最新人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节训练试卷(含答案详解).docx

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，中，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点若长为4，则线段长的最小值为（ ）ABCD2、如图，建筑工地划出了三角形安全区，一人从点出发，沿北偏东53°方向走50m到达C点，另一人从B点出发沿北偏西53°方向走100m到达C点，则点A与点B相距（ ）ABCD130m3、如图，AB是的直径，点C是上半圆的中点，点P是下半圆上一点（不与点A，B重合），AD平分交PC于点D，则PD的最大值为（ ）A B C D4、下列叙述正确的有（）圆内接四边形对角相等；圆的切线垂直于圆的半径；正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等；边长为6的正三角形，其边心距为2A1个B2个C3个D4个5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A，B的张角应满足的条件是（ ）ABCD6、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（ ）ABCD7、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米AB3CD以上的答案都不对8、在RtABC中，C =90°，sinA=，则cosA的值等于( )ABCD9、如图，在中，点P为AC上一点，且，则的值为（ ）A3B2CD10、等腰三角形的底边长，周长，则底角的正切值为（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：AGD110.5；2tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BFOF；SOGF1，则正方形ABCD的面积是128，其中正确的是_（只填写序号）2、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_3、如图，在4×4的正方形网格中，ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tanACB的值为 _4、已知0°<a<90°，当a =_时，sina =；当a =_时，tana=5、已知斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为，则斜坡AB的长为_；坡角为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：sin30°tan45°+sin260°2cos60°2、如图，在中，动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动过点P作交AC或BC于点Q，分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M设与重叠部分的面积为S，点P运动的时间为秒（1）当点Q在AC上时，CQ的长为_（用含t的代数式表示）（2）当点M落在BC上时，求t的值（3）当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式（4）点N为PM中点，直接写出点N到的两个顶点的距离相等时t的值3、在O中，四边形ABCD是平行四边形（1）求证：BA是O的切线；（2）若AB6，求O的半径；求图中阴影部分的面积4、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延长HO交AB于点P，若，求半径的长5、平面直角坐标系中，过点M的O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点，交OM的反向延长线于点N（1）求经过A、N、B三点的抛物线的解析式（2）如图，点E为（1）中抛物线的顶点，连接EN，判断直线EN与O的位置关系，并说明理由（3）如图，连接MD、BD，过点D的直线交抛物线于点P，且，直接写出直线DP的解析式-参考答案-一、单选题1、D【分析】如图，连接 由为直径，证明在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解，即可得到答案.【详解】解：如图，连接 由为直径， 在以的中点为圆心，为直径的上运动，连接 交于点 则此时最小， ， 故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.2、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CFAD，CEAD，BEAG，则GACACFEBCBCF53°，在RtACF和RtBCE中，根据正切三角函数的定义得到，结合勾股定理可求得AF40，CFDE30，FDCE80，BE60，在RtABD中，根据勾股定理即可求得AB【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CFAD，CEAD，BEAG，CEB90°，GACACFEBCBCF53°，AC50，BC100，四边形CEDF是矩形，DECF，DFCE，在RtACF中，tanACFtan53°，在RtBCE中，tanEBCtan53°，tan53°，AFCF，CEBE，在RtACF中，AF2+CF2AC2，CF2+（CF）2502，解得CFDE30，AF×3040，在RtBCE中，BE2+CE2BC2，BE2+（BE）21002，解得BE60，CEDF×6080，ADAF+DF120，BDBEDE30，在RtABD中，AD2+BD2AB2，AB30故选：B【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键3、A【分析】根据点C是半圆的中点，得到AC= BC，直径所对的圆周角是90°得到ACB=90°，同弧所对圆周角相等得到APC=ABC=45°，AD平分PAB得到 BAD = DAP，结合外角的性质可证CAD = CDA，由线段的和差解得PD=P-CD=P-1，由此可知当CP为直径时，PD最大，最后根据三角函数可得答案【详解】解：点C是半圆的中点， AC= BCAB是直径ACB=90°CAB = CBA= 45°同弧所对圆周角相等APC=ABC=45°AD平分PAB BAD = DAPCDA= DAP+ APC = 45°+ DAPCAD= CAB+BAD = 45°+ BADCAD = CDAAC=CD=1PD=P-CD=P-1当CP为直径时，PD最大RtABC中，ACB = 90°，CAB = 45°， CP的最大值是 PD的最大值是 -1，故选：A【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是90°、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角函数的知识，做题的关键是熟练掌握相关的知识点，灵活综合的运用4、B【分析】利用圆内接四边形的性质可判断；根据圆的切线性质可判断；根据正多边形性质可判断；根据正三角形边长为6，连接OB、OC；先求出中心角BOC，根据等腰三角形性质，求出BOD×120°60°，利用锐角三角函数可求OD×6×即可【详解】解：圆内接四边形对角互补但不一定相等，故不符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，故不符合题意；正n多边形中心角的度数等于，这个正多边形的外角和为360°，一个外角的度数等于正确，故符合题意；过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，正确，故符合题意；如图，ABC为正三角形，点O为其中心；ODBC于点D；连接OB、OC；OBOC，BOC×360°120°，BDBC3，BOD×120°60°，tanBOD，OD×6×，即边长为6的正三角形的边心距为，故不符合题意，故选：B【点睛】本题考查圆内接四边形性质，圆的切线性质，切线长性质，正多边形的中心角与外角，锐角三角函数，边心距，掌握圆内接四边形性质，圆的切线性质，切线长性质，正多边形的中心角与外角，锐角三角函数，边心距是解题关键5、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，AEB=C=50°，而AEB是SEB的一个外角，由AEBS，即当S50°时船不进入暗礁区所以，两个灯塔的张角ASB应满足的条件是ASB50°cosASBcos50°，故选：D【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题6、B【分析】利用，得到BAC=DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tanACD=，从而可得答案.【详解】解：如图， ， BAC=DCA 同圆的半径相等， AC=AB=3，而 在RtACD中，tanACD= tanBAC=tanACD= 故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键7、B【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解；【详解】坡比在实际问题中的应用解：坡度为1：7，设坡角是，则sin=，上升的高度是：30×米故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确分析计算是解题的关键8、A【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，再利用余弦的定义代入计算即可【详解】解：sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，cosA=，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键9、A【分析】过点P作PDAB交BC于点D，因为，且，则tanPBD=tan45°=1，得出PB=PD，再有，进而得出tanAPB的值【详解】解：如图，过点作交于点，,，且，PBD=45°，又，故选A【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解10、C【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案【详解】如图，是等腰三角形，过点A作，BC=10cm，AB=AC，可得：，AD是底边BC上的高，即底角的正切值为故选：C【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键二、填空题1、【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45°，又由折叠的性质，可求得ADG的度数，从而求得AGD；利用GAD与ADG度数求得AED度数可得；证AEGFEG得AGFG，由FGOG即可得；由折叠的性质与平行线的性质，易得AEG是等腰三角形，由AEFE、AGFG即可得证；设OFa，先求得EFG45°，从而知BFEFGFOF；由SOGF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【详解】解：四边形ABCD是正方形，GADADO45°，由折叠的性质可得：ADGADO22.5°，AGD180°GADADG112.5°，故错误AED180°EADADE67.5°，tanAED1，则2tanAED2，故错误；由折叠的性质可得：AEEF，EFDEAD90°，在AEG和FEG中，AEGFEG（SAS），AGFG，在RtGOF中，AGFGGO，SAGDSOGD，故错误；AGEGADADG67.5°AED，AEAG，又AEFE、AGFG，AEEFGFAG，四边形AEFG是菱形，故正确；设OFa，四边形AEFG是菱形，且AED67.5°，FEGFGE67.5°，EFG45°，又EFO90°，GFO45°，GFEFa，EFO90°，EBF45°，BFEFGFa，即BFOF，故正确；SOGF1，OG21，即a21，则a22，BFEFa，且BFE90°，BE2a，又AEEFa，ABAEBE2aa（2）a，则正方形ABCD的面积是（2）2a2（64）×2128，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用2、【解析】【分析】先根据得出，同理可得出，进而得出，根据扇形的弧长公式计算即可【详解】由题意可得：在中，同理可得：，故答案为：【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键3、【解析】【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据等积关系求出BD，再根据勾股定理求出AD以及CD，最后再求出角的正切值即可【详解】解：过点B作BDAC于点D，如图，由勾股定理得， 根据等积关系得， 由勾股定理得， 故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题4、 30° 60°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可以得解【详解】解：因为，故答案为30°；60°【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键5、 83 30°#30度【解析】【分析】如图，由题意得：BCAC,AC=12,BC:AC=1:3,再利用坡度的含义求解A=30°, 再利用A的余弦函数值求解即可.【详解】解：如图，由题意得：BCAC,AC=12,BC:AC=1:3, 又tanA=BCAC=13=33, A=30°, 而cosA=ACAB, AB=12cos30°=12×23=83, 故答案为：83,30°【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度，坡角的含义，由坡度求解出坡角为是解本题的关键.