2022年第讲函数与方程 .pdf

普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 1 页 共 14 页高三新 数学第一轮复习教案（讲座6）函数与方程一课标要求：1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。预计 2008 年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。二次函数)0(2acbxaxy的零点：），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程的根。2. 二分法二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断， 且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 2 页 共 14 页的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax） ；若)(1xf)(bf0，f(x) 在区间p，q上的最大值M，最小值m，令x0=21 (p+q) 。若ab2p，则f(p)=m，f(q)=M；若pab2x0，则f( ab2)=m，f(q)=M；若x0ab2q，则f(p)=M，f( ab2)=m；若ab2q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0 的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0 ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 3 页 共 14 页二次方程f(x)=0 的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb二次方程f(x)=0 在区间 (p，q) 内有两根; 0)(,0)(,2, 042pfaqfaqabpacb二次方程f(x)=0 在区间 (p，q) 内只有一根f(p) f(q)0，或f(p)=0( 检验 ) 或f(q)=0( 检验 ) 检验另一根若在 (p，q) 内成立。四典例解析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lgx+x=3的解所在区间为（）A(0 ，1) B (1，2) C(2 ，3) D(3 ，+) （2）设a为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(xaxx的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象 ( 如图 ) 。它们的交点横坐标0 x，显然在区间 (1，3) 内，由此可排除A，D至于选B还是选C，比较0 x与2 的大由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要小。当x=2时， lgx=lg2 ，3-x=1。由于 lg2 1，因此0 x2，从而 判 定0 x (2 ，3) ，故本题应选C。（2）原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301即31352xxxa构造函数)31 (352xxxy和ay，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当31a或413a时，原方程有一解；当4133a时，原方程有两解；当1a或413a时，原方程无解。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程x0321321oyxXY12341234025xay名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 4 页 共 14 页lgx+x=3 解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0 x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例 2 （2005 广东 19）设函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间 0，7上，只有(1)(3)0ff。（）试判断函数( )yf x的奇偶性；（）试求方程( )f x=0在闭区间 2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。解析：由f(2 x)=f(2+x),f(7 x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy不是奇函数 , 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf, 从而知函数)(xfy的周期为10T又0)7(, 0)0()3(fff而, 故函数)(xfy是非奇非偶函数; (II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf(III) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff故f(x) 在0,10和 10,0 上均有有两个解, 从而可知函数)(xfy在0,2005上有 402个解 ,在 2005.0 上有 400 个解 , 所以函数)(xfy在 2005,2005 上有 802 个解。点评：解题过程注重了函数的数字特征“(1)(3)0ff” ，即函数的零点，也就是方程的根。题型 2：零点存在性定理例 3 （2004 广东 21）设函数( )ln()f xxxm，其中常数m为整数。（1）当m为何值时，( )0f x；（2）定理：若函数( )g x在 , a b上连续，且( )g a与( )g b异号，则至少存在一点0( , )xa b，使得0()0g x试用上述定理证明：当整数1m时，方程( )0f x在2,mmem em内有两个实根。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 5 页 共 14 页解析： （1）函数f(x)=xln(x+m),x( m,+) 连续，且mxxfmxxf1,0)(,11)(得令当x( m,1m)时,f（x） f(1 m) 当x(1 m, + )时,f（x）0,f(x) 为增函数 ,f(x)f(1 m) 根据函数极值判别方法，f(1m)=1m为极小值，而且对x( m, + ) 都有f(x) f(1 m)=1m 故当整数m 1 时，f(x) 1m 0 (2) 证明：由（ I ）知，当整数m1时，f(1 m)=1-m1时，), 1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmm类似地，当整数m1 时，函数f(x)=x-ln(x+m), 在,1memm上为连续增函数且f(1-m) 与)(2mefm异号，由所给定理知，存在唯一的0)(,1 22xfmemxm使故当 m1时，方程f(x)=0 在,2mememm内有两个实根。