2021-2022学年度强化训练北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步测试练习题(无超纲).docx

北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线结合图象分析下列结论：；一元二次方程的两根分别为，；若为方程的两个根，则且其中正确的结论有（ ）个A2B3C4D52、如图，抛物线yax2+bx+c交x轴分别于点A（3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C下列结论：2ab0；a+b+c0；当m1时，abam2+bm；当ABC是等腰直角三角形时，a；若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x1上的动点P与B、D两点围成的PBD周长最小值为3+10其中，正确的个数为（）A2个B3个C4个D5个3、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A等边三角形B双曲线C抛物线D平行四边形4、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（1，3），与x轴的交点A在点（3，0）和（2，0）之间，以下结论：abc0；b24ac=0；a+b+c0；2ab=0；ca=3；其中正确的有（ ）个A2B3C4D55、将抛物线yx2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）ABCD6、已知二次函数yax2+bx+c的图象如图，对称轴为直线x1，则以下结论正确的是（）Aac0Bc5b0C2ab0D当a1时，抛物线的顶点坐标为(1，5)7、已知二次函数的图象如图所示，在下列五个结论中：；其中正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个8、由二次函数，可知（ ）A开口向上B对称轴为直线x1C最大值为1D顶点坐标为（1，1）9、已知二次函数中的与的部分对应值如下表所示012131根据表中的信息，给出下列四个结论：抛物线的对称轴是直线；抛物线的顶点坐标是；当时，的值为；若点，点两个点都在抛物线上，则其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个10、下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（ ）Ay3x22xByx23x4Cyx24x4Dyx24x5第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若二次函数在时的最小值为6，那么m的值是_2、准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB3米，喷水点A与地面的距离OA1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC2米（如图2），此时水柱的函数表达式为_，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为_米（保留根号）3、抛物线yx26x+1的顶点纵坐标是 _4、已知抛物线ya（x+1）2+k（a0）上有三点(3，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是_（用“”连接）5、抛物线的顶点坐标是_，图象的开口方向是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，（1）若，点A到轴的距离为_；求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3），是抛物线上两点，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若存在m，使得，直接写出a的取值范围3、抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）（1）若抛物线yax2+bx+c过原点，m2，n4，求其解析式（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：yx+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN2，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由（3）如图（2），抛物线yax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为ykx+t，当SHCQ2SGCQ，试证明是否为一个定值4、已知抛物线（m为常数，且m0）（1）抛物线的对称轴为 （2）当此函数经过（3，3）时，求此函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围（3）当1x2时，y有最小值3，求y的最大值（4）设直线x1分别与抛物线交于点M、与x轴交于N，当点M、N不重合时，过M作y轴的垂线与此函数图象的另一个交点为若，直接写出m的值5、已知抛物线经过点M（1，1），N（2，5）（1）求，的值；（2）若P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且，求的值-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可【详解】解：抛物线开口向下，因此a0，对称轴为x=10，因此a、b异号，所以b0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c0，所以abc0，故正确；当x=2时，y=4a+2b+c0，故正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x=1因此另一个交点坐标为（-1，0），所以a-b+c=0，又x=-=1，有2a+b=0，所以3a+c=0，而a0，c0，因此2a+c0，故不正确；由cx2+bx+a=0可得方程的解为和，抛物线与x轴交点（3，0），（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3，x2=-1；， 当时， 3a+c=0，c=-3a，cx2+bx+a=0的两根，x2=-1，故正确；抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点（3，0），（-1，0），且a0，因此当y=-2时，相应的x的值大于3，或者小于-1，即m-1，n3，故正确；综上所述，正确的结论有：共4个，故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键2、C【分析】根据二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可【详解】解：抛物线yax2+bx+c交x轴分别于点A（3，0），B（1，0），a+b+c0，故正确；对称轴为直线x1，1，2ab0，故正确；由图象可知，当x1时，y有最大值，最大值ab+c，m1，ab+cam2+bm+c，abam2+bm，故正确，A（3，0），B（1，0），AB4，ABC是等腰直角三角形时，C（1，2），可设抛物线的解析式为ya（x+1）2+2，把（1，0）代入得到a，故正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时BDP的周长最小，最小值PD+PB+BDPD+PA+BDAD+BD，AD3，BD，PBD周长最小值为3，故错误故