三、解答题1、【解析】【分析】将特殊角的三角形函数值代入计算即可【详解】原式【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键2、（1）；（2）；（3）当，；当时，（4），【解析】【分析】（1）根据C=90°，AB=5，AC=4，得cosA=，即，又因为AP=4t，AQ=5t，即可得答案；（2）由AQPM，APQM，可得，证CQMCAB，可得答案；（3）当时，根据勾股定理和三角形面积可得；当，PQM与ABC的重合部分不为三角形；当时，由S=SPQB-SBPH计算得；（4）分3中情况考虑，当N到A、C距离相等时，过N作NEAC于E，过P作PFAC于F，在RtAPF中，cosA = ，解得t = ，当N到A、B距离相等时，过N作NGAB于G，同理解得t = ，当N到B、C距离相等时，可证明AP=BP=AB=，可得答案【详解】（1）如下图：C=90°，AB=5，AC=4，cosA=PQAB，cosA=动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时间为t(t>0)秒，AP=4t，AQ=5t，CQ=AC-AQ=4-5t，故答案为：4-5t；（2）AQPM，APQM，四边形AQMP是平行四边形当点M落在BC上时，APQM，CQMCAB，当点M落在BC上时，；（3）当时，此时PQM与ABC的重合部分为三角形，由（1）（2）知：，PQ=AQ2-AP2=3t，PQM=QPA=90°S=12×QM×PQ=12×3t×4t=6t2，当Q与C重合时，CQ=0，即4-5t=0，t=45当，PQM与ABC的重合部分不为三角形，当时，如下图：AP=4t，PB=5-4t，PMACPHAC=BHBC=PBAB，即PH4=BH3=5-4t5PH=4(5-4t)5,BH=3(5-4t)5，ACBC=tanB=PQPB，43=PQ5-4t，PQ=4(5-4t)3，S=SPQB-SBPH，=12PB×PQ-12BH×PH=12(5-4t)×4(5-4t)3-12×3(5-4t)5×4(5-4t)5 =51275t2-25615t+323综上所述：当，；当时，（4）当N到A、C距离相等时，过N作NEAC于E，过P作PFAC于F，如图：N到A、C距离相等，NEAC，NE是AC垂直平分线，AE=AC= 2，N是PM中点，PN=PM=AQ=52t AF=AE- EF=2- 52t在RtAPF中，cosA = 45=2-45t4t 解得t = 当N到A、B距离相等时，过N作NGAB于G，如图：AG=AB=PG=AG-AP=-4tcosNPG=cosA= PGPN=45 而PN=PM=AQ=t52-4t52t=45 解得t = 当N到B、C距离相等时，连接CP，如图：PMAC，ACBCPMBC，N到B、C距离相等，N在BC的垂直平分线上，即PM是BC的垂直平分线，PB= PC，PCB=PBC，90°-PCB= 90°-PBC，即PCA=PAC，PC= PA，AP=BP=AB=，t=AP4=58 综上所述，t的值为或或58【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及平行四边形、三角形面积、垂直平分线等知识，解题的关键是分类画出图形，熟练应用锐角三角函数列方程3、（1）证明见解析；（2），【解析】【分析】（1）连接AO，由，四边形ABCD是平行四边形，即得推得为等边三角形，即可得BAO=BAC+CAO=90°，即BA是O的切线（2）由（1）有A0=将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO面积减去三角形ACO面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可【详解】（1）证明：连接OA四边形ABCD是平行四边形AD/BEADC=DCO又ACD=ADCACO=ACD +DCO=2ADC又2ADC=AO=AC又OC=AO为等边三角形ACO=CAO=60°，ACD =DCO=30°又AB/CDBAC=ACD=30°BAO=BAC+CAO=30°+60°=90°BA是O的切线（2）由（1）可知BAO=90°，BOA=60°AO=连接AO，与CD交于点MAC=，OAC=60°CM=AO=，AOC=60°【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键4、（1）见解析；（2）30°；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，则，由OA=OB，得到OAB=OBA，即可推出，即OBA+ACB=90°，再由OBA=CAE，则ACB+CAE=90°，由此即可证明；（2）如图所示，连接CE，则ABC=AEC，由，可得AEC=30°，则ABC=30°；（3）如图所示，过点O作OFAB于F，则BF=AF，设FP=x，可得BP=BF+PF=6+2x，OP=2FP=2x，推出PH=OP+OH=1+2x，则BP=2+4x，从而得到2+4x=6+2x，由此求解即可【详解】解：（1）如图所示，连接OA，OA=OB，OAB=OBA，OAB+OBA+AOB=180°，即OBA+ACB=90°，又OBA=CAE，ACB+CAE=90°，ADC=90°，AEBC；（2）如图所示，连接CE，ABC=AEC，AEBC，AEC=30°，ABC=30°；（3）如图所示，过点O作OFAB于F，BF=AF，设FP=x，BF=AF=AP+PF=6+x，BP=BF+PF=6+2xABC=30°，PHBC， BPH=60°，BP=2PH，又OFAB，OFP=90°，POF=30°，OP=2FP=2x，PH=OP+OH=1+2x，BP=2+4x，2+4x=6+2x，解得x=2，PF=2，BF=8，PO=4，圆O的半径长为【点睛】本题主要考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数值求度数，勾股定理，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解5、（1）；（2）直线EN与O相切，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计算得圆的半径，从而得，；根据抛物线轴对称的性质，得经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得；根据勾股定理的性质，得，；根据圆的性质，得；根据勾股定理的逆定理，通过，推导得，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得，分当点P纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得；根据含角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案【详解】（1）O过点M O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ， 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： O交OM的反向延长线于点N 设经过A、N、B三点的抛物线为： 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： 经过A、N、B三点的抛物线为：；（2）经过A、N、B三点的抛物线为：，且对称轴为：当时，抛物线取最小值，即 ， 直线EN与O相切；（3） 如图，当点P纵坐标大于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K ， 设直线DP的解析式为： ；如图，当点P纵坐标小于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K， 设直线DP的解析式为： ；直线DP的解析式为：或【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解