2022年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向测评试卷(含答案解析).docx

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FHBC，垂足为H，连接BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；其中正确的个数是（ ）A4B3C2D12、如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则A的正切值是（）ABC2D3、如图，AC是电杆AB的一根拉线，测得米，则拉线AC的长为（ ）A米B6sin52°米C米D米4、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（ ）A80海里B120海里C海里D海里5、请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（）Asin30°cos45°tan60°Bcos45°tan60°sin30°Ctan60°sin30°cos45°Dsin30°tan60°cos45°6、在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，BAC的位置如图所示，则sinBAC的值为（）ABCD7、cos60°的值为（）ABCD18、某人沿坡度的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A5米BCD9、在ABC中， ，则ABC一定是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形10、如图，等腰RtABC中，C90°，AC5，D是AC上一点，若tanDBA，则AD（）A1B2CD2第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、正八边形的半径为6，则正八边形的面积为_2、如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作，连接并延长，交于点P，过点O作分别交、于点N、H，交的延长线于点Q，现给出下列结论：；其中正确的结论有_（填入正确的序号）3、如图，圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成，则图1中cosAOB_，若圆O半径为，则图2中BCD的面积为_4、半径为3cm的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角的度数为_5、如图，ABC中点D为AB的中点，将ADC沿CD折叠至A'DC，若4A'CA'B，BC，cosA'BA，则点D到AC的距离是 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在中，点P从点出发，沿折线向终点C运动，点P在边、边上的运动速度分别为、在点P的运动过程中，过点P作所在直线的垂线，交边或边于点Q，以为一边作矩形，且，与在的同侧设点P的运动时间为t（秒），矩形与重叠部分的面积为（1）求边的长（2）当时， ，当时， （用含t的代数式表示）（3）当点M落在上时，求的值（4）当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与的函数关系式2、已知直线m与O，AB是O的直径，ADm于点D（1）如图，当直线m与O相交于点E、F时，求证：DAE=BAF （2）如图，当直线m与O相切于点C时，若DAC=35°，求BAC的大小；（3）若PC2，PB2，求阴影部分的面积(结果保留)3、计算：4、如图, 在 中， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _5、如图，O是ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA，D30°（1）证明：BD是O的切线；（2）若ODAB，AC3，求BD的长-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可【详解】解：正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，A=C=ABC=90°ADE沿DE翻折得到FDEAED=FED，AD=FD=6，AE=EF=3，A=DFE=90°，BE=EF=3，DFG=C=90°，EBF=EFB，AED+FED=EBF+EFB，DEF=EFB，BFED，故结论正确；AD=DF=DC=6，DFG=C=90°，DG=DG，RtDFGRtDCG，结论正确；FHBC，ABC=90°ABFH，FHB=A=90°EBF=BFH=AED，FHBEAD，结论正确；RtDFGRtDCG，FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，BG=4，tanGEB=，故结论正确故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强2、D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解【详解】解：连接BD，则BD，AD2，则tanA故选D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键3、D【分析】根据余弦定义：即可解答【详解】解：，米，米；故选D【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，将其转化为解直角三角形的问题是本题的关键，用到的知识点是余弦的定义4、D【分析】过点A作ADBC于点D，分别在 和中，利用锐角三角函数，即可求解【详解】解：过点A作ADBC于点D，根据题意得： 海里，ADC=ADB=90°，CAD=45°，BAD=60°，在 中， 海里，在 中， 海里， 海里，即该船行驶的路程为海里故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键5、A【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin30°，cos45°，tan60°，从而可以比较三个三角函数大小【详解】解答：解：sin30°，cos45°，tan60°，而，sin30°cos45°tan60°故选：A【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，实数比大小，准确计算是解题的关键6、D【分析】先求出ABC的面积，以及利用勾股定理求出，利用面积法求出，进而求解即可【详解】解：如图所示，过点B作BDAC于D，由题意得：，故选D【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形7、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得【详解】解：，故选：C【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如）的余弦值是解题关键8、B【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2 