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，属于中考常考题型3、B【分析】根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形”及“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，结合二次函数的图象及反比例函数的图象，进而问题可求解【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B、双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；C、抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；故选B【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象是解题的关键4、B【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【详解】解：根据题意画出图形如下：抛物线开口向下，对称轴为直线x1，与y轴交于正半轴，a0，1，c0，b2a0，abc0，结论正确；抛物线与x轴有两个交点，0，b24ac0，故错误；由于对称轴为x1，x3与x1关于x1对称，x3时，y0，x1时，yabc0，故错误；对称轴为x1，2ab0，故正确；顶点为B（1，3），yabc3，ya2ac3，即ca3，故正确；故正确的有个，故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，利用二次函数图象与系数的关系逐一分析五条结论的正误是解题的关键5、A【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可【详解】解：将抛物线yx2向上平移3个单位长度得到的抛物线是故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键6、B【分析】根据图象可判断a和c的符号，即可判断A；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，即可得出，再根据抛物线对称轴为直线x1，即，且可判断出，通过整理可得出，即可判断B；由，即可判断C；由，可求出b、c的值，即得出抛物线解析式，再变为顶点式，即可判断D【详解】解：根据图象可知，该二次函数开口向下，该二次函数与y轴交点在x轴上方，故A选项错误，不符合题意；该抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，对称轴为直线x1，即，即，故B选项正确，符合题意；，故C选项错误，不符合题意；当时，即 ，解得：，该二次函数解析式为，改为顶点式为，抛物线顶点坐标为(1，4)，故D选项错误，不符合题意；故选B【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键7、C【分析】由抛物线开口向上得a>0，由抛物线的对称轴为直线x=->0得b<0，判断；由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c<0，则abc>0判断，利用图象将x=1，-1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线开口向上，a>0，抛物线的对称轴x=->0，b0，-1，2a>-b，2a-b-2b，b0，-2b>0，即2a-b>0，故错误；抛物线与y轴的交点在x轴下方，c<0，abc0，所以错误；如图所示：当x=1时，y=a+b+c0，故正确；当x=-1时，y=a-b+c>0，故正确；当x=2时，y=4a+2b+c>0，故正确，故错误的有3个故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键8、B【分析】由二次项系数正负，判断开口方向，利用对称轴的公式，求出对称轴，将对称轴代入二次函数表达式，即可求出最值和顶点坐标【详解】解：A、由于，开口方向向下，故A错误B、对称轴为直线，故B正确C、将代入函数表达式中求得：，最大值为，故C错误D、根据对称轴及最值可知，顶点坐标为（1，1），故D错误故选：B【点睛】本题主要是考查了二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质，是求解该题的关键9、C【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案【详解】根据题意，得： 抛物线的对称轴是直线，故正确；当时，抛物线取最大值 抛物线的顶点坐标是，即正确；当时，的值为，故错误；，抛物线的对称轴是直线时，y随x的增大而增大 ，即正确故选：C【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解10、D【分析】将函数交点问题，转化为求方程根，然后分别计算判别式的值，来判断抛物线与x轴的交点个数即可【详解】A、=22-4×(-3)×0>0，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、=(-3)2-4×1×(-4)>0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、=(-4)2-4×1×4=0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、=42-4×1×5<0，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确故选：D【点睛】本题考查的是函数图象与x轴的交点的判断，熟练掌握方程与函数的联系及根的判别式是正确解答本题的关键二、填空题1、或【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，则有该二次函数的最小值为4，然后由题意可分当m0时，则有y随x的增大而减小，当m1时，则y随x的增大而增大，进而根据函数的性质可进行求解【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，当x=1时，二次函数有最小值，最小值为，二次函数在时的最小值为6，然后可分当m+11时，即m0，则有y随x的增大而减小，当x=m+1时，函数有最小值，即为，解得：（正根舍去），当m1时，则y随x的增大而增大，当x=m时，函数有最小值，即为，解得：（负根舍去），综上所示：m的值是或；故答案为或【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键2、 