【考前三个月】（江苏专用）2021高考数学 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心.doc

【考前三个月】（江苏专用）2015高考数学 数学思想方法篇 专题4 转化与化归是解决问题的核心 方法精要转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决题型一正难则反的转化例1已知集合AxR|x24mx2m60，BxR|x<0，若AB，求实数m的取值范围破题切入点AB，所以A是方程x24mx2m60的实数解组成的非空集合，并且方程的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由0，求出全集U，然后求的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解解设全集Um|(4m)24(2m6)0，即Um|m1或m若方程x24mx2m60的两根x1，x2均为非负，则所以，使AB的实数m的取值范围为m|1题型二传统知识与向量间的转化例2设F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()·0，O为坐标原点，且|，则该双曲线的离心率为_破题切入点根据题目中的条件，结合向量的有关运算，取F2P的中点M，可以得到，从而得到，再结合双曲线的定义即可得到a与c的关系，从而求出双曲线的离心率答案1解析如图，取F2P的中点M，则2.又由已知得·0，.又OM为F2F1P的中位线，.在PF1F2中，2a|(1)|，2c2|.e1.题型三函数、方程、不等式之间的转化例3已知函数f(x)x3x2x(0<a<1，xR)若对于任意的三个实数x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)>f(x3)恒成立，求实数a的取值范围破题切入点恒成立问题的解决往往和最值联系在一起，将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f(x)在1,2上的最大值和最小值问题，同时要注意函数f(x)在1,2上的最大值不能直接由函数的图象得到，而必须讨论f(1)与f(2)的大小关系解因为f(x)x2x(xa2)，所以令f(x)0，解得x1，x22a.由0<a<1，知1<2a<2.所以令f(x)>0，得x<，或x>2a；令f(x)<0，得<x<2a，所以函数f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增所以函数f(x)在1,2上的最小值为f(2a)(2a)2，最大值为maxf(1)，f(2)max.因为当0<a时，a；当<a<1时，a>，由对任意x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x1,2)所以当0<a时，必有2×(2a)2>，结合0<a可解得1<a；当<a<1时，必有2×(2a)2>a，结合<a<1可解得<a<2.综上，知所求实数a的取值范围是1<a<2.题型四以换元为手段的转化与化归例4是否存在实数a，使得函数ysin2xacos xa在闭区间0，上的最大值是1？若存在，则求出对应的a的值；若不存在，则说明理由破题切入点本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设cos xt，转化为关于t的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数y(t)2a，0t1的最值问题，然后分类讨论解决问题解ysin2xacos xa1cos2xacos xa(cos x)2a.0x，0cos x1，令cos xt，则y(t)2a，0t1.当>1，即a>2时，函数y(t)2a在t0,1上单调递增，t1时，函数有最大值ymaxaa1，解得a<2(舍去)；当01，即0a2时，t函数有最大值，ymaxa1，解得a或a4(舍去)；当<0，即a<0时，函数y(t)2a在t0,1上单调递减，t0时，函数有最大值ymaxa1，解得a>0(舍去)，综上所述，存在实数a使得函数有最大值总结提高转化与化归的思想解决问题是高中数学解决问题的核心，数学问题的解决总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化等等，转化的思想渗透到所有的数学教学内容和解题过程中要特别注意函数、方程、不等式的转化，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围1在平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(2，3)的距离为6的直线的条数为_答案1解析设出直线方程利用点到直线的距离求解，较麻烦，可以将点到直线的距离转化为圆心到直线的距离即所探求的直线转化为同时以A、B为圆心的切线问题，则很容易解决因为|AB|5，所以以A为圆心，半径为1的圆(x1)2(y1)21与以B为圆心，半径为6的圆(x2)2(y3)236内切，所以符合题意的直线只有一条2已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是_答案ab>c解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a>1)为增函数，alog23>log221，clog32<log331，ab>c.3对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_答案(2，1(1,2解析依题意可得f(x)作出其示意图如图所示由数形结合知，实数c需有1<c2或2<c1满足题意4过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R、Q两点，则·的值为_答案a2解析当直线RQ与x轴重合时，|a.5.设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_答案解析设P(x0，y0)，倾斜角为，0tan 1，f(x)x22x3，f(x)2x2,02x021，1x0.6P为双曲线1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和圆(x5)2y21上的点，则PMPN的最大值为_答案9解析设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，则其分别为已知两圆的圆心，由已知PF1PF22×36.要使PMPN最大，需PM、PN分别过F1、F2点即可(PMPN)max(PF12)(PF21)PF1PF239.7设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_答案(，1)解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解，x>0时，ex<1，aex<1.8(2014·扬州模拟)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书则小波周末不在家看书的概率为_答案解析去看电影的概率P1，去打篮球的概率P2，不在家看书的概率为P.9已知等差数列an的公差d0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是_答案解析由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，an取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的因此，可把抽象数列化归为具体数列比如，可选取数列ann(nN*)，则.10一束光线从点A(1,1)发出，并经过x轴反射，到达圆(x2)2(y3)21上一点的最短路程是_答案4解析设点A关于x轴的对称点为A，则本题转化为求圆心到点A的距离，然后减去半径即为最短距离根据题意A(1，1)，其到圆心的距离为5，所以所求的最短距离为4.11f(x)x3x，x1，x21,1时，求证：|f(x1)f(x2)|.证明f(x)x21，当x1,1时，f(x)0，f(x)在1,1上递减故f(x)在1,1上的最大值为f(1)，最小值为f(1)，即f(x)在1,1上的值域为，所以x1，x21,1时，|f(x1)|，|f(x2)|，即有|f(x1)f(x2)|f(x1)|f(x2)|.即|f(x1)f(x2)|.12已知函数f(x)eln x，g(x)f(x)(x1)(e2.718)(1)求函数g(x)的极大值；(2)求证：1>ln(n1)(nN*)(1)解g(x)f(x)(x1)ln x(x1)，g(x)1(x>0)令g(x)>0，解得0<x<1；令g(x)<0，解得x>1.函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，g(x)极大值g(1)2.(2)证明由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)，令tx1，得tln(t1)，t>1，取t(nN*)时，则>lnln，1>ln 2，>ln ，>ln ，>ln，叠加得1>ln(2····)ln(n1)即1>ln(n1)- 7 -