2022年[很全]抛物线焦点弦的有关结论附答案 .pdf
1xBAyoFBAyoF 很全 抛物线焦点弦的有关结论知识点 1：若是过抛物线的焦点的弦。设，AB022ppxyF,11yxA22, yxB则（1）；（2）4221pxx221pyy证明：如图，（1）若的斜率不存在时，AB依题意,221pxx4221pxx若的斜率存在时，设为则，与联立，得AB,k2:pxkyABpxy22042222222222pkpxkxkpxpxk综上：.4221pxx.4221pxx（2），pyxpyx2,2222211Q,22142221pyypyy但22121,0pyyyy（2）另证：设与联立，得2:pmyxABpxy2222122, 02pyyppmyy知识点 2：若是过抛物线的焦点的弦。设，AB022ppxyF,11yxA22, yxB则（1）（2）设直线的倾斜角为，则。;21pxxABAB2sin2pAB证明：（ 1）由抛物线的定义知,2,221pxBFpxAFpxxBFAFAB21（2）若由（1）知,2,90210pxx则2sin22ppAB若联立，得pxypxkyAB2,2:,9020与设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2BAoyFBAoyFBAoyFKAy042222222222pkpxkxkpxpxk，而，,22221kkpxx222112kkppxxABtank222sin2tantan12ppAB知识点 3：若是过抛物线的焦点的弦，则以为直径的圆与AB022ppxyFAB抛物线的准线相切。证明：过点分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为BA、过中点向准线引垂线，垂足为,11BA、ABM,N设以为直径的圆的半径为AB, r.2211rMNMNBBAABFAFABrQ以为直径的圆与抛物线的准线相切。AB知识点 4：若是过抛物线的焦点的弦。过点分别向抛物AB022ppxyFBA、线的准线引垂线，垂足分别为则。,11BA、01190FBA证明借助于平行线和等腰三角形容易证明知识点 5：若是过抛物线的焦点的弦，抛物线的准线与轴相AB022ppxyFx交于点，则K.BKFAKF证明：过点分别作准线的垂线，垂足分别为BA、.11BA、11/BBKFAAQBBBFAAAFFBAFKBKA1111,而，而BBAAKBKA1111BBKBAAKA111101190KBBKAAKAA1KBB1KBBKAA11BKFAKF知识点 6：若是过抛物线的焦点的弦，为抛物线的顶点，连AB022ppxyFo名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3BAoyF接并延长交该抛物线的准线于点则AO,C./ OFBC证明：设，则,11yxA22, yxB11112,2,:xpypCxxyyAB1221111222yppypyxpyyC由知识点 1 知221pyy2222yyppyCOFBC /逆定理：若是过抛物线的焦点的弦，过点作交抛物AB022ppxyFBOFBC/线准线于点则三点共线。,COCA、证明略知识点 7：若是过抛物线的焦点的弦，设则AB022ppxyF,nBFmAF.211pnm证法：（ 1）若轴，则为通径，而xABAB,2pABpnm.211pnm（2）若与轴不垂直，设，的斜率为，则与ABx,11yxA22, yxBABk2:pxkyl联立，得pxy22042222222222pkpxkxkpxpxk,22221kkpxx.4221pxx由抛物线的定义知2,221pxBFnpxAFmppxxpxxpxxmnnmnm242112212121名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4BAoyF知识点 8：已知抛物线中，为其过焦点的弦，则022ppxyABF,nBFmAFnmmnpSAOB42证明：设则,AFxBOFAOFAOBSSSsin4sin221sin221nmppmp而mnppmnpnpm222sin,sin,cos1,cos1.4422nmmnpmnpnmpSAOB逆定理： 已知抛物线中，为其弦且与轴相交于点，若022ppxyABxM且则弦过焦点。,nBMmAM,42nmmnpSAOBAB证明：设，则,11yxA22,yxB,AMx0, tM=BOMAOMAOBSSSsin21sin21sin21tnmtntm而,sin,sin21nymymnyy212sinmnyy21sin21212121yytmnnmmnyytnmSAOB而221422pmnnmnmmnpSAOB2221pyyt又可设0222:22ptpayypxytayxlptyy221由得恒过焦点2ptAB0,2p名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5(x1,y1)(x2,y2)xyBA例 1、过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，如果，24yx1122(,),(,)A x yB xy126xx那么_. 8AB变式： 过抛物线的焦点做直线交抛物线于两点，如果，为坐标原点，24yx,A B8ABO则的重心的横坐标是 _. 2OAB例 2、直线 经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，由分l22(0)ypx pF,A B,A B别向准线引垂线，垂足分别为，如果，为的中点，则,AA BB,A BA BaQA BQF_.（用表示）a2a变式： 直线 经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，由分l22(0)ypx pF,A B,A B别向准线引垂线，垂足分别为，如果，为的中点，,AA BB,A B,ARa BFbQA B则_.（用表示）QF,a b222ab例 3、设坐标原点为，过焦点的直线交抛物线于两点， -3Ol24yx,A BOA OBuuu r uuu r例 4、过抛物线的焦点作一直线交抛物线于2(0)yax aF两点，若线段与的长分别是，则_. ,P QPFFQ,p q11pq4a小结：（1）抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