【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，先根据BD与水平线成45°角，从而得到直线BD与直线平行，再根据，得出MN平行于直线，利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，再根据直线MN和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据求出直线MN的解析式，再求出直线MN与y轴的交点M的坐标，求出BM的长度，再根据，求出BG即可【详解】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，过点B作BGMN于G，如图：抛物线的顶点C的坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入得：，解得：，BCy轴，BD与直线平行，且BD与y轴的夹角是45°，MN与直线平行，设MN的解析式为，MN与抛物线只有一个交点，方程组只有一组解，方程有两个相等的实数根，将方程整理得：，解得：，MN的解析式为，令，得，（米），在中，（米），此时水住与遮阳棚的最小距离为米故答案为：，【点睛】本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键3、（3，-8）【分析】根据题意将抛物线yx26x+1配方成顶点式求解即可【详解】解：抛物线yx26x+1，yx26x+1，顶点坐标为：（3，-8）故答案为：（3，-8）【点睛】此题考查了二次函数的顶点式表达式，二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数一般式表达式配方成顶点式表达式的方法4、y2y1y3【分析】根据题目中的抛物线的解析式可以得到该抛物线的对称轴、开口方向，从而可以判断出y1、y2、y3的大小关系，本题得以解决【详解】解：抛物线解析式为ya（x+1）2+k（a0），该函数开口向上，对称轴是直线x-1，当x-1时，y随x的增大而增大，当x-1时，y随x的增大而减小，即函数图像上的点离对称轴越远其函数值越大，|-3-（-1）|2，|-（-1）|1.5，|2-（-1）|3，点A（-3，y1）、B（，y2）、C（2，y3）是图象上的三个点，y2y1y3，故答案为：y2y1y3【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答5、（1，5） 开口向上 【分析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k的图象的开口方向由a决定，a0时开口向上；a0时开口向下以及对称轴为直线x=h和顶点坐标（h，k），进行分析即可【详解】解：a=20，抛物线开口向上，顶点坐标（h，k），顶点坐标（1，5）.故答案为：（1，5），开口向上.【点睛】本题考查二次函数的性质，注意掌握抛物线顶点式y=a（x-h）2+k（）与顶点坐标（h，k）三、解答题1、（1）8； ；（2） ，【分析】（1）当时，可得抛物线的顶点坐标为 ，即可求解；令，可得此抛物线与轴的两个交点为 ，即可求解；（2）根据点A到轴的距离为4，可得 ，从而得到抛物线为 ，再由此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，可得方程，从而得到 ，进而得到 ，然后把 ，联立可得 ，再由点在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称轴 在点的左侧，即可求解【详解】解：（1）当时，抛物线的顶点坐标为 ，点A到轴的距离为8；令，即 ，解得： ，此抛物线与轴的两个交点为 ，此抛物线与轴的两个交点之间的距离为 ；（2）点A到轴的距离为4， ，解得： ，抛物线为 ，此抛物线与直线的两个交点分别为，其中，即 ， ，解得： ，把 ，联立得： ，解得： ，点在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴 在点的左侧， ， ，即 ， 取任意实数，的取值范围为 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键2、（1）；（2）（1，-5）；（3）当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，；【分析】（1）根据抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）把抛物线化成顶点式即可得到答案；（3）分当和当两种情况，然后讨论抛物线顶点与图像G的位置关系，由此求解即可【详解】解：（1）抛物线的对称轴是直线，；（2），抛物线解析式为，抛物线顶点坐标为（1，-5）；（3）当，即时，图像G上纵坐标的最小值为-5，当时，当时，；当时，图像G上纵坐标的最小值为，最大值为，；当时，图像G上纵坐标的最大值为，最小值为，；当，即时，图像G上纵坐标的最大值为-5，当时，当时，；当时，图像G上纵坐标的最大值为，最小值为，；当时，图像G上纵坐标的最小值为，最大值为，；综上所述，当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，；【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识3、（1）；（2），2,0；（3）见解析【分析】（1）设顶点式，将代入，原点代入，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据线段与坐标轴交点线段的长与长之间的关系，以及到线段的距离，分，三种情况讨论，进而即可求得点的横坐标；（3）根据题意设直线PC： ymx+n，则，直线，则，直线的解析式为，由yax2+bx+c，令，则，即联立直线和抛物线解析式，根据根与系数的关系可得， 根据，可得为的中点，得到关系式，代入关系式即可求得进而可得的值【详解】（1）根据题意，设将代入，即解得抛物线的解析式（2）由yx+4令，则，令，则设与轴交于点,则是等腰直角三角形则当，则,设，则，则，在线段上，即又点在上，即解得（舍）此时点与点重合，点与点重合，如图，则,当同理,设，则，其中又点在上，即解得（舍）则此时点与点重合，点与点重合，如图，则当时，如图，由解得，是等腰直角三角形,轴设，则，其中又点在上，即解得的横坐标为，综上所述的横坐标为，2,0（3）设直线PC： ymx+n，则，直线，则，直线的解析式为由yax2+bx+c，令，则，即即，即联立抛物线yax2+bx+c，即：则，同理可得：，+=同理可得：，即 【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键4、（1）直线x=1；（2），x1；（3）17或；（4）【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可；（2）先把点（3，3）代入抛物线的解析式求出m，再根据二次函数的性质解答即可；（3）分m0与m0两种情况，根据抛物线的性质求解即可；（4）分m>0与m<0两种情况，结合二次函数的图象与，求解即可；【详解】解：（1）抛物线的对称轴是直线：，故答案为：直线x=1；（2）当此函数经过（3，3）时，解得，此函数的表达式为，抛物线的开口向上，当x1时，函数值y随x的增大而增大；（3）当m0时，抛物线开口向上，1x2，当x=1时，y有最小值3，m-2m+2=-3，解得m=5，此时抛物线的解析式是，则当x=-1时，y有最大值为5+10+2=17；当m<0时，抛物线开口向下，1x2，当x=-1时，y有最小值3，m+2m+2=-3，解得m=，此时抛物线的解析式是，则当x=1时，y有最大值为；综上，y的最大值为17或；（4）当m>0时，则M（-1，3m+2），N（-1，0），M（3，3m+2），MM=4，MN=3m+2，若，则4=3（3m+2），解得（不合题意，舍去）；当m<0时，如图，MM=4，MN=-3m-2，若，则4=-3（3m+2），解得；综上，若，则【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图形与性质、灵活应用数形结合思想和分类思想是解题的关键5、（1）（2）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解（1）解：由抛物线经过M（1，1），N（2，5）两点，得 ，解这个方程组，得；（2）解： P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且 ， 点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，抛物线的对称轴为，【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键