.8方程2xx23的实数解的个数为_答案2解析方程变形为3x22x()x，令y13x2，y2()x.如图所示，由图象可知有2个交点9(2014·连云港模拟)已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_答案解析若a0，则f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)·f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(1)·f(1)>0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a>.综上，实数a的取值范围为.10(2014·天津)已知函数f(x)若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_答案1<a<2解析画出函数f(x)的图象如图所示函数yf(x)a|x|有4个零点，即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点故a<2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1<a<2时，两个函数图象有4个交点故实数a的取值范围是1<a<2.11.已知函数f(x)x(x2ax3)(1)若f(x)在区间1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x是f(x)的极值点，求f(x)在区间1,4上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)f(x)x(x2ax3)，f(x)3x22ax3.f(x)在区间1，)上是增函数，即3x22ax30在1，)上恒成立分离参数得a(x)在1，)上恒成立当x1时，(x)(11)0，a0.即a的取值范围是(，0(2)依题意得f()0，即a30，a4，f(x)x34x23x.令f(x)3x28x30，得x1，x23.当x在1,4上变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,3)3(3,4)4f(x)0f(x)61812f(x)在区间1,4上的最大值是f(1)6.(3)函数g(x)bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x34x23xbx恰有3个不相等的实根显然x0是其中的一个根，方程x24x3b0有两个非零的不相等的实根b>7且b3.存在满足条件的b，且b的取值范围是(7，3)(3，)12(2014·四川)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，证明：e2<a<1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当<a<时，令g(x)0得xln(2a)(0,1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当<a<时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点所以<a<.此时g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b>0，g(1)e2ab>0.由f(1)0，有abe1<2，有g(0)ae2>0，g(1)1a>0.解得e2<a<1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e2<a<1.- 7 -