设BC=x，则AC=2xAB=10， BC2+ AC2=AB2，x2+ (2x)2=102，解得：x=故选：B【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化9、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，从而得，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案【详解】解：，ABC一定是等腰直角三角形故选：D【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解10、B【分析】过点D作，根据已知正切的定义得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理计算即可；【详解】过点D作，tanDBA，是等腰直角三角形，AC5，在等腰直角中，由勾股定理得故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，准确计算是解题的关键二、填空题1、【解析】【分析】正八边形的面积有八个全等的等腰三角形面积组成，计算一个等腰三角形的面积，乘以8即可【详解】解：过A作AMOB于M，如图所示，ABO为等腰三角形，OA=OB=6，AOB=，AM是OB上的高，AOM=OAM=45°，OM=AM，sin45°=，AM=，正八边形的面积为：故答案为【点睛】本题考查了正多边形的面积，等腰直角三角形，等腰三角形，锐角三角函数，熟练把多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键2、【解析】【分析】由“ASA”可证ANODFO，可得ON=OF，由等腰三角形的性质可求AFO=45°；由外角的性质可求NAO=AQO由“AAS”可证OKGDFG，可得GO=DG；通过证明AHNOHA，可得，进而可得结论DP2=NHOH【详解】四边形ABCD是正方形，AO=DO=CO=BO，ACBD，AOD=NOF=90°，AON=DOF，OAD+ADO=90°=OAF+DAF+ADO，DFAE，DAF+ADF=90°=DAF+ADO+ODF，OAF=ODF，ANODFO （ASA），ON=OF，AFO=45°，故正确；如图，过点O作OKAE于K，CE=2DE，AD=3DE，tanDAE=DEAD=DFAF=13，AF=3DF，ANODFO，AN=DF，NF=2DF，ON=OF，NOF=90°，OK=KN=KF=FN，DF=OK，又OGK=DGF，OKG=DFG=90°，OKGDFG （AAS），GO=DG，故正确；DAO=ODC=45°，OA=OD，AOH=DOP，AOHODOP （ASA），AH=DP，ANH=FNO=45°=HAO，AHN=AHO，AHNOHA，AHHO=HNAH，AH2=HOHN，DP2=NHOH，故正确；NAO+AON=ANQ=45°，AQO+AON=BAO=45°，NAO=AQO，即Q=OAG故错误综上，正确的是故答案为：【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键3、 ； 【解析】【分析】连接OP，根据题意，得到PB=PO=AP，从而得到BPO=150°，BOP=15°，AOP=60°，故AOB=45°，根据特殊角的函数值计算即可；如图2，连接GD，GE，可得GD是圆的直径，从而得到GED=90°，根据DEGH，得到EGH=90°，根据EGH+CGH =180°，得到C，G，E三点共线，CG边上的高就是DE；连接BF，CF，得到BFE=45°，CFG=15°，GFE=120°，计算CFE=135°，根据CFE+BFE =180°，得到C，F，B三点共线，于是=+，根据半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长，依次计算求和即可【详解】连接OP，圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成，PB=PO=AP，BPO=150°，BOP=15°，AOP=60°，AOB=45°，cosAOB= cos45°=，故答案为：；如图2，连接GD，GE，BF，CF，圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成，BFE=45°，CGF=150°，EF=FG=GH=HM=DM=DE，GFE=FED=EDM=DMH=MHG=HGF=120°，六边形EFGHMD是正六边形，GC=GF，CFG=15°，GFE=120°，CFE=135°，CFE+BFE =180°，C，F，B三点共线，根据正六边形的性质，得GD是圆的直径，GED=90°，DEGH，EGH=90°，EGH+CGH =180°，C，G，E三点共线，CG边上的高就是DE；=+，根据正六边形的性质，得半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长， =1，过点F作FNEG，垂足为N，FGN=30°，FN=， =，=1，=3=，=1+1+=，故答案为：【点睛】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，特殊角的函数值，熟练掌握正六边形的判定和性质，学会分割法计算图形的面积是解题的关键4、60°或120°【解析】【分析】如下图所示，分两种情况考虑：D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时，根据三角函数可求出OCF的大小，进而求出BOC的大小，再由圆周角定理可求出D、E大小，进而得到弦BC所对的圆周角【详解】解：分两种情况考虑：D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时，可得弦BC所对的圆周角为D或E，如下图所示，作OFBC，由垂径定理可知，F为BC的中点，BC=，CF=BF=BC=× =，又因为半径为3，OC=3，在RtFOC中，cosOCF= =÷3=，OCF=30°，OC=OB，OCF=OBF=30°，COB=120°，D=COB=×120°=60°，又圆内接四边形的对角互补，E=120°，则弦BC所对的圆周角为60°或120°故答案为：60°或120°【点睛】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键5、57373【解析】【分析】过点D作DFAC交CA的延长线于点F，过点B作BGA'C交CA延长线于点G，连接AA交CD于点E，设A'B=4m，则A'C=73m，将ADC沿CD折叠至ADC，