七年级数学竞赛讲座13 角的认识.doc

七年级数学竞赛系列讲座(13)角的认识一、 一、知识要点具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。二、 二、例题精讲例1 例1       如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线， OD平分ÐAOD，OE在ÐBOC内，ÐBOEÐEOC，ÐDOE70°，求ÐEOC的度数。分析：易得ÐEOCÐBOC，而ÐBOC +ÐAOB180°，结合OD平分ÐAOB，可作ÐBOC平分线，结合ÐDOE可求出ÐBOC，从而求ÐEOC的度数解：作ÐBOC平分线OF，则ÐBOFÐCOFÐBOCOD平分ÐAOBÐAODÐDOBÐAOB又ÐBOC +ÐAOB180°ÐDOB+ÐBOF90°即ÐDOF90°ÐEOFÐDOF-ÐDOE20°又ÐEOFÐBOF-ÐBOE而ÐBOFÐBOC，ÐBOEÐBOCÐEOFÐBOC-ÐBOCÐBOCÐBOC6ÐEOF120°ÐEOCÐBOC×120°80°即ÐEOC80° 例2 例2       一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（）A锐角B直角C钝角D不能确定分析：设该锐角为a，它的余角（90°-a）的补角b应为180°-（90°-a）90°+a，b与a的差（90°+a）-a90°故选B 例3 例3       已知Ða的余角是Ðb的补角的，Ðb110°，求Ða的范围。分析：显然Ða是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出Ða与Ðb的关系，再由Ðb的范围，可求出Ða的范围。解：Ða的余角为90°-a，Ðb的补角为180°-b由题意，得90°-a（180°-b）b5a-270°Ðb110°5a-270°110° a76°又由条件知Ða为锐角a90°故Ða的范围是76°a90°评注：本例把Ða转化到Ðb进而求出Ða的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略a90°这一条件。 例4 例4       当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°76°分针与12点构成的角度是32×6°192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°116°评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)=300°-85°=215°180°则时针与分针的夹角为360°-215°145°（2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y表示时针与分针的夹角的表达式。例5 例5       如图射线OA表示北偏东60°，射线OB表示东南方向，BOC是AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。解：AOB=30°+45°=75°AOB的余角BOC=90°-75°=15°OC表示南偏东30°，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30°评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。 例6 例6       如图，OA1，OA2，OA10是以O为端点的十条射线，A1OA1090°，则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？解法一：以O为端点，以十条射线OA1，OA2，OA10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA1，OA2，OA10中选出两条配成的对数。共有9+8+7+6+5+4+3+2+145对，所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，OA10于A1，A2，A10，则每一个角对应于A1 A10上的某一条线段。反过来，A1 A10上的每一条线段又对应于某一个角，如A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1 A10上的线段数即可，而A1 A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+145条因此，图中共有45个角 例7 例7       求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则ÐAOC与ÐBOD成对顶角。设OE、OF分别为ÐAOC、ÐBOD的平分线， ÐAOE=ÐAOC ÐBOF=ÐBOD 且 ÐAOC=ÐBOD ÐAOE=ÐBOF又 ÐBOF+ÐFOD+ÐDOA=180° ÐAOE+ÐFOD+ÐDOA=180°即 ÐEOF=180° OE、OF在同一直线上。评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题 例8 例8       已知：直角ÐAOB，以点O为端点在ÐAOB的内部画出1995条射线，以OA、OB及这些射线为边的锐角的个数是多少？解：设以O为端点在ÐAOB的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP2，OP3，OP1995则以OA为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP1，OP2，OP3，OP1995）以OP1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP2，OP3，OP1995，OB）以OP2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP3，OP4，OP1995，OB）以OP1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB）共有1995+1995+1994+1993+2+11993005（个）三、 三、巩固练习选择题1、两个角的补角互余，则这两个角的和的大小是A.180° B.135° C. 270° D.90°2、如图，OM是ÐAOB的平分线，射线OC在ÐBOM内部，ON是ÐBOC的平分线，已知ÐAOC80°，则ÐMON为（）A30°B40°C45°D50°3、已知一个直角以为端点在的内部画10条射线，以以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。（A）110 （B）132 （C）66 （D）654、O是直线AB上的一点，ÐAOD120°，COAB于O ，OE是ÐBOD的平分线，则图中彼此互补的角共有（）A4对B5对C6对D7对5、一张长方形的纸如图将角折起到处，作EFB的平分线，则的大小是（ ） （A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（）A110°B130°C120°D150° 第5题填空题7已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于度。8如图，是一条直线，OB、OD分别是角平分线则图中的钝角共有个。9不相等的两角和的两边分别平行，其中角比角的3倍少20，则的大小是。 第8题10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在 。11、O为平面上一点，过O在这个平面上引2001条不同的直线l1，l2，l3，12001，则可形成 对以O为顶点的对顶角。12、图中三角形的个数是。解答题 13、一个角的余角的2倍和它的补角的互为补角，求这个角的度数。 (第12题)14、如图所示的五角星形中共可数出多少个三角形。   15、ABC是锐角三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB上的点，连DE、EF、DF，图中大于0°小于180°的角有多少个？      第15 题16、如图，求ÐA+ÐB+ÐC+ÐD+ÐE+ÐF的值。17、如图，BE、DE是ÐABC、ÐADC的角平分线 求证：ÐE=(ÐA+ÐC)18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。20、已知ÐAOB是120°，以O为端点在OA与OB之间作射线使它们与OA、OB之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？5