【走向高考】2021届高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例（含解析）北师大版.doc

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第7节 正弦定理、余弦定理的应用举例 北师大版一、选择题1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10°B北偏西10°C南偏东10°D南偏西10°答案B解析由图可知ACB180°(40°60°)80°，ACBC，ACBA(180°80°)50°.CEBD，CBDBCE60°，ABDCBDCBA60°50°10°，灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A5n mileB5n mileC10n mileD10n mile答案C解析依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10(n mile/h)3如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A，a，bB，aCa，b，D， 答案D解析利用余弦定理，可由a，b，或，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，求出AB，当只知，时，无法计算AB4一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10海里B10海里C20海里D20海里答案A解析如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里)5(文)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得ABC120°，则A、C两地间的距离为()A10kmBkmC10kmD10km答案D解析利用余弦定理AC2AB2BC22AB·BCcos120°1022022×10×20×()700，AC10(km)(理)如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、(<)，则点A离地面的高度AB等于()ABCD答案A解析在ADC中，DAC，由正弦定理，得AC.在RtABC中，ABAC·sin.6一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A50 mB100 mC120 mD150 m答案A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.二、填空题7(文)(2014·新课标)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°；从C点测得MCA60°.已知山高BC100m，则山高MN_m .答案150解析本题考查解三角形中的应用举例在RtABC中，BC100，CAB45°，AC100.在AMC中，CAM75°，ACM60°，AMC45°.由正弦定理知，AM100.在RtAMN中，NAM60°，MNAM·sin60°100×150(m)(理)(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin67°0.92，cos67°0.39，sin37°0.60，cos37°0.80，1.73)答案60解析本题考查了运用正弦定理解三角形由条件可得：AC92，AB，BC60.8我舰在岛A南50°西12n mile的B处，发现敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10n mile的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为_答案14n mile/h解析设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在ABC中，AC20，AB12，BAC120°.BC2784，v14n mile/h.9(文)如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是_n mile/h.答案32解析设航速长v n mile/h在ABS中，ABv，BS8，BSA45°，由正弦定理得：，v32.(理)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D测得BCD15°，BDC30°，CD30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB_m.答案15解析由已知可得DBC135°，在DBC中，由正弦定理可得，BC15，ABBCtan60°15×15.三、解答题10如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解析(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC××.由正弦定理，得AB×sinC×1040(m)所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.一、选择题1据新化社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A米B10米C米D20米答案A解析如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则ABO45°，AOB75°，OAB60°.由正弦定理知，AO(米)2(2014·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1 000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A11.4B6.6C6.5D5.6答案B解析AB1 000×1 000×(m)，BC·sin30°(m)航线离山顶h×sin75°11.4(km)山高为1811.46.6(km)二、填空题3在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为_m.答案5解析轴截面如图，则光源高度h5(m)4某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50s，升旗手应以_m/s的速度匀速升旗？答案0.6解析在BCD中，BDC45°，CBD30°，CD10(m)，由正弦定理，得BC20(m)；在RtABC中，ABBCsin60°20×30(m)所以升旗速度v0.6(m/s)三、解答题5(文)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的BCD120°，CD40m，求电视塔的高度解析如图，设电视塔AB的高为xm，则在RtABC中，由ACB45°得BCx.在RtABD中，ADB30°，BCx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BC·CD·cos120°，即(x)2x24022·x·40·cos120°，解得x40，电视塔高为40米(理)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点仰角均为60°，AC0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，1.414，2.449)分析解析在ACD中，DAC30°，ADC60°DAC30°，所以CDAC0.1，又BCD180°60°60°60°，故CB是 CAD底边AD的中垂线，所以BDBA在ABC中，所以AB.同理，BD0.33(km)故B、D的距离约为0.33km.6某海域内一观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东50°且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该船已行驶到点A北偏东50°(其中sin，0°<<90°)且与A相距60海里的位置C(1)求该船的行驶速度；(2)若该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测站A的最近距离解析(1)如图(1)，AB80，AC60，BAC，sin.由于0°<<90°，所以cos.由余弦定理得BC40，所以船的行驶速度为40海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理得，sinABC60×，自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，则AD的长是船离观测站的最近距离在RtABD中，ADABsinABD80×15(海里)，船在行驶过程中离观测站A最近距离为15海里- 9 -