【江海名师零距离】2021届高三数学二轮总复习专题23 运用函数与方程的思想方法解题.doc

专题二十三 运用函数与方程的思想方法解题 【典题导引】例1. 设是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值解：依题意可设，则.又因为在椭圆上，所以，因为，若，则，当时，取最大值；若，则当时，取最大值2. 综上，当时，最大值为；当时，最大值为2.例2. 已知函数，（1）求函数的最大值；（2）设，证明：（1）解：函数的定义域为，令解得， 当时, , 当时,，又, 故当且仅当时，取得最大值，最大值为.（2）证法一：.由（1）结论知,由题设,因此所以又综上，证法二：设 则当时,因此在内为减函数;当时,因此在上为增函数.从而当时,有极小值.而,所以 即设,则.当时，. 因此在上为减函数.因为,即例3. 已知函数，（其中为常数）（1）设，问是否存在，使得？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）记函数，若函数有个不同的零点，求实数的取值范围解：（1）假设存在，即存在，使得，当时，则存在，使得， 当,即时，,得，；当,即时，,得，无解.综上： （2）据题意知有个不同的实根，有个不同的实根，且这个实根两两不相等有个不同的实根，只需满足；有个不同的实根，因为.当,即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍去；当,即时，不符合题意，舍去；当,即时，在处取得极大值，；因为要同时满足，故；下证：这个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，当时，不符合，舍去；当时，既有 ；又由，即 ；联立式，可得；而当时，没有个不同的零点，故舍去，所以这个实根两两不相等综上，当时，函数有个不同的零点例4. 已知数列是各项均为正数的等差数列（1）若，且，成等比数列，求数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，数列的前和为，设，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最小值解：（1）因为,又因为是正项等差数列，故，所以，得或(舍去)，所以数列的通项公式；（2） 因为， ，令，则， 当时，恒成立，所以在上是增函数，故当时，即当时，要使对任意的正整数， 不等式恒成立，则须使， 所以实数的最小值为【归类总结】1函数思想用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量 关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题.2方程思想分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程， 通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决4函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程，就是求函数的零点，解不等式 (或)，就是求函数的正负区间，再如方程的解的问题可以转化为函数与的交点问题，也可以转化为函数与轴的交点问题，方程有解，当且仅当属于函数的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要- 5 -