点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例 4若函数)(xfy在区间 a,b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A若0)()(bfaf，不存在实数),(bac使得0)(cf；B若0)()(bfaf，存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf；C若0)()(bfaf，有可能存在实数),(bac使得0)(cf；D若0)()(bfaf，有可能不存在实数),(bac使得0)(cf；解析：由零点存在性定理可知选项D 不正确；对于选项B，可通过反例“)1)(1()(xxxxf在区间2,2上 满 足0)2()2(ff， 但 其 存 在 三 个 解 1 ,0 , 1” 推 翻 ； 同 时 选 项A可 通 过 反 例“)1)(1()(xxxf在区间2,2上满足0)2()2(ff，但其存在两个解 1 , 1” ；选项 D正确，见实例“1)(2xxf在区间2 ,2上满足0)2()2(ff，但其不存在实数解” 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 6 页 共 14 页点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型 3：二分法的概念例 5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将)(xfy在a,b 内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(xfy在a,b 内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，)(xfy在a,b 内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到0)(xf在a,b 内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。点评：该题深入解析了二分法的思想方法。例 6方程0)(xf在0 ，1 内的近似解，用“二分法”计算到445. 010 x达到精确度要求。那么所取误差限是（）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005 解析：由四舍五入的原则知道，当)4455. 0,4445. 010 x时，精度达到445.010 x。此时差限是0.0005 ，选项为C。点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。题型 4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 7借助计算器，用二分法求出xx32)62ln(在区间（ 1，2）内的近似解（精确到0.1 ） 。解析：原方程即023)62ln(xx。令23)62ln()(xxxf，用计算器做出如下对应值表x 2 1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 4.6974 观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点1x=1.5 ，且00.1)5.1(f，从而，可知零点在（1，1.5 ）内；再取区间中点2x=1.25 ，且20.0)25.1(f，从而，可知零点在（1.25 ，1.5 ）内；同理取区间中点3x=1.375 ，且0)375.1(f，从而，可知零点在（1.25 ，1.375 ）内；由于区间（ 1.25 ，1.375 ）内任一值精确到0.1 后都是 1.3 。故结果是1.3 。点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。例 8借助计算器或计算机用二分法求方程732xx的近似解（精确到1.0） 。分析： 本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 7 页 共 14 页么方法确定方程的根的个数？略解：图象在闭区间a，b上连续的单调函数)(xf，在a(，)b上至多有一个零点。点评：第一步确定零点所在的大致区间a(，)b，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1 的区间；建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度1 ，2 )5.1 (f0 1 1 ，1.5 )25.1(f0 0.5 1.25 ，1.5 )375.1 (f0 0.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。题型 5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例9 设 二 次 函 数f xaxbxc a20， 方 程f xx0的 两 个 根xx12,满 足. 当xx01,时，证明xf xx1。证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf，axxx1021, ?0)(21xxxxa, ?当xx01,时，xxf)(。又) 1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf, , 011, 0221axaxaxxx且?1)(xxf, 综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程f xx0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式。例 10已知二次函数)0,(1)(2aRbabxaxxf，设方程xxf)(的两个实数根为1x和2x. （1）如果4221xx，设函数)(xf的对称轴为0 xx，求证：10 x；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 8 页 共 14 页（2）如果21x，212xx，求b的取值范围 . 解析：设1)1()()(2xbaxxxfxg，则0)(xg的二根为1x和2x。（1）由0a及4221xx，可得0)4(0)2(gg，即034160124baba，即,043224, 043233aabaab两式相加得12ab，所以，10 x；（2）由aabxx4)1()(2221, 可得1)1(122ba。又0121axx，所以21,xx同号。?21x，212xx等价于1) 1(1220221baxx或1)1(1202212baxx, 即1)1(120)0(0)2(2bagg或1)1(120)0(0)2(2bagg解之得41b或47b。点评：条件4221xx实际上给出了xxf)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。题型 6：一元二次函数与一元二次不等式例 11设f xaxbxc a20，若f 01，f 11，f 11, 试证明：对于任意11x，有fx54。解析：cfcbafcbaf0,1,1, ?0),1()1(21),0211(21fcffbfffa, ?222102121xfxxfxxfxf. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 9 页 共 14 页?当01x时，.4545)21(1)1(2212210212122222222222xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当10 x时，222102121xfxxfxxfxf222122xxxxx)1 (22222xxxxx.4545)21(122xxx综上，问题获证。点评：本题中，所给条件并不足以确定参数ba,的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用1,1,0fff来表示cba,。例 12 已知二次函数f xaxbxc( )2， 当11x时，有11f x( )， 求证：当22x时，有77fx( )解析：由题意知：cbafcfcbaf)1 (,)0(,)1(，?)0(),1()1 (21),0(2)1() 1(21fcffbfffa，?f xaxbxc( )22221)0(2)1(2) 1 (xfxxfxxf。