由等边对等角可得A'AD=AA'D，CAE=CA'E，ABA'=BA'D，根据三角形内角和定理可得AA'B=BA'D+A'AD=90°，在直角三角形中利用锐角三角函数可得AB=213m，再由勾股定理可得AE=A'E=12AA'=3m，CD=CE+DE=10m，由相似三角形的判定及性质可得A'G=3273m，BG=1273m，再由勾股定理及求解方程可得：m=16，最后根据三角形等面积法进行求解即可得【详解】解：过点D作DFAC交CA的延长线于点F，过点B作BGA'C交CA延长线于点G，连接AA交CD于点E，4A'C=73A'B，设A'B=4m，则A'C=73m，将ADC沿CD折叠至ADC，AA'CD，AC=A'C=73m，AD=A'D，AE=A'E，A'AD=AA'D，CAE=CA'E，点D为AB中点，AD=BD，BD=A'D，ABA'=BA'D，ABA'+BA'D+AA'D+A'AD=180°，2BA'D+A'AD=180°，AA'B=BA'D+A'AD=90°，cosA'BA=A'BAB=4mAB=21313r，AB=213m，AD=BD=12AB=13m，AA'B=90°，AA'=AB2-A'B2=(213m)2-(4m)2=6m，AE=A'E=12AA'=3m，AA'CD，CE=AC2-AE2=(73m)2-(3m)2=8m，DE=AD2-AE2=(13m)2-(3m)2=2m，CD=CE+DE=10m，BGA'C，A'BG+BA'G=90°，AA'B=90°，CA'E+BA'G=90°，A'BG=CA'E，CA'E=CAE，A'BG=CAE，在A'GB与CEA中，A'BG=CAE，A'GB=CEA=90°，A'GBCEA，A'GCE=BGAE=A'BAC，A'G8m=BG3m=4m73m，A'G=3273m，BG=1273m，CG=A'G+A'C=3273m+73m=10573m，BGA'C，CG2+BG2=BC2，(10573m)2+(1273m)2=(1217)2，解得：m2=136，m=16，AA'CD，DFAC，SACD=12×CD×AE=12×AC×DF，DF=CD×AEAC=10m×3m73m=57373，点D到AC的距离为57373，故答案为：57373【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质、利用锐角三角函数解三角形、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用各个知识点是解题关键三、解答题1、（1）；（2）；（3）或；（4）【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接计算即可；（2）先求解再用含的代数式表示 再利用三角函数建立方程求解两种情况下的即可；（3）分两种情况讨论：如图，当在上，落在上，如图，当在上，落在上，则重合，再利用矩形的性质结合三角函数可得结论；（4）如图，当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形， 当时，重叠部分为四边形，如图， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，再利用图形的性质列面积函数关系式即可.【详解】解：（1） ， （2）当时，在上， 而四边形为矩形， 当时，在上，如图，此时， ， ， 故答案为： （3）如图，当在上，落在上，此时 解得： 如图，当在上，落在上，则重合， 同理可得： 解得： （4）当第一次落在上，即时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时 当落在上时，如图，同理可得： 解得： 当时，重叠部分为四边形，如图，同理可得： 如图，当落在上时，同理可得： 而 解得： 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，此时 当第2次落在上时， 当时，此时重叠部分的面积为四边形，如图，同理可得： 综上：【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，列面积函数关系式，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键.2、（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）通过已知条件可知，再通过同角的补交相等证得，即可得到答案；（2）利用，得，再通过OA=OC，得；（3）现在中，利用勾股定理求得半径r=2，再通过，得，即可求得，那么，即可求解【详解】解：（1）如图，连接BFADmAB是O的直径，DAE=BAF（2）连接OC直线m与O相切于点CADmOA=OC（3）连接OC直线m与O相切于点C设半径OC=OB=r在中，则：解得：r=2，即OC=r=2【点睛】本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质3、0【解析】【分析】根据乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质即可求出答案【详解】解：原式=-2+2=0【点睛】本题考查了实数的运算，乘方，二次根式的化简、特殊的三角函数值，零指数幂的意义以及绝对值的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键4、#【解析】【分析】过点作于点，设，则，解直角三角形即可求得，即的值【详解】解：如图，过点作于点在 中，是等腰直角三角形=设，则，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，在中，即解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键5、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OB，由cosA得A30°，则BOD2A60°，而D30°，可求得OBD90°，根据切线的判定定理即可证明；（2）由ODAB，根据垂径定理得BEAE，则BCAC3，再证明BOC是等边三角形，则OBBC3，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得OD2OB6，根据勾股定理即可求出BD的长【详解】（1）证明：如图，连接OB，cosA，且cos30°，A30°，ABOC，BOC2A60°，BOD60°，D30°，OBD180°60°30°90°，OB是O的半径，且BDOB，BD是O的切线（2）解：如图，ODAB，EBAE，BCAC3，OBOC，BOC60°，BOC是等边三角形，OBBC3，OBD90°，D30°，OD2OB6，BD3，BD的长为3【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、切线的证明、垂径定理以及直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键