2021-2022学年度北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合训练试题(含答案解析).docx

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明综合训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC中，BAC45°，E是AC中点，连接BE，CDBE于点F，CDBE若AD，则BD的长为（）A2B2C2D32、下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ）A5，9，12B7，12，13C30，40，50D3，4，63、如图，在ABC中，cm，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（ ）A4cmB3cmC2cmD1cm4、如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF是等腰三角形；DEBD+CE；若A50°，则BFC115°；DFEF其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个5、如图，等腰ABC中，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若，则下列结论：；是等边三角形；其中正确的是（ ）ABCD6、等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）ABCD7、如图，RtABC中，ÐB90°，点P在边AB上，CP平分ACB，PB3cm，AC10cm，则APC的面积是（ ）A15cm2B22.5cm2C30cm2D45cm28、如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，B=35°，则BAD=（ ）A110°B70°C55°D35°9、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A4，5，6B1，1，C6，8，13D5，12，1510、如图，在中，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且有下列结论：；为等边三角形；其中正确的结论是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，平分，交于点，于点，若，则_2、如图，BD是ABC的角平分线，E是AB上的中点，已知ABC的面积是12cm2，BC：AB19：17，则AED面积是 _3、如图，ABBE，DBCABE，BDAC，则下列结论正确的是：_（填序号）BC平分DCE；ABE+ECD180°；AC2BE+CE；AC2CDCE4、如图，在RtABC中，A90°，ABC的平分线BD交AC于点D，AD2，BC6，则BDC的面积是 _5、如图，ABC中，A68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则EDF_度三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称（1）当t =-3时，点N的坐标为 ；（2）以MN为底边作等腰三角形MNP当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 ；若MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是 (用含a的代数式表示)2、如图，长方形AOBC在直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，已知点C的坐标是（8，4）（1）求对角线AB所在直线的函数关系式；（2）对角线AB的垂直平分线MN交x轴于点M，连接AM，求线段AM的长；（3）若点P是直线AB上的一个动点，当PAM的面积与长方形OACB的面积相等时，求点P的坐标3、如图，在ABC中，ABAC，AFBC，在CDE中，DCDE，DGCE，AF和DG的延长线交于点P，连接BP、EP（1）求证：BPEP；（2）若BCE135°，试判断PBE的形状，并给出证明4、如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴负半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，OAOBm，OCn，满足m212m36（n2）20，作BDAC于D，BD交OA于E（1）如图1，求点B、C的坐标；（2）如图2，动点P从B点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动，设点P运动的时间为t，PEC的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；（3）如图3，在（2）的条件下，当t6时，在坐标平面内是否存在点F，使PEF是以PE为底边的等腰直角三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由5、在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（c，0），a0且a，b，c满足条件a+b2+c-3=0（1）直接写出ABC的形状 ；（2）点D为射线BC上一动点，E为射线CO上一点，且ACB=120°，ADE=60° 如图1，当点E与点C重合时，求AD的长； 如图2，当点D运动到线段BC上且CD=2BD，求点E的坐标；-参考答案-一、单选题1、B【分析】过点C作CNAB于点N，连接ED，EN，利用SAS证明DCEBEN，可得EDNB，CEDENB135°，得ADE是等腰直角三角形，可得ADDNBN，进而可得结果【详解】解：如图，过点C作CNAB于点N，连接EN，CNA90°，BAC45°，NCAA45°，ANCN，点E是AC的中点，ANECNE45°，CENAEN90°，CEF+FEN90°，CDBE，CFE90°，CEF+FCE90°，DCEBEN，在DCE和BEN中，DCEBEN（SAS），EDNB，CEDENB135°，AED45°AACN，ADDE，AECE，AE=EN，ADDN，ADDNBN，BD2AD2故选B【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形求解2、C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项中所给的数据看是否符合两个较小数的平方和等于最大数的平方即可【详解】解：A、52+92122，该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；B、72+122132，该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；C、302+402=502，该组线段符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故符合题意；D、32+4262，该组线段不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断3、C【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出BMA与CNA是等腰三角形，再证明MAN为等边三角形即可【详解】解：连接AM，AN，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，BMAM，CNAN，MABB，CANC，BAC120°，ABAC，BC30°，BAMCAN60°，AMNANM60°，AMN是等边三角形，AMANMN，BMMNNC，BC6cm，MN2cm故答案为2cm故选：C【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键4、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答【详解】解：BF是AB的角平分线，DBFCBF，DEBC，DFBCBF，DBFDFB，BDDF，BDF是等腰三角形；故正确；同理，EFCE，DEDF+EFBD+CE，故正确；A50°，ABC+ACB130°，BF平分ABC，CF平分ACB，FBC+FCB（ABC+ACB）65°，BFC180°65°115°，故正确；当ABC为等腰三角形时，DFEF，但ABC不一定是等腰三角形，DF不一定等于EF，故错误故选：C【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键5、A【分析】利用等边对等角得：APOABO，DCODBO，则APO+DCOABO+DBOABD，据此即可求解；因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是ABD的角平分线，可作判断；证明POC60°且OPOC，即可证得OPC是等边三角形；证明OPACPE，则AOCE，得ACAE+CEAO+AP【详解】解：如图1，连接OB，ABAC，ADBC，BDCD，BADBAC×120°60°，OBOC，ABC90°BAD30°OPOC，OBOCOP，APOABO，DCODBO，APO+DCOABO+DBOABD30°，故正确；由知：APOABO，DCODBO，点O是线段AD上一点，ABO与DBO不一定相等，则APO与DCO不一定相等，故不正确；APC+DCP+PBC180°，APC+DCP150°，APO+DCO30°，OPC+OCP120°，POC180°（OPC+OCP）60°，OPOC，OPC是等边三角形，故正确；如图2，在AC上截取AEPA，PAE180°BAC60°，APE是等边三角形，PEAAPE60°，PEPA，APO+OPE60°，OPE+CPECPO60°，APOCPE，OPCP，在OPA和CPE中，OPACPE（SAS），AOCE，ACAE+CEAO+AP，ABAO+AP，故正确；正确的结论有：，故选：A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键6、A【分析】根据等腰三角形的两底角相等，即可求解【详解】解：等腰三角形的顶角是，这个三角形的一个底角的大小是 故选：A【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键7、A【分析】过点P作PDAC于D，由角平分线的性质可得PD=PB=3cm，然后利用三角形面积公式求解即可【详解】解：如图所示，过点P作PDAC于D，CP平分ACB，B=90°，PDAC，PD=PB=3cm，故选A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键8、C【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得ADBC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答【详解】解：ABAC，D是BC的中点，ADBC，B35°，BAD90°35°55°故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键9、B【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可【详解】解：A、524262，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、1212（）2，能构成直角三角形，故符合题意；C、6282132，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、12252152，不能构成直角三角形，故不符合题意故选：B【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，正确应用勾股定理的逆定理是解题的关键10、C【分析】连接BP，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断；由三角形内角和定理可求PEA+PAE120°，可得 可判断；过点A作AFBC，在BC上截取CGCP，由“SAS”可证PACEAC，延长至，使则点P关于AB的对称点P，连接PA，根据对称性质即可判断；过点A作AFBC，在BC上截取CGCP，由三角形的面积的和差关系可判断【详解】解：如图，连接BP，ACBC，ABC30°，点D是AB的中点，CABABC30°，ADBD，CDAB，ACDBCD60°，CD是AB的中垂线，APBP，而APPE，APPBPEPABPBA，PEBPBE，PBA+PBEPAB+PEB，ABCPAD+PEC30°，故正确；PAPE，PAEPEA，ABCPAD+PEC30°，PAE+PEA 而 PAE是等边三角形，故正确；如图，延长至，使则点P关于AB的对称点为P，连接PA， APAP，PADPAD，PAE是等边三角形，AEAP，AEAP，CADCAP+PAD30°，2CAP+2PAD60°，CAP+PAD+PAD60°PAC， PACEAC，ACAC，PACEAC（SAS），CPCE，CECPCP+PD+DPCP+2PD，故错误；过点A作AFBC，在BC上截取CGCP，CGCP，BCD60°，CPG是等边三角形，CGPPCG60°，ECPPGB120°，且EPPB，PEBPBE，PCEPGB（AAS），CEGB，ACBCBG+CGEC+CP，ABC30°，AFBE，AFABAD，SACBCB×AF（EC+CP）×AFEC×AF+CP×ADS四边形AECP，S四边形AECPSABC故正确所以其中正确的结论是故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键二、填空题1、8【分析】根据角平分线的性质可得，进而根据即可求得结果【详解】解：在中，平分，又，故答案为：8【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键2、【分析】根据角平分线的性质得出DF=DG，再由三角形面积计算即可得答案【详解】解：作DGAB，交AB的延长线于点D，作DFBC，BD是ABC的角平分线，DF=DG，BC：AB19：17，设DF=DG=h，BC=19a，AB=17a，ABC的面积是12cm2，36ah=24，ah=，E是AB上的中点，AE=，AED面积=×h=（cm2）故答案为：cm2【点睛】本题考查了根据角平分线的性质和三角形面积的计算，做题的关键是掌握角平分线的性质3、【分析】根据已知DBCABE，BDAC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BFBC，就得到FBC2DBC，然后再证明FABCBE，就可以判断出BC平分DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BGCE，交CE的延长线于点G，从而证明ABDEBG，即可判断【详解】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BFBC，过点B作BGCE，交CE的延长线于点G，FBBC，BDAC，DFDC，DBCDBFFBC，DBCABE，FBCABE，FBACBE，ABAE，FABCBE（SAS），FBCE，BFBC，FBCD，BCDBCE，BC平分DCE，故正确；FBC+F+BCD180°，ABE+BCE+BCD180°，ABE+DCE180°，故正确；BDCBGC90°，BCBC，BDCBGC（AAS），ADGE，CDCG，ACAD+DC，ACAD+CGAD+GE+CE2GE+CE，GEBE，AC2BE+CE，故错误；ACCFAF，AC2CDCE，故正确；故答案为：【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，综合运用全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，是求解该类问题的关键4、6【分析】过D作DEBC于E，根据角平分线的性质求出ADDE2，再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：过D作DEBC于E，ABC的平分线是BD，A90°（即DAAB），DEBC，ADDE，AD2，DE2，BC6，SBDC，故答案为：6【点睛】本题考查的是角平分线的性质的应用，掌握“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解本题的关键.5、68【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EBED，FDFC，则EDBB，FDCC，从而可以得到EDB+FDCB+C，再由EDF180°（EDB+FDC），A180°（B+C），即可得到EDFA68°【详解】解：BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，EBED，FDFC，EDBB，FDCC，EDB+FDCB+C，EDF180°（EDB+FDC），A180°（B+C），EDFA68°故答案为：68【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键三、解答题1、（1）(2，-1)；（2）(-2，1)；ta+2或t-a-2【分析】（1）先求出对称轴，再表示N点坐标即可；（2）以MN为底边作等腰三角形MNP，则点P在直线y=t=1上，直线OM与y=1的交点即为所求；表示出M、N、P的坐标，比较纵坐标的绝对值即可【详解】（1）过点(0，t)且垂直于y轴的直线解析式为y=t点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称可以设N点坐标为（2，n），且MN中点在y=t上，记得点N坐标为当t =-3时，点N的坐标为（2）以MN为底边作等腰三角形MNP，且点M(2，t-2)与点N直线y=t对称点P在直线y=t上，且P是直线OM与y=1的交点当t =1时M(2，-1)，N(2，3)OM直线解析式为当y=1时，P点坐标为(-2，1)由题意得，点M坐标为(2，t-2)，点N坐标为，点P坐标为，MNP上所有点到x轴的距离都不小于a只需要或者当M、N、P都在x轴上方时，此时，解得ta+2当MNP上与x轴有交点时，此时MNP上所有点到x轴的距离可以为0，不符合要求；当M、N、P都在x轴下方时，此时，解得t-a-2综上ta+2或t-a-2【点睛】本题考查坐标与轴对称、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称表示坐标，属于中考常考题型2、（1）；（2）5；（3）点P的坐标为（，）或（，）【分析】（1）由坐标系中点的意义结合图形可得出A、B点的坐标，设出对角线AB所在直线的函数关系式，由待定系数法即可求得结论；（2）由勾股定理求出AB的长，再结合线段垂直平分线的性质，可得AMBM，OMOBBM，再次利用勾股定理得出AM的长；（3）（方法一）先求出直线AM的解析式，设出P点坐标，由点到直线的距离求出AM边上的高h，再结合三角形面积公式与长方形面积公式即可求出P点坐标；（方法二）由PAM的面积与长方形OACB的面积相等可得出SPAM的值，设点P的坐标为（x，x4），分点P在AM的右侧及左侧两种情况，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出点P的坐标，此题得解【详解】解：（1）四边形AOBC为长方形，且点C的坐标是（8，4），AOCB4，OBAC8，A点坐标为（0，4），B点坐标为（8，0）设对角线AB所在直线的函数关系式为ykxb，则有，解得：，对角线AB所在直线的函数关系式为yx4（2）AOB90°，勾股定理得：AB4，MN垂直平分AB，BNANAB2MN为线段AB的垂直平分线，AMBM设AMa，则BMa，OM8a，由勾股定理得，a242（8a）2，解得a5，即AM5（3）（方法一）OM3，点M坐标为（3，0）又点A坐标为（0，4），直线AM的解析式为yx4点P在直线AB：yx4上，设P点坐标为（m，m4），点P到直线AM：xy40的距离hPAM的面积SPAMAMh|m|SOABCAOOB32，解得m± ，故点P的坐标为（，）或（，）（方法二）S长方形OACB8×432，SPAM32设点P的坐标为（x，x4）当点P在AM右侧时，SPAMMB（yAyP）×5×（4x4）32，解得：x，点P的坐标为（，）；当点P在AM左侧时，SPAMSPMBSABMMByP10×5（x4）1032，解得：x，点P的坐标为（，）综上所述，点P的坐标为（，）或（，）【点睛】本题考查了坐标系中点的意、勾股定理、点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式，解题的关键：（1）根据坐标系中点的意义，找到A、B点的坐标；（2）由线段垂直平分线的性质和勾股定理找出BM的长度；（3）（方法一）结合点到直线的距离、三角形和长方形的面积公式找到关于m的一元一次方程；（方法二）利用分割图形求面积法找出关于x的一元一次方程本题属于中等题，难度不大，运算量不小，这里尤其要注意点P有两个3、（1）见解析；（2）等腰直角三角形，见解析【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出答案；（2）证出BPE2（FPC+GPC）90°，则可得出结论【详解】（1）证明：连接PC，ABAC，AFBC，DCDE，DGCE，AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，PCPB，PCPE，PBPE（2）解：PBE的形状为等腰直角三角形；BCE135°，PGCPFC90°，在RtPGC和RtPFC中，FPC+GPC45°；AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，FPCFPB，GPCGPE，BPE2（FPC+GPC）90°；PBPE，PBE的形状为等腰直角三角形【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键4、（1）B（6，0），C（2，0）；（2）S82t（0t4），S2t8（t4）；（3）存在，F（4，4）或F（2，2）【分析】（1）根据平方的非负性，求得，即可求解；（2）根据OACOBE求得，分段讨论，分别求解即可；（3）分两种情况讨论，当在的上方或在的下方，分别求解即可【详解】解：（1），m60，n20m6，n2B（6，0），C（2，0）（2）BDAC，AOBC BDCBDA90°，AOBAOC90°OACOCA90°，OBEOCA90°OACOBE OACOBE（AAS）OCOE2当0t4时，BP2t，PC82t，SPC×OE（82t）×282t；当t4时，BP2t，PC2t8，SPC×OE（2t8）×22t8；（3）当t6时，BP12OBOP6当F在EP上方时，作FMy轴于M，FNx轴于NFMEFNP90°MFNEFP90°MFENFPFEFPMENP，FMFNMOON2EM6NPON4F（4，4）当F在EP下方时，作FGy轴于G，FHx轴于HFGEFHP90°GFHEFP90°GFEHFPFEFPFGFH， GEHPHFOG，FGOH2OG6OHOGOH2F（2，2）【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了全等三角形的判定与性质，平分的性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解5、（1）等腰三角形，证明见解析；（2）；【分析】（1）先证明 再证明 从而可得答案；（2） 先证明是等边三角形，可得 再证明 再利用含的直角三角形的性质求解 从而可得答案；在CE上取点F，使CF=CD，连接DF，记的交点为K，如图所示：证明CDF是等边三角形， 再证明ACDEFD（AAS）， 可得AC=EF，再求解BD=，CF=CD=， 再求解OE=， 从而可得答案.【详解】解：（1） ， 解得： A（，0），B（b，0），C（3，0）， 而 是等腰三角形.（2） ACB=120°，ADE=60°， 是等边三角形， 在CE上取点F，使CF=CD，连接DF，记的交点为K，如图所示：AC=BC，ACB=120°， ACO=BCO=60°， CDF是等边三角形， CFD=60°，CD=FD， EFD=120°， ACO=ADE=60°， CAD=CED， 又ACD=EFD=120°， ACDEFD（AAS）， AC=EF， 由（1）得：c=3， OC=3， AOC=90°，ACO=60°， OAC=30°， BC=AC=2OC=6，EF=AC=6， CD=2BD， BD=，CF=CD=， CE=EF+CF=， OE=CE-OC=， 【点睛】本题考查的是算术平方根的非负性，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，图形与坐标，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键.