由11x时，有11f x( )，可得, 1) 1(f,11f10f。?7)0(3) 1(1303113)2(fffffff, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 10 页 共 14 页7)0(3)1(3103131)2(fffffff。（1）若2,22ab，则xf在2,2上单调，故当2, 2x时，)2(,) 2(max()(maxffxf?此时问题获证 . （2）若2,22ab，则当2,2x时，)2, )2(, )2(max()(maxabfffxf又72411214) 1()1 (2022422ffabfbabcabcabf，?此时问题获证。综上可知：当22x时，有77f x( )。点评：研究)(xf的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数cba,. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑)1(f，)1(f，)0(f，这样做的好处有两个：一是cba,的表达较为简洁，二是由于01和正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。要考虑xf在区间7 , 7上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑xf在区间端点和顶点处的函数值。题型 7：二次函数的图像与性质例 13 （1996 上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（ab）x的图象只可能是（）解析一：由指数函数图象可以看出0ab1. 抛物线方程是y=a（x+ab2）2224ab，其顶点坐标为（ab2，ab42） ，又由 0ab1，可得21ab20. 观察选择支，可选A。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 11 页 共 14 页解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0 或x=ab，而 1ab0. 故选A。点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。例 14（ 2002 全国高考题）设aR，函数f(x)=x2+|xa|+1,xR. （1）讨论f(x) 的奇偶性（2）求f(x) 的最小值 . 解：（ 1）显然a=0 时，f(x) 为偶函数，当a0 时，f(a)=a2+1, f( a)=a2+2|a|+1 f(a) f( a), f(a)+f( a) 0 ?此时f(x) 为非奇非偶函数. （2）首先应先去掉绝对值，再进行讨论. 当xa时，43)21(1)(22axaxxxf. 若21a, 则f(x) 在区间（ - ，a上单调递减，?f(x) 的最小值为f(a)=a2+1.( 如图 (I) 若21a，则f(x) 在区间（ - ，a 上的最小值为af43)21(（如图 II). 当xa时，43)21(1)(22axaxxxf，若21a，则f(x) 在a,+ 上的最小值为af43)21(（如图 III）。若21a，则f(x) 在a,+ 上单调递增。则f(x) 在a,+ 上的最小值为f(a)=a2+1.( 如图 IV) 。综上，当21a时，f(x) 最小值为a43。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 12 页 共 14 页当2121a时，f(x) 最小值为a2+1。当21a时，f(x)最小值为43a。点评：该题考察到函数的图像与性质的综合应用，考察了分类讨论的思想。题型 8：二次函数的综合问题例 15 （2005 浙江文 20）已知函数fx和g x的图象关于原点对称，且22fxxx。( ) 求函数g x的解析式； () 解不等式1g xfxx； () 若1h xg xfx在1,1上是增函数，求实数的取值范围。解 析 ： ( ) 设 函 数yfx的 图 象 上 任 意 一 点00,Q xy关 于 原 点 的 对 称 点 为,P x y， 则00000,2.0,2xxxxyyyy即点00,Q xy在函数yfx的图象上?22222 ,2yxxyxxg xxx，即故( ) 由21210g xfxxxx， 可得当1x时，2210 xx，此时不等式无解。当1x时，2210 xx，解得112x。因此，原不等式的解集为11,2。（）212 11h xxx1411,1h xx当时，在上是增函数，111.1x当时，对称轴的方程为）111,1.1当时,解得）111,10.1当时,解得0.综上，点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。例 16已知函数xzaxf22)(。（1）将)(xfy的图象向右平移两个单位，得到函数)(xgy，求函数)(xgy的解析式；（2）函数)(xhy与函数)(xgy的图象关于直线1y对称，求函数)(xhy的解析式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 13 页 共 14 页（3）设)()(1)(xhxfaxF，已知)(xF的最小值是m且72m，求实数a的取值范围。解析： (1);22222xxaxfxg(2) 设xhy的图像上一点yxP,，点yxP,关于1y的对称点为yxQ2,，由点Q 在xgy的图像上，所以yaxx22222，于是,22222xxay即;22222xxaxh（3）22)14(2411)()(1)(xxaaxhxfaxF。设xt2，则21444)(tataaxF。问题转化为：7221444tataa对0t恒成立 . 即0147442attaa对0t恒成立 . （* ）故必有044aa. （否则，若044aa，则关于t的二次函数14744)(2attaatu开口向下，当t充分大时，必有0tu；而当044aa时，显然不能保证（* ）成立 . ） ，此时，由于二次函数14744)(2attaatu的 对 称 轴0847aat， 所 以 ， 问 题 等 价 于0t， 即0144447044aaaaa，解之得：221a。此 时 ，014,044aaa， 故21444)(tataaxF在aaat4) 14(4取 得 最 小 值214442aaam满足条件。点评：紧扣二次函数的顶点式,44222abacabxay对称轴、最值、判别式显合力。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 14 页 共 14 页五思维总结1函数零点的求法：（代数法）求方程0)(xf的实数根；（几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。2学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题。由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。（1）二次函数的一般式cbxaxy2)0(c中有三个参数cba,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数。（2）数形结合：二次函数0)(2acbxaxxf的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。因为二次函数0)(2acbxaxxf在区间2,(ab和区间),2ab上分别单调，所以函数xf在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(xf在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -