【状元之路】2021-2021学年高中数学 直线与圆的位置关系单元测评 新人教A版选修4-1.doc

单元测评(二)直线与圆的位置关系(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1如图，AB是O的直径，BAC70°，则ABC的度数是()A20°B40°C70° D45°解析：AB是O的直径，C90°，又BAC70°，ABC90°70°20°.答案：A2如图，在圆内接四边形ABCD中，A60°，B90°，AB2，CD1，则BC()A2 B1C2 D22解析：延长BC交AD的延长线于点P，B90°，A60°，P30°，CDPB90°.在RtCDP中，CD1，PC2.在RtABP中，BPAB2，BCBPPC22.答案：D3如图，AB是O的直径，弦CD与AB交于点P，PA2，PC6，PD4，则AB等于()A3 B8C12 D14解析：要求AB的长，需求出PB的长，由相交弦定理知PA·PBPC·PD，解得PB12，故ABPAPB14.答案：D4如图，O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，已知PA6，PO12，AB，则O的半径为()A4 B6C6 D8解析：设O的半径为r，由割线定理有PA·PBPC·PD，PA(PAAB)(POr)(POr)6×(12r)(12r)，解得r8.答案：D5如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，连接CD，若O的半径r，AC2，则cosB的值是()A. B.C. D.解析：在O中，所以BD，AD为O的直径，ACD90°，DC，cosBcosD.答案：B6如图所示，ABBC，DCBC，BC与以AD为直径的O相切于点E，AB9，CD4，则四边形ABCD的面积为()A78 B65C45 D37解析：如图所示，不妨设O与AB交于F，分别连接OE，DF.根据切线的性质，可得OEBC.OE，AB，CD都是平行的，又O是AD的中点，rOE(ABCD)×(94).又AFABCD5，在RtADF中，DF12，S(ABCD)·DF×13×1278.答案：A7如图，两个等圆O与O外切，过O作O的两条切线OA、OB，A、B为切点，则AOB等于()A30° B45°C60° D90°解析：连接OA，OB，OO，有OAOA，OBOB，OO2OA2OB，AOOBOO30°，AOB60°.答案：C8如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC等于()A15° B30°C45° D60°解析：AB是直径，ACCB.cosABC.B60°.由弦切角定理得DCAB60°，又ADl，故DAC30°.答案：B9如图，AB，AC为O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BDOB，连接AD.如果DAC78°，那么ADO等于()A70° B64°C62° D51°解析：AB，AC为O的切线，CAOBAO，又OBBD，OABDAB，DAC78°，OAD×78°52°，ADO64°.答案：B10如图，PA，PB切O于点A，B，过P点在APB内引一割线PEF，过B点作BCPE，与O交于点C，连接AC，与EF交于点M，则下列结论成立的是()AEMFM BEMFMCEMFM DEM2FM解析：PB切O于点B，12.又PEBC，23，故有13.B，M，A，P四点共圆而O，A，P，B四点也共圆，过A，P，B三点的圆只有一个，O，M，A，P，B五点共圆连接OA，OM，有OAPA，即OAP90°.又OMPOAP90°，即OMEF，EMFM.答案：C第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11如图，点D在O的弦AB上移动，AB4，连接OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_解析：取AB的中点为E，连接OC，OE，则CD，要求CD的最大值，则点D与E重合，可知结果为2.答案：212如图，CD是O的直径，BE切O于B点，DC的延长线交BE于A，A20°，则DBE_.解析：在RtOBA中，A20°，AOB70°.BOD180°AOB110°.又DBEBOD，DBE55°.答案：55°13如图所示，过圆C外一点P作一条直线与圆C交于A，B两点，BA2AP，PT与圆C相切于T点，已知圆C的半径为2，CAB30°，则PT_.解析：如图所示，取AB的中点D，连接CD，则CDAB，CA2，在ACD中，ADC90°，CAD30°，所以AD.则AB2AD2，又PT是圆C的切线，所以PT2PA·PBAB·ABAB2(2)29，所以PT3.答案：314如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CDAB，垂足为D，已知AD2，CB4，则CD_.解析：根据射影定理得CB2BD·BA，即(4)2BD(BD2)，BD6，CD2AD×BD12，得CD2.答案：2三、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)如图，PA切O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交O于B，C两点，求证：DPBDCP.证明：因为PA与圆O相切于点A，所以DA2DB·DC.(2分)因为D为PA中点，所以DPDA，所以DP2DB·DC，即.(6分)因为BDPPDC，所以BDPPDC，所以DPBDCP.(12分)16(12分)如图所示，已知半圆的直径AB6 cm，CD是半圆上长为2 cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由解：是理由如下，如图所示，连接BC.CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，PBC为定值，PACBPBC90°PBC，为定值(6分)PCDPBA，PCDPBA，.在RtPBC中，cosP，sinP .(12分)17(12分)如图所示，PA为O的切线，PBC是过点O的割线，PA10，PB5，BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E，求AD·AE的值解：如图所示，连接CE. PA是O的切线，PBC是O的割线，PA2PB·PC.又PA10，PB5，PC20，BC15.PA切O于A，PABACP.(6分)又P为公共角，PABPCA，.BC为O的直径，CAB90°，AC2AB2BC2225，AC6，AB3，又ABCE，CAEEAB.ACEADB，AD·AEAB·AC90.(12分)18(14分)已知：以RtABC的直角边AB为直径作O，与斜边AC交于点D，过点D作O的切线交BC边于点E.(1)如图，求证：EBECED；(2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC24DF·DC.若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由解：(1)连接BD，由于ED，EB是O的切线，由切线长定理，得EDEB，DEOBEO，OE垂直平分BD，又AB是O的直径，ADBD，ADOE，即OEAC，又O为AB的中点，OE为ABC的中位线，BEEC，EBECED.(6分)(2)在DEC中，由于EDEC，CCDE，DEC180°2C，当DECC时，有180°2CC，即0°C60°时，在线段DC上存在点F满足条件，在DEC内，以ED为一边，作DEF，使DEFC，且EF交DC于点F，则点F即为所求，这是因为：在DCE和DEF中，CDEEDF，CDEF，DEFDCE，DE2DF·DC，即2DF·DC，BC24DF·DC.当DECC时，DEC为等边三角形，即DECC60°，此时，C点即为满足条件的F点，于是，DFDCDE，仍有BC24DE24DF·DC.当DECC时，即180°2CC,60°C90°，所作的DEFDEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.综上可知：当0°C60°时，在线段DC上存在点F，满足BC24DF·DC.F位置如图所